Septembre 2011

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Septembre 2011

CPI 317

Exercices

Agnès Bachelot

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Table des matières

1 - Séries Numériques . . . 3

1 - 1 Séries à termes positifs . . . 3

1 - 2 Séries quelconques . . . 4

1 - 3 Autres exercices . . . 5

2 - Espaces Vectoriels Normés . . . 7

2 - 1 Normes . . . 7

3 - Continuité . . . 9

3 - 1 Exercices basiques . . . 9

4 - Suites et Séries de Fonctions. . . 11

4 - 1 Suites de fonctions . . . 11

4 - 2 Séries de fonctions . . . 12

5 - Séries Entières . . . 13

5 - 1 Rayon de convergence . . . 13

5 - 2 Fonction somme . . . 13

5 - 3 Développement en série entière . . . 14

5 - 4 Applications . . . 14

6 - Intégrales convergentes et fonctions intégrables . . . 16

7 - Annales . . . 18

8 - Liens . . . 33

9 - Rappels : Développements limités. . . 34

(3)

1 - Séries Numériques

Exercice 1. Soit (un)n≥0 une suite de K. Montrer que si ^X

p≥0

u_2p converge, et ^X

p≥0

u_2p+1 diverge, alors X

n≥0

u_n diverge.

Exercice 2. Montrer que la série ^X

n≥0

sin(n) diverge.

1 - 1 Séries à termes positifs

Exercice 3. Etudier la convergence et calculer la somme des séries :

1 ^X

n≥1

1

n(n+ 1), 2 ^X

n≥2

ln1− 1 n²

, 3 ^X

n≥3

2n−1 n(n²−4), Exercice 4. 1 Montrer que 1

3 = 0.333 333 333 · · · 2 Calculer le réelα= 0.102 102 102 · · ·

Exercice 5. Etudier la convergence des séries :

1 ^X 1

1 +√

n, 2 ^X

sn²−1

n⁵+ 5, 3 ^Xe⁻ⁿ^a.

Exercice 6. Soitf la fonction définie sur ]−1,+∞[ parf(x) = ln(1+x). Ecrire la formule de Mac-Laurin pourf. Etudier la convergence, et calculer éventuellement la somme de la série

X

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹1 n.

Exercice 7. Etudier la nature de la suite (un)_n∈N^∗, oùun= 1 +1

2 +· · ·+ 1

n−lnn.

Exercice 8. (voir H-Prepa 13)

Pour tout entierkon pose : u_k = 3

2^2k+3+ 5k+ 2.

1 En majorant u_k par le terme général d’une série géométrique montrer que ^Xu_k est convergente. On noteR_nle reste d’ordren de cette série.

2 Trouverntel que|R_n| ≤10⁻².

3 Sans faire les calculs, donner l’expression d’une valeur approchée à 10⁻² près de ^+∞^X

k=0

u_k. H-Prépa : Lire exercice 6.

H-Prépa : exercice 10.

Exercice 9. Séries de Bertrand

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Etant donnés deux réelsa etb, on considère la série X

n≥2

1 n^a(lnn)^b.

1 On suppose a = 1. En utilisant le théorème de comparaison avec une intégrale, montrer que la série converge si et seulement sib >1. 2 On suppose a6= 1. En comparant cette série à une série de Riemann, montrer qu’elle converge si et seulement sia >1.

Exercice 10. 1 H-Prepa 11 2 Montrer que^Xⁿ

k=1

√1

k ∼2√ n

Exercice 11. Déterminer la nature des séries de terme général lnn

√n³+n−1, (n!)³

nⁿ² , n²

p(n−1)!, (n!)² (2n)!,

1− 1 lnn

n

, nⁿ 2ⁿ².

1 - 2 Séries quelconques

Exercice 12. On considère les séries suivantes de terme général noté u_n. Dire, en le justifiant, si elles sont convergentes, divergentes ou si on ne peut pas déterminer leur nature.

1 u_n= (−1)ⁿ

√n + O 1

n²

2 u_n= (−1)ⁿ

√n + o 1

n³²

3 u_n= (−1)ⁿ

√n + O 1

n

4 u_n= 1

√n + o 1

√n

H-Prépa : exercice 16 .

Exercice 13. 1 La série ^X

n≥0

(−1)ⁿ

√3 + 2n² est-elle convergente ? absolument convergente ? 2 Pour quelles valeurs du réela, la série ^X

n≥0

aⁿ

1 +n² est-elle absolument convergente ? convergente ? divergente ? 3 Pour quelles valeurs du réel α >0, la série ^X

n≥0

(−1)ⁿ1−cos 1 n^α

est-elle absolument convergente ? convergente mais non absolument convergente ?

Exercice 14. Déterminer la nature de la série de terme général ln1 +(−1)ⁿ

n^α

, α∈R^∗+.

(5)

H-Prépa : 17.

Exercice 17. 1 Déterminer les réelsaetbtels que la série de terme généralun= (n³+n²+n+ 1)¹³ − (n²+ 1)¹² +a+ b

n soit convergente.

2 Déterminer les polynômesP ∈R[X] tels queu_n=^p⁴ n⁴+ 3n²−^q³ P(n) soit le terme général d’une série convergente.

H-Prépa : 19.

1 - 3 Autres exercices

Exercice 18. Soit^Xunune série convergente à termes positifs de la formeun=f(n) avecf décroissante, continue par morceaux. Montrer que

Nlim7→+∞

Z _N+1

n+1 f(t)dt≤R_n≤ lim

N7→+∞

Z N

n

f(t)dt

H-Prépa : 20.

Exercice 19. (Examen 2008) Pour tout entiern on pose :

a_n= 2²ⁿ(n!)²

(2n+ 1)! , w_n= (−1)ⁿa_n 1 Montrer que (an)nest une suite décroissante.

2 Quelle est la nature de la série ^X

n≥1

v_n où v_n =−ln a_n an−1

. En déduire la nature de la suite (ln(a_n))n

puis de la suite (an)n.

3 En déduire la nature de ^X

n≥1

w_n.

Exercice 20. (Deug Partie I 2004) Etude d’une série dont le terme général est le reste d’une série convergente

Soitn₀ un entier naturel fixé. Soit ^X

n≥n0

a_nune série numérique convergente. On définit pournentier naturel supérieur ou égal àn₀,r_nson reste de rang n:r_n = ^+∞^X

k=n+1

a_k. 1 Cas1 : On pose pour n≥0,a_n= 1

2ⁿ. Calculer rn puis montrer que ^X

n≥n0

rn converge et calculer sa somme.

2 Cas2 : On pose pour n≥1,a_n= 1 n².

a Montrer que pour tout entier naturel non nulnon a : 1

n+ 1 ≤ rn ≤ 1

n+ 1+ 1 (n+ 1)² b Donner alors un équivalent de (rn) lorsque nest au voisinage de +∞. Que peut-on en conclure sur la nature de la série ^X

n≥1

rn.

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3 Cas3 : On pose pour n≥1,a_n= (−1)ⁿ n . a Justifier la convergence de ^X

n≥1

a_n.

b Soit nun entier naturel non nul. On définit la suite (In) par I_n = (−1)ⁿ^Z ¹

0

xⁿ 1 +x dx.

– Montrer que lim

n→+∞I_n = 0.

– Montrer que I_n = ln 2 +^Xⁿ

k=1

(−1)^k

k . (indication : calculerⁿ^X⁻¹

k=0

(−x)^k).

– En déduire la valeur ⁺^X^∞

k=1

(−1)^k

k , puis exprimerrn en fonction de In. c En utilisant une intégration par parties, montrer que :

I_n = (−1)ⁿ a(n+ 1) +O

1 n^α

oùa etα >1 sont des réels à déterminer.

d En déduire la nature de la série ^X

n≥1

r_n.

(7)

2 - Espaces Vectoriels Normés

2 - 1 Normes

Exercice 21. Normes sur un produit fini deK-evn.

Soientn∈N^∗, (E_k, N_k)1≤k≤n desK-evn,E = ^Yⁿ

k=1

E_i. Considérons pour tout x= (x₁,· · · , x_n) deE les réels kxk1,kxk2,kxk∞ définis par :

kxk1 =^Xⁿ

k=1

N_k(x_k), kxk2 =

" _n X

k=1

(N_k(x_k))²

#¹₂

, kxk∞= max

1≤k≤nN_k(x_k).

Montrer que les applications k.k1,k.k2,k.k∞ sont des normes surE.

Exercice 22. Les applications suivantes sont-elles des normes surE? 1 E=R² : (x, y)7→ |5x+ 3y|, (x, y)7→^qx²+xy+ 2y² 2 E= C¹([0,1];R) : f → |f(0)|+^Z ¹

0 |f⁰(t)|dt, g→ Z ₁

0 |g⁰(t)|dt.

Exercice 23. E =ⁿf ∈ C¹([0,1];R) ; f(0) = 0^o. On noteN_∞(f) = sup

t∈[0,1]|f(t)|etN_∞⁰ (f) = sup

t∈[0,1]|f⁰(t)|.

Montrer que ce sont des normes surE mais pas équivalentes.

Exercice 24. Soient (a, b) ∈R² tels que a < b, et E = C([a, b],R). On considère les normes k k1,k k2, et k k∞ définies par :

kfk1 =^Z ^b

a |f(t)|dt, kfk2 =^"Z ^b

a |f(t)|²dt

#¹₂

, kfk∞= sup

t∈[a,b]|f(t)|.

1 Montrer que∀f ∈E kfk1 ≤(b−a)¹² kfk2 et ∀f ∈E kfk2 ≤(b−a)¹² kfk∞. 2 Démontrer quek k1,k k2,k k∞sont deux à deux non équivalentes.

H-Prépa : lire exercice 15.

H-Prépa : exercice 16 (dernière question à lire) H-Prépa : exercices 3, 4.

2 - 2 Autres exercices Exercice 25. Ouvert ou fermé ?

1 (]0,1[)² dansR² a Qdans R 2 {(x, y)/xy= 1} dansR²

Exercice 26. Soit Aune partie non vide majorée de R. Montrer que supA∈A.¯

H-Prépa : exercices 8, 11, 20.

Exercice 27. (DS 2006)

1 SoitE un espace vectoriel surRou sur C.

Quelle est la définition d’une normeN définie surE?

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(8)

2 Dans la suiteE= Mn×n(R).

On considère la base canoniqueB de E formée des matrices Bij ne possédant qu’un élément non nul situé sur laième ligne et lajème colonne.

On notem_ij les composantes d’une matriceM dans cette base.

On considère les applicationsN etk.k définies surE par : N(M) = n max

1≤i,j≤n|m_ij| et kMk = max

1≤i,j≤n|m_ij|. a Montrer queN etk.k sont des normes surE.

b Montrer que :

∀A∈E ∀B ∈E N(AB)≤N(A)N(B).

c N etk.ksont-elles équivalentes ?

3 SoitA une matrice carrée d’ordre nà coefficients réels. On considère la suite de matrices Xn

k=0

1 k! A^k

!

n≥0

a Montrer que c’est une suite de Cauchy pour N.

b En déduire qu’elle converge pour N. On notee^A sa limite.

c Converge-t-elle pourk.k? Si oui, quelle est sa limite ?

d Comment faire pour calculer e^A à partir des composantes de A? 4 Application 1 : Explicitere^Adans le cas A= 1 0

0 1

!

5 Application 2 : Soitθ un réel fixé. Expliciter e^B dans le cas B = 0 −θ θ 0

! .

(9)

3 - Continuité

3 - 1 Exercices basiques H-Prépa : exercice 2, Application 2.

Exercice 28. Etudier la continuité de l’applicationg: C→Cdéfinie par : g(z) = zⁿ

Exercice 29. Déterminer si les applications suivantes sont continues sur leur ensemble de définition : 1 f : R³ →R² définie par :f(x, y, z) =xsiny

y , z+y²

si y6= 0, etf(x,0, z) = (x, z).

2 g: R² →R définie par :g(x, y) =xsinxy x²+y²

si (x, y)6= (0,0), et g(0,0) = 0.

Exercice 30. Montrer que l’applicationh : R² →Rdéfinie par : h(x, y) =tanxy x²+y²

si (x, y) 6= (0,0), eth(0,0) = 0 n’est pas continue en (0,0).

Exercice 31. Soit u une application continue u : R → R. Les ensembles suivants sont-ils ouverts ? fermés ?

1 {(x, y)∈R² / y≥u(x)}, 2 {(x, y)∈R² / y < u(x)}.

Exercice 32. Representer graphiquement les parties suivantes de R² et, pour chacune d’elle dire si elle est ouverte, fermée, ou bien ni ouverte ni fermée.

1 {(x, y)∈R² /|x| 6= 1et|y| 6= 1}, 2 {(x, y)∈R²/1−xy > 0}. Exercice 33. Les ensembles suivants sont-ils fermés ? bornés ?

1 {(x, y)∈R² / x⁴+ 3y⁶ = 1}, 2 {(x, y)∈R² / x²+y³= 1}.

H-Prépa : Application 5. Exercices 9, 10c).

H-Prépa : Exercice résolu 2 p. 88 : 1) et 2).

Exercice 34. (Examen 2009)

Soit n ∈ N^∗. Soient B et C deux éléments de Mn×n(R), l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels.

1 Montrer que l’applicationg définie surMn×n par :g(M) =BM C est continue sur Mn×n. Dans la suite de l’exercice on considèren= 3.

2 Soitk un entier non nul. SoitM_k la matrice deM3×3 définie par :

M_k=







−1 2

k

0 0

0 e^−2k 0

0 0 1







Montrer que la suite (Mk)_k converge. Déterminer sa limite.

3 Montrer que la suite (BMkC)_k converge. Déterminer sa limite.

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(10)

1 Montrer que la fonctionf : (x, y, z)7→(x²+y²,sin(xyz)) est continue sur R³.

2 SoitA une matrice carrée d’ordrenà coefficients réels. On note< ., . > le produit scalaire euclidien sur Rⁿ.

Montrer que l’application h:Rⁿ×Rⁿ→Rdéfinie par h(u, v) =< Au, v > est continue surRⁿ×Rⁿ.

Soient E=C([0,1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1], à valeurs réelles, et l’application de E dansR telle que :

f ∈E 7−→ ||f||= sup

x∈[0,1]|f(x)|. 1 Démontrer (convenablement) que|| · ||est une norme sur E.

On munitE de cette norme.

Soitφ l’application deE dansRtelle que :

f ∈E 7−→φ(f) =f(0).

2 Démontrer queφest une forme linéaire continue sur l’espace normé E.

3 Démontrer que Kerφ={f ∈E ; φ(f) = 0} est un sous-espace fermé de E.

Exercice 37. Soient Φ une application continue deR³ dans R, et u une application continue deRdans R. Montrer quey7→Φ(x, y, u(y)) est continue deRdansR.

Exercice 38. Soient f : R → R et g : R → R. On considère h : R² → R l’application définie par : h(x, y) = f(x) +g(y). Soit (a, b)∈R².

1 Montrer que sif est continue en aet si g est continue en b, alorsh est continue en (a, b).

2 On suppose que hest continue en (a, b). L’applicationf est-elle continue ena?g est-elle continue enb? H-Prépa : exercice 24. Lire exercices 6 et 23.

(11)

4 - Suites et Séries de Fonctions

4 - 1 Suites de fonctions

Exercice 39. Soient (fn)_n une suite de fonctions croissantes convergeant simplement vers f sur un intervalleI deR. Montrer que la fonction f est croissante surI.

Exercice 40. Soit (fn)_nune suite de fonctions définies sur [0,3]. On suppose que le graphe est le suivant :

x f_n(x)

1− 1 n

3 2 +1

n 1

1 2

Etudier la convergence de cette suite (fn)_n et la nature de la convergence.

Exercice 41. Pour tout entier non nul non considère la fonctionfn de [0,+∞[ dansR définie par :

f_n(x) =





1− x n

n

x∈[0, n]

0 x∈]n,+∞[

Montrer que la suite de fonctions (f_n)n≥1 converge simplement sur [0,+∞[ vers une fonction f que l’on déterminera.

H-Prépa : exercice 2.

Exercice 42. Soit fn une fonction définie surRpar :fn(x) = 1 1 + (x−n)².

1 Montrer que (fn)_n converge simplement surRvers une fonction f que l’on déterminera.

2 DéterminerM_n= sup

x∈R|f_n(x)−f(x)|.

3 La suite (fn)_n converge-t-elle uniformément surR?

a Montrer que (fn)_n converge uniformément sur tout segment deR. b Que peut-on dire de la continuité de f?

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(12)

4 - 2 Séries de fonctions

Exercice 43. Soitf_n des fonctions définies surRtelles que^Xf_n converge simplement sur l’intervalleJ de R. On pose f =^X^∞

n=0

f_n. Montrer que :

1 Si, pour toutn, les fonctionsf_n sont croissantes sur J alorsf est croissante surJ.

2 On suppose queJ est centré en 0. Si, pour toutn, les fonctionsf_n sont paires alors f est paire.

3 On suppose que J =R. Si, pour tout n, les fonctions fn sont périodiques de même période T, alors f est périodique de périodeT.

Exercice 44. 1 Chercher le domaine de définition des fonctions : f : x7→

X∞ n=0

xⁿ

n!, g: x7→

X∞ n=0

x(1−x)ⁿ, h: x7→

X∞ n=1

(−1)ⁿ

√n²+x². 2 Etudier la convergence normale de :

X∞ n=1

1 n²+x²,

X∞

n=0x(1−x)ⁿ,

X∞ n=1

(−1)ⁿ

√n²+x².

H-Prépa : exercices 10, 11.

Exercice 45. Soitf : x7→

X∞ n=1

(1−e⁻^x)ⁿ

n² . Montrer quef est définie, continue et dérivable sur [−ln 2,+∞[.

Déterminer sa limite en +∞.

Exercice 46. EtudierD_f, continuité, limite en +∞ def : x7→

X∞ n=0

xe^−nx.

Exercice 47. 1 Etudier le domaine de définition de f : x7→

X∞ n=1

2x n²+x². 2 Montrer quef est continue surD_f et donner ses limites aux bornes deD_f.

Exercice 48. Etude de la fonction : f : x 7→

X∞ n=1

1

sinh²(nx), c’est-à-dire domaine de définition, sens de variation, continuité, limite aux bornes de son domaine de définition.

Exercice 49. Etude deζ (fonction de Riemann) : ζ: x7→

X∞ n=1

1 n^x 1 Etudier le domaine de définition, la continuité, la limite en +∞.

2 Montrer queζ est de classeC^∞ sur ]1,+∞[ et calculer ses dérivées successives.

3 Etude en 1⁺. Montrer que :ζ(x)∼1⁺ 1 x−1

(13)

5 - Séries Entières

5 - 1 Rayon de convergence

Exercice 50. Soit ^Xa_nxⁿ une série entière de rayon R >0.

1 Montrer que la série entière^Xa_n

n!xⁿ converge pour toutx.

2 Déterminer le rayon de convergence de^Xa²_nxⁿ.

3 Déterminer le rayon de convergence de^Xb_nxⁿ avec, pour tout p,b_2p+1= 0 etb_2p=a_p. Exercice 51. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

X zⁿ

n¹⁰+n+ 1, ^X zⁿ

4ⁿ+ 1, ^X(^p³ n³+n+ 2−^pn²+ 1)zⁿ, X 1 + 1

√n ₋^√³n

zⁿ, ^X aⁿ

1 +bⁿzⁿa∈R^+∗, b∈R^+∗, ^Xsin(√n)zⁿ X(lnn)ⁿzⁿ, ^Xqⁿ²zⁿ, |q|<1, ^X zⁿ

n2ⁿ, ^Xzⁿ nⁿ.

Exercice 52. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : X 2ⁿ

3ⁿ+nz⁴ⁿ, ^X 1

n²+ 1z²ⁿ, ^X 1

2ⁿz²ⁿ, ^Xaⁿz²ⁿ⁺¹, , a∈C^∗, X2ⁿ⁻¹z²ⁿ⁻¹

(4n−3)² , ^X z³ⁿ

8ⁿ(n+ 1), ^Xa_nzⁿ, a_2n= 1, a2n+1 = 1 n.

5 - 2 Fonction somme

Exercice 53. Déterminer le rayon de convergence et calculer à l’intérieur du disque ouvert de convergence :

+∞X

0

nxⁿ,

+∞X

0

n²xⁿ, · · · ,

+∞X

1

(−1)ⁿn²x²ⁿ⁻¹,

+∞X

1

xⁿ⁻¹ n ,

+∞X

0

n²−n+ 4 n+ 1 xⁿ

+∞

X

0

xⁿ n!(n+ 2),

+∞

X

0

(−x)ⁿ (2n+ 1)(2n+ 3),

+∞

X

0

x²ⁿ (2n)!,

+∞

X

0

x³ⁿ (3n)!

Exercice 54. Déterminer le rayon de convergence et la somme à l’intérieur du disque ouvert de convergence des séries de terme général :

(a+ 2n+ 3n²)xⁿ n!,

1 +1

2+· · ·+1 n

xⁿ,

1 + 1

2!+· · ·+ 1 n!

xⁿ

Exercice 55. Soienta un réel>0 et (an)n la suite réelle définie par :

an=







a^2p sin= 3p, p∈N

−a^2p+2 sin= 3p+ 1, p∈N 0 sin= 3p+ 2, p∈N

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(14)

Déterminer le rayon de convergence de ^Xa_nxⁿ et calculer sa somme à l’intérieur du disque ouvert de convergence.

H-Prépa : Exercices 2, 6, 4.

Exercice 56. Montrer que : ln 2 =^+∞^X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n et π

4 =^+∞^X

n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1

5 - 3 Développement en série entière

Exercice 57. Calculer le DSE (au voisinage de 0) des fonctions suivantes. Preciser l’ intervalle ouvert sur lequel le résultat est obtenu.

1

(x−x₀)⁴, −3

x²+ 7x+ 10, sin 3x + xcos 3x, cos(x+a), sinhx, e²⁻^x², ^p³ 8−x³, ln(2 +x), ln(x²+ 3x+ 2), 1

4−x⁴

Exercice 58. Calculer le DSE (au voisinage de 0) des fonctions suivantes. Preciser l’ intervalle ouvert sur lequel le résultat est obtenu.

Z x

0 e⁻^t² dt, x²

(x−1)(2−x)², x

9 +x², ln(x+^p1 +x²), arcsinx, e⁻^x 1−x

H-Prépa : Exercices 8.

Exercice 59. Déterminer une équation différentielle vérifiée par f : x 7→ arcsinx

√1−x². En déduire le DSE de f et l’intervalle de convergence.

Exercice 60. On note, pour tout n∈N :a_n= n!

1.3.· · ·(2n+ 1). On considère la SE ^X

n≥0

a_nx²ⁿ⁺¹, et on noteR son rayon, S sa somme.

1 DéterminerR.

2 Montrer que S est solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre, et en déduire une expression simple deS.

3 EtudierS au bord de l’intervalle de convergence.

5 - 4 Applications

Exercice 61. Montrer que l’application f : R → R définie par f(x) = 1−cosx

x² si x 6= 0 et par 1 2 si x= 0 est de classe C^∞ surR.

(15)

H-Prépa : Exercice 15.

Exercice 63. 1 Montrer qu’il existe une solution unique f, DSE sous la formef(x) = 1 +^+∞^X

n=1

a_nxⁿ, de l’équation différentielle (E) :

2xy⁰⁰+y⁰−y = 0

Déterminer le rayon de convergence de cette série et calculer sa somme à l’aide de fonctions usuelles.

2 En déduire l’ensemble des solutions deEsurR^∗. On pourra effectuer le changement de fonctiony=zf(x).

Quelles sont les solutions continues sur R? de classe C¹ surR?

Exercice 64. Soit (sn) la suite définie pars₀ =s₁ = 1, et s_n=s_n−1+s_n−2 pourn≥2.

1 Montrer ques_n ≤ 2ⁿ. Montrer que le rayon de convergence R de ^Xs_nxⁿ est strictement positif.

2 Calculer^+∞^X

0

s_nxⁿ pour|x| < R. 3 CalculerR ets_n pour toutn.

Exercice 65. Résoudre l’équation ^+∞^X

n=0

(3n+ 1)²xⁿ = 0 d’inconnuex∈R.

Exercice 66. On considère la suite réelle (un)_n∈N définie par u₀ = u₁ = 1, et, pour tout n ∈ N : u_n+2 = u_n+1+ 2

n+ 2u_n. On note R le rayon de la SE ^X

n≥0

u_nxⁿ, etS sa somme.

1 Montrer :∀n∈N^∗ , 1≤un≤n². En déduire R.

2 Former une équation différentielle linéaire du premier ordre satisfaite par S, et en déduire l’expression de S à l’aide de fonctions usuelles.

3 En déduireun.

H-Prépa : Exercices 14, 18.

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(16)

6 - Intégrales convergentes et fonctions intégrables

Exercice 67. 1

√x est intégrable sur ]0,1] ? sur [1,+∞[ ? Exercice 68. Soit α un réel. Etudier l’intégrabilité de 1

(x−3)^α sur ]3,+∞[.

Exercice 69. 1

lnx est intégrable sur ]1,2] ? sur [2,+∞[ ?

Exercice 70. 1 Montrer que la fonctionf définie parf(u) =ue⁻^u est intégrable sur ]0,+∞[ et calculer Z _+∞

0 f(u)du 2 Montrer que la fonction gdéfinie par g(u) = cos1

u

est intégrable sur ]0,π 2[.

Exercice 71. Etudier l’intégrabilité de : 1 x7→ x−sinx

x² sur ]0,2π]. 2 x7→ |x|(sinx)e^−x² surR. 3 x7→cos² 1

t sur ]0,2π]. 4 x7→ 1

1 +x² surR. Exercice 72. Etudier la convergence des intégrales suivantes :

Z +∞

0 t²e⁻^tdt,

Z +∞ 1

1

t(e¹^t −1)dt,

Z +∞ 1

√3

t+ 1−√³

√ t

t dt, Z 1

0

√ dt

1−t³ dt Exercice 73. Etudier l’intégrabilité sur I des fonctions suivantes :

f(t) = 1

√t(t+ 1), I =]0,+∞[; g(t) = 1

t^a|lnt|^b, I = [2,+∞[, ]0,1 2], [1

2,2], ]0,+∞[

f(t) = sin 5t−sin 3t

t⁵³ , I =]0,+∞[; g(t) = sin_t¹2

ln(1 +√t), I =]0,+∞[; h(t) = sin(lnt), I =]0,1]

Exercice 74. On note I =^Z

π2

0 ln(sinx)dx, J =^Z

π2

0 ln(cosx)dx, K=^Z

π2

0 ln(sin 2x)dx

(17)

Exercice 76. 1 Démontrer quef(t) = lnt

t²+ 1 est intégrable sur ]0,+∞[, et que Z _+∞

1 f(t)dt=− Z ₁

0 f(t)dt 2 En déduire : ^Z ^+∞

0

lnt

t²+a² dt= π

2alna, pour a >0.

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(18)

7 - Annales

Examen 2004

Exercice 1. Etudier la convergence des séries :

1 ^X

n≥0

n⁴ e⁻ⁿ

12

, 2 ^X

n≥2

ln √

n+ (−1)ⁿ

√n−1

! .

Exercice 2. K désigne R ou C. On note E l’espace vectoriel Kⁿ. Pour tout x = (x1,· · ·, xn) de E on considère les réelsN₂(x) et N_∞(x) définis par :

N₂(x) =

" _n X

k=1|x_k|²

#¹₂

, N_∞(x) = max

1≤k≤n|x_k|.

1 Montrer que les applicationsN₂ etN_∞ ainsi définies sont des normes sur E.

2 Quelle est la définition de deux normes équivalentes ?

3 N₂ etN_∞ sont-elles équivalentes ? (vous justifierez votre réponse).

Exercice 3. 1 Montrer que l’ application f, définie sur R³ par f(x, y, z) = x²+ 2y

1 +x²+y², e^xz, z−y−x

!

est continue surR³.

2 Montrer que l’ applicationg, définie surR² par

g(x, t) = t⁵e^t 1 + 2x⁴+t⁴ est continue surR².

(19)

Exercice 5. 1 Calculer le DSE (au voisinage de 0) de la fonction arctan. Preciser l’intervalle ouvert de convergence de la série obtenue.

2 Montrer que^+∞^X

n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1 = π

4.

Exercice 6. On considère l’équation différentielleE suivante :

(1−x²)y⁰⁰(x)−6xy⁰(x)−4y(x) = 0

1 Montrer qu’il existe une solutionf, développable en série entière au voisinage dex= 0, de (E). Preciser un intervalle ouvert sur lequel f est solution de (E).

2 Ecriref à l’aide de fonctions usuelles.

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(20)

Examen 2005

Exercice 1. (3 points)

Déterminer la nature (convergence ou divergence) des séries suivantes :

1 ^X

n≥0

1

3ⁿ+n³, 2 ^X

n≥1

sin(nα)

n² , (α∈R), 3 ^X

n≥2

(−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ

.

Exercice 2. (1,5 point)

Montrer que l’ applicationf, définie surR³ par

f(x, y, t) = x²+ 2y 1 +x²+y², e^xt

!

est continue surR³.

Exercice 3. (1,5 point)

Soit (fn)_nune suite de fonctions définies sur [0,1] par :

f_n(x) =







1−nx si 0≤x≤ 1 n

0 si 1

n ≤x≤1

Etudier la convergence simple et la convergence uniforme sur [0,1] de la suite de fonctions (fn)_n. Exercice 4. (8 points)

On considère l’équation différentielleE suivante :

(1−x²)y⁰⁰(x)−6xy⁰(x)−4y(x) = 0

On veut déterminer les solutions y₁ de E développables en série entière sur un intervalle ouvert I inclus dans ]−1,1[.

On note ^+∞^X

n=0

c_nxⁿ une telle solution.

1 Déterminer la relation de récurrence vérifiée parcn.

En déduire l’expression dec_2p en fonction de c₀, et de c_2p+1 en fonction dec₁.

+∞X ^+∞X

(21)

1 Calculer le DSE (au voisinage de 0) de la fonction arctan. Préciser l’intervalle ouvert de convergence de la série entière obtenue.

2 Déterminer le domaine de définition de cette série de fonctions.

3 Donner une expression plus simple de^+∞^X

n=0

(−1)ⁿ (2n+ 1)2²ⁿ⁺¹. 4 Montrer que^+∞^X

n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1 = π

4.

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(22)

Examen 2006

Exercice 1. ( 6 points)

On considère une suite bornée (a_n)n≥1 de nombres complexes.

1 Démontrer la convergence de la série de terme général a_n n(n+ 1)

2 Démontrer la relation suivante, où les entiersp etq vérifient 0< p < q : Xq

n=p

1

n(n+ 1) = 1

p − 1 q+ 1 En déduire la somme de la série de terme général 1

n(n+ 1) où ndécrit N^∗. 3 Dans cette question on posea_n=xⁿ pour n≥1.

a Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme général xⁿ n(n+ 1)

b Sur un intervalle ouvert à préciser, exprimer la somme de cette série à l’aide de fonctions usuelles.

c Calculer ^+∞^X

n=1

(−1)ⁿ n(n+ 1)

Déterminer la nature (convergence ou divergence) des séries suivantes :

1 ^X

n≥0

1

5ⁿ+n⁵, 2 ^X

n≥1

nⁿ

2ⁿ², 3 ^X

n≥2

ln1 +(−1)ⁿ

√n

.

Exercice 3. (5 points)Etude d’une série dont le terme général est le reste d’une série convergente.

Soitn₀ un entier naturel fixé. Soit ^X

n≥n0

a_n une série convergente. On définit pournentier naturel supérieur ou égal àn₀,r_n son reste de rangn :r_n= ^+∞^X

k=n+1

a_k. 1 On pose pourn≥0, a_n= 1

2ⁿ. Calculerrn puis montrer que ^X

n≥0

rn converge et calculer sa somme.

2 On pose pourn≥1,a_n= 1 n².

a Montrer que pour tout entier naturel non nulnon a :

1 1 + 1

(23)

1 Montrer que l’ applicationf, définie surR³ par

f(x, y, t) =1 +x²+y², e^xt est continue surR³.

2 On considère une matriceA_θ définie par :

Aθ=





cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1





Quelle est la limite, quandθtend vers π

3, de la fonctionf : θ→A_θ?

1 Développer en série entière sur un intervalle à préciser :^Z ^x

0 e⁻^t² dt.

2 Calculer ^+∞^X

n=0

sin(nθ)

2ⁿ . On précisera pour quelles valeurs de θce calcul est valide.

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(24)

Examen 2007

Exercice 1.

Déterminer, quand cela est possible, la nature (convergence ou divergence) des séries de terme général u_n vérifiant :

1 (−1)ⁿ n²³ − 1

n+o 1

n

, 2 (−1)ⁿ

√n +O 1

n³²

, 3 (−1)ⁿ

√n +o 1

√n

, 4 (−1)ⁿ

n²³ −(−1)ⁿ n +o

1 n⁴³

. Exercice 2.

Montrer que l’ applicationf, définie surR² par :

f(x, y) =^qx²+y²,cos(xy) est continue surR².

Exercice 3.

Développer en série entière sur un voisinage de 0 à préciser les fonctions suivantes :

1 x7→ 1

(x−2)(x+ 1), 2 x7→

Z x

0 sin(t²)dt.

Exercice 4. Etude de la fonction : f : x7→

+∞X

n=1

1 sinh(nx). Pour n >0 on note f_n la fonction définie surR^∗ parf_n(x) = 1

sinh(nx). 1 Déterminer le domaine de définition def.

2 Etudier la parité def.

3 Etudier le mode de convergence de la série de fonctions^Xf_n sur ]0,+∞[.

4 Montrer quef est continue sur ]0,+∞[.

5 Etudier la limite def en +∞. 6 Déterminer la limite def en 0⁺.

(25)

Exercice 6. Hors barème.

1 Soientx∈]−1,1[ etn∈N. Soientfn les fonctions de la variable réelle tdéfinies sur [0,1] par : f_n(t) = (tx)ⁿ

√1 +t²

. Montrer que la série de fonctions^Xf_n est définie sur [0,1] et converge normalement sur cet intervalle.

2 Notonsa_n=^Z ¹

0 f_n(t)dt.

A l’aide d’un encadrement dea_n déterminer le rayon de convergenceR de la série entière ^Xa_nxⁿ. 3 Montrer que :

∀x∈]−R, R[ ^+∞^X

n=0

Z ₁

0

tⁿ

√1 +t² dt

xⁿ = ^Z ¹

0

1 (1−tx)√

1 +t² dt

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(26)

DISVE Pôle Licence

ANNEE UNIVERSITAIRE 2009/20010 SESSION 1 D’AUTOMNE

PARCOURS : CODE UE : CPI 317 Epreuve : Analyse

Date : 7 Janvier 2010 Heure : 14h Durée : 3h Documents : Non autorisés.

Epreuve de : Mme Ag. Bachelot

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Le barème est indicatif.

Exercice 1. 5 points

1 Montrer que la fonctionf : (x, y, z)7→(x²+yx, e^z)est continue sur R³.

2 Soit n∈N^∗. SoientB etC deux éléments deMn×n(R), l’ensemble des matrices carrées d’ordre nà coefficients réels.

a Montrer que l’application gdéfinie surMn×n par :g(M) =BM C est continue surMn×n. Dans la suite de l’exercice on considèren= 3.

b Soit k un entier non nul. SoitMk la matrice de M3×3 définie par :

Mk =







−1 2

k

0 0

0 e^−2k 0

0 0 1







Montrer que la suite (M_k)_k converge. Déterminer sa limite.

c Montrer que la suite (BM_kC)_k converge. Déterminer sa limite.

Exercice 2. Cet exercice n’est que pour les Concours Chimie. 5 points 1 Soit α un réel. Démontrer que l’intégrale Z 1

0

dt

t^α converge si, et seulement si , α <1. Dans ce cas calculerZ 1

0

dt t^α.

2 Montrer que la fonction f définie sur [0,+∞[ par f(x) =

√x

(1 +x)² est intégrable sur [0,+∞[.

Z

(27)

DISVE Pôle Licence

ANNEE UNIVERSITAIRE 2009/20010 SESSION 2 DE PRINTEMPS

PARCOURS : CODE UE : CPI317 Epreuve : Analyse

Date : 6 mars 2010 Heure : 8h30 Durée : 3h

Documents : Non autorisés

Epreuve de :Mme Ag. Bachelot

Exercice 1. On considère les séries suivantes de terme général noté un. Dire, en le justifiant, si elles sont convergentes, divergentes ou si on ne peut pas déterminer leur nature.

1 u_n= (−1)ⁿ

√n + O 1

n²

2 u_n= (−1)ⁿ

√n + o 1

n³²

3 u_n= (−1)ⁿ

√n + O 1

n

4 u_n= 1

√n + o 1

√n

Exercice 2.

On considère l’équation différentielleE suivante :

(1−x²)y⁰⁰(x)−6xy⁰(x)−4y(x) = 0

On veut déterminer les solutionsy₁ deE développables en série entière sur un intervalle ouvert I inclus dans ]−1,1[.

On note^+∞^X

n=0

cnxⁿune telle solution.

1 Déterminer la relation de récurrence vérifiée parc_n.

En déduire l’expression dec_2p en fonction dec₀, et de c_2p+1 en fonction dec₁. 2 Quels sont les rayons de convergence de⁺^X^∞

p=0

c_2px^2p et de ⁺^X^∞

p=0

c_2p+1x^2p+1? En déduire l’expression dey₁. PréciserI.

3 Ecrire^+∞^X

p=0

c_2px^2p et ^+∞^X

p=0

c_2p+1x^2p+1 à l’aide de fonctions usuelles.

En déduire une écriture dey₁ à l’aide de fonctions usuelles.

Exercice 3.

1 Calculer le DSE (au voisinage de 0) de la fonction ln(1 +x). Préciser l’intervalle ouvert de convergence de la série entière obtenue.

2 Déterminer le domaine de définition de cette série de fonctions.

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