Pr´ epond´ erance
D´edou
Mars 2011
Infiniment petits
Vocabulaire
SIf(x tend vers 0 quandx tend vers a, on dit aussi quef(x) est infiniment petitquand x tend vers a.
Bien qu’ils soient tous petits, il y a des infiniment petits qui sont plus petits que d’autres.
L’exemple-phare est constitu´e par les puissances (x−a)n qui sont de plus en plus petites quandn augmente. C’est de ¸ca qu’on va parler comme il faut.
Pr´ epond´ erance
On dit que, quandx tend vers a∈R,f(x) estinfiniment petit par rapport `ag(x) (ouf(x) est n´egligeable devant g(x), ou encore g(x) est infiniment grandpar rapport `af(x) ou enfing(x) pr´epond´erant devant f(x)) si
x→alim f(x) g(x) = 0.
On peut noter ¸ca f <<g ou f(x)<<x→ag(x).
Pr´ epond´ erances standard
Proposition
Sip et q sont deux entiers avec p<q,c etd deux constantes non nulles etaun r´eel quelconque, alors c(x−a)p est pr´epond´erant devantd(x−a)q quandx tend vers a.
Exo 1
Entre 2(x−1)3 et 3(x−1)2, lequel est n´egligeable devant l’autre quandx tend vers 1 ?
Pr´ epond´ erance et Taylor
Dans un polynˆome de Taylor (´ecrit dans le bon sens !), chaque terme (non nul) est pr´epond´erant devant le suivant. Mais on a mieux :
Proposition
Soitf ind´efiniment fois d´erivable autour dea, et Tn son polynˆome de Taylor d’ordren ena. Alorsf(x)−Tn(x) est n´egligeable devant (x−a)n et Tn est le seul polynˆome de degr´e au plusn ayant cette propri´et´e.
Exemple
Quandx tend vers 0, ex−1−x−x22 −x63 est n´egligeable devant x3.
Exo 2
Quandx tend vers 1, que peut-on dire de√
x−1−x−12 et pourquoi ?
