On considère alors la matrice A ' obtenue comme suit : pour tout entier naturel j compris entre 1 et n, la jème colonne de A ' est la somme des n − 1 colonnes de A d’indices différents de j.

PanaMaths Mai 2012

Soit ^{A =} ( ) ^a

^ij

une matrice carrée d’ordre n.

On considère alors la matrice A ' obtenue comme suit : pour tout entier naturel j compris entre 1 et n, la jème colonne de A ' est la somme des n − 1 colonnes de A d’indices différents de j.

Comparer det A et det A'.

Analyse

Ici encore, on a intérêt à « revenir aux fondamentaux » en adoptant une approche vectorielle du problème posé.

Résolution

Nous identifions les colonnes de la matrices A comme les coordonnées de n vecteurs

1, 2, ..., _n u uG G uG

.

Dans ces conditions, on a : det A=det

(

u uG G1, 2, ...,uG_n

)

. Par construction de la matrice A ' , on a aussi :

(

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1

)

det A'=det uG + + + +uG uG ... u uG G_n, + + + +uG uG ... u uG G_n, +uG + + +uG ... uG_n, ...,uG +uG + + +uG ... uG_n−

Pour « y voir plus clair » et simplifier les calculs, nous introduisons le vecteur :

1 2 3 ... _n

vG= +uG uG + + +uG uG Il vient alors : det A'=det

(

vG G G G G G−u v1, −u v2, −u3, ...,vG G−u_n

)

.

PanaMaths Mai 2012

En utilisant la multilinéarité du déterminant, on développe det A ' en ne conservant que les déterminants où vG

n’apparaît qu’au plus une seule fois :

( )

( )

( )

( )

( )

1 2 3

1 2 3

dans ce déterminant, n'apparaît pas

2 3

1 3

1 2

1

det A' det , , , ...,

det , , , ...,

det , , , ..., det , , , ..., det , , , ..., ...

det ,

n

n v

n

n

n

v u v u v u v u

u u u u

v u u u

u v u u

u u v u

u

= − − − −

= − − − −

+ − − −

+ − − −

+ − − −

+ + −

G

G G G G G G G G

G G G G

G G G G

G G G G G G G G

(

G −uG2,−uG3, ...,vG

)

Mais :

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 3 1 2 3 2 3

1 2 3

1

1 2 3

1

det , , , ..., det ... , , , ...,

det , , , ..., 1 det , , , ..., 1 det A

n n n

n n

n n

v u u u u u u u u u u

u u u u

u u u u

−

−

− − − = + + + + − − −

= − − −

= −

= −

G G G G G G G G G G G

G G G G

G G G G

En raisonnant de façon similaire, on aura aussi :

(

1 3

) (

1 2

) (

1 2 3

) ( )

¹

det −u vG G, ,−uG , ...,−uG_n =det −uG,−u vG G, , ...,−uG_n = =... det −uG,−uG ,−uG, ...,vG = −1 ⁿ⁻ det A

Enfin, on a : det

(

−uG1,−uG2,−uG3, ...,−uG_n

) ( )

= −1 detⁿ

(

u u uG G G1, 2, 3, ...,uG_n

) ( )

= −1 det Aⁿ . En définitive :

( ) ( )

¹

( ) ( )

¹

det A '= −1 det Aⁿ + × −n 1ⁿ⁻ det A= n− × −1 1ⁿ⁻ det A

Résultat final

Pour toute matrice carrée d’ordre n ^A=

( )

aij , le déterminant de la matrice A ' obtenue en remplaçant chaque colonne de A par la somme des n−1 autres colonnes est donné par :

( ) ( )

¹

det A '= n− × −1 1ⁿ⁻ det A