D638. La Saga de la règle seule (4ème épisode)
Problème proposé par Yves Foussard
Avec la règle seule tracer les centres de trois cercles tangents deux à deux
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On va appeler dégénérés les deux cas où les trois points de contact coïncident:
Figure 1 et non-dégénérés les autres cas:
Figure 2
qui naturellement vont demander un traitement différent. On remarquera que, dans les cas dégénérés, les trois centres sont alignés; ce qui peut arriver aussi comme cas très particulier de la partie de droite en Figure 2 (voir Figure 3 ci-après).
On se propose de montrer:
Théorème. Pour trouver les trois centres:
quinze traits suffisent dans le cas dégénéré;
huit traits suffisent dans le cas non-dégénérés; sauf, peut-être,
dans le cas exceptionnel de Figure 3, où on va montrer que neuf traits suffisent.
Figure 3
Quelques propriétés intéressantes.
On va au préalable développer quelques idées qui nous aideront à réaliser nos constructions. Il s’agit de propriétés valables dans le cas de deux cercles tangents, peu importe si intérieurement ou extérieurement; U dénote le point de contact.
Propriété 1 Soit A1A2 une corde dans un des cercles; on note B1 (respectivement B2) le point coupé dans l’autre cercle par la droite UA1 (respectivement UA2). Alors les droites A1A2 et B1B2 sont parallèles.
Dém. Il suffit de remarquer que les triangles UA1A2 et UB1B2 sont homothétiques.
Propriété 2 En particulier, lorsque la corde A1A2 est un diamètre du premier cercle, la corde B1B2
est un diamètre dans l’autre, parallèle à A1A2.
Dém. Il suffit de remarquer que l’angle B1UB2 est égal à l’angle A1UA2 qui est droit.
Propriété 3 Une droite passant par U qui coupe un cercle suivant un diamètre coupe aussi l’autre cercle suivant un diamètre.
Dém. La droite est orthogonale à la tangente commune.
Propriété 4 On part d’une droite coupant sur les deux cercles les cordes AB et CD. On note A’B’ la corde qu’on obtient ramenant (à travers le point de contact U) la corde CD dans l’autre cercle. Alors le quadrilatère ABB’A’ est un trapèze isocèle.
Dém. Grâce à la propriété 1 la corde A’B’ est parallèle à CD, donc à AB; deux cordes parallèles dans un même cercle engendrent un trapèze isocèle (qui peut naturellement, dégénérer en rectangle ou en carré…)
Le cas non-dégénéré
On passe maintenant au cas où les cercles sont trois, dans le cas non-dégénéré. On note A, B et C les centres des trois cercles (centres qui, bien entendu, ne sont pas connus) et a, b, c les cercles correspondants. Les points de contact entre a et b, b et c, c et a seront notés ab, bc et ca respectivement.
Lemme On part d’un point A1 sur le cercle a, avec A1 différent de ab et de ca. On ramène A1 en B1 sur b à travers ab, puis B1 en C1 sur c à travers bc, et finalement, à travers ca, on passe de C1 à A2 sur a. La corde A1A2 est un diamètre de a.
Dém. Soit A’ le point de a tel que A1A’ est un diamètre de a; la propriété 2 assure que, avec notations évidentes, B1B’ est un diamètre dans b parallèle à A1A’ et C1C’ est un diamètre dans c parallèle à B1B’ (donc à A1A’). C1C’, ramené dans a à travers ca, est un diamètre parallèle à (et donc coïncidant avec) A1A’; ce qui équivaut à dire que A2 coïncide avec A’.
Remarque De façon analogue, continuant le tour de A2 à B2 à travers ab, de B2 à C2 à travers bc, la corde B1B2 (respectivement C1C2) est un diamètre de b (respectivement un diamètre de c). En particulier huit traits suffisent à tracer un diamètre (colorié en rouge) dans chacun des cercles:
Figure 4
En particulier, pour ce qui concerne le cas de Figure 3, traçant comme neuvième droite la ligne joignant les points de contact on trouve les trois centres avec neuf traits. Pour ce qui concerne les autres cas de Figure 2, il suffirait de répéter (à partir d’un différent point A1) ce qu’on a fait en Figure 4; on obtiendrait ainsi, avec seize traits, deux diamètres dans chaque cercle. Toutefois la moitié des coups suffit, comme on voit de la figure suivante.
Figure 5
L’idée est liée à la Propriété 3: si, dans Figure 4, on choisit A1 coïncidant avec ab, la droite joignant A2 et A1 est en fait un diamètre aussi pour le cercle c. Dans le cas non-dégénéré huit droites sont donc suffisantes.
Le cas dégénéré
On supprime pour le moment un des cercles et on trace une droite coupant les deux cercles restants.
Grâce à la Propriété 4 la technique du quadrilatère complet (lignes en rouge dans Figure 7) fournit une droite qui passe par les points-milieu de AB et de A’B’; il s’agit évidemment d’un diamètre. On remarquera que, la corde A’B’ et son point milieu n’étant pas nécessaires, huit droites suffisent:
Figure 6
Remarque Pour ce qui concerne la figure de droite, si les deux cercles avaient le même rayon il faudrait travailler un peu plus; toutefois, partant de Figure 1, on peut toujours choisir le cercle à supprimer de façon à travailler avec deux cercles de rayon différent.
On garde maintenant de la Figure 6 uniquement le diamètre rouge; on rajoute quelque part un troisième cercle (tracé en vert) et on applique la Propriété 2; quatre droites suffisent à tracer un diamètre dans les autres cercles. On aboutit donc à trois diamètres, un dans chaque cercle, parallèles entre eux, à l’aide de douze droites.
Figure 7
On termine à l’aide de la propriété 3, traçant un diamètre qui passe par le point de contact U. Encore une fois il suffit de compléter un quadrilatère; en Figure 8 deux lignes déjà présentes ont été tracé en pointillé; les trois diamètres déjà trouvés sont tracés en rouge; et on doit tracer uniquement les trois droites en noir. Dans le cas dégénéré quinze traits sont donc suffisants à résoudre le problème.
Figure 8
Remarque Les idées utilisées pour le traitement du cas dégénéré sont prises du site Geometriagon où des nombreux problèmes voisins ont été proposés; en particulier le Problème 1538 demande de construire, à la règle seule, les centres de deux cercles tangents. La stratégie décrite ici pour le cas dégénéré est en fait une adaptation au cas des trois cercles de la solution du Problème 1538 proposée par un des lecteurs de Geometriagon.
