D639. La Saga de la règle seule (5

D639. La Saga de la règle seule (5

épisode)

Avec la règle seule et un cercle dont on connaît le centre : a)tracer le symétrique d’un point par rapport à un autre point, b)tracer le symétrique d’un point par rapport à une droite.

Solution proposée par Claudio Baiocchi

Schéma de la solution

On va résoudre les deux problèmes profitant du fait que, lorsque sur la feuille on a tracé un cercle et son centre, la règle seule est suffisante à:

Construire un couple de parallèles et leur bissectrice (1) ce qui en particulier entraine qu’on peut:

Tracer la parallèle à une droite passant par un point . (2)

Doubler ou diviser par deux un segment (3)

Le point 3 résout la partie (a); pour ce qui concerne la partie (b) on montrera qu’on peut

Tracer une droite orthogonale à une direction (4) d’où, grâce à (2), pour tout point P et toute direction d on sait tracer la droite par P orthogonale à d;

ce qui ramène le problème (b) au problème (a).

Quelques constructions liées au parallélisme

Beaucoup des propriétés dont on vient de parler ont été développées dans les précédents épisodes de la saga mais on va de toute façon reprendre leurs constructions. Presque toute construction à la règle seule utilise le fait que, à partir d’un point P et d’un couple de droites parallèles, on sait tracer la troisième parallèle passant par P (théorème de Desargues). En particulier, lorsqu’on a tracé un cercle et son centre, la propriété (1) est immédiate: il suffit de tracer un rectangle et de mener la parallèle pour le centre à un couple de côtés opposés. On peut d’ailleurs se passer du théorème de Desargues et obtenir les propriétés (1), (2), (3) s’appuyant aux propriétés concernant le quadrilatère complet et les droites de Ceva. Précisément on commence à remarquer que:

Figure 1

On se donne, sur une droite s, un segment AB et son point milieu C.

1) On choisit n’importe comment un point Q au-dessus de P et on trace les droites QC et BP qui se coupent en R.

2) on trace les droites QB et AR qui se coupent en S.

3) La droite PS résulte alors parallèle à s.

D’ici on tire aisément la propriété (1):

Figure 2

On reprend la construction de figure 1 partant d’un point P sur le cercle et d’un diamètre comme segment AB;

segment dont on connait le point milieu C (le centre du cercle).

On appelle T la deuxième intersection de la parallèle PS avec le cercle; et on trace les diamètres PP’, TT’.

La droite T’P’ est elle aussi parallèle à AB car PTP’T’ est un rectangle.

Puisque C est le centre du rectangle, la droite AB est bien la bissectrice du couple (PT,P’T’)

Ayant tracé sur la feuille deux parallèles et leur bissectrice, toute droite coupant ce triplet le coupe suivant un segment et son point milieu; ce qui, à partir d’un segment UV, permet de construire le point-milieu X et le point Y tel que U est milieu de YV:

Figure 3

Sur une parallèle à UV (en rouge) on trace comme en figure 1 un segment PS et son point milieu.

On trouve l’intersection entre PV et SU, que l’on joint à T; puis celle entre PV et TU, que l’on joint à S.

Naturellement, de façon symétrique, on construirait le point Z tel que V est le milieu de UZ; ce qui complète la discussion des points (1), (2) et (3).

Construction d’une direction orthogonale.

Pour ce qui concerne la propriété (4)

Figure 4

Par rapport à la figure 2 on n’a retenu que les cordes PP’, TT’ et le diamètre AB.

La partie en jaune construit le point K tel que la droite PK (en rouge) est parallèle à la direction donnée.

Cette parallèle coupe le cercle en un deuxième point P’’ et la droite joignant P à P’’ est la perpendiculaire cherchée.