D640. La Saga de la règle seule (6
èmeépisode) Problème proposé par Yves Foussard
Trouver à la règle seule les centres de deux cercles tangents.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On peut aisément adapter à ce nouveau problème le traitement qu’on a donné à propos du 4ième épisode de la saga. Il s’agit du traitement suggéré par un des lecteurs du site Geometriagon relatif au Problème 1538, dont on va reprendre les points essentiels de la stratégie.
Quelques propriétés de base. On note U le point de contact des deux cercles. Pour toute droite r qui coupe les deux cercles, on a:
1. Soient A1A2 la corde coupée sur un des cercles et B1B2 la corde coupée dans l’autre.
Si C1 (respectivement C2) est le point coupé dans le premier cercle par la droite UB1
(respectivement UB2) la droite C1C2 est parallèle à r.
Il suffit de remarquer que les triangles UC1C2 et UB1B2 sont homothétiques.
2. En particulier le quadrilatère A1A2C1C2 est un trapèze isocèle, qui peut naturellement dégénérer en rectangle ou en carré.
Grâce à la propriété 1: deux cordes parallèles dans un même cercle engendrent un trapèze isocèle.
Un premier pas vers la solution du problème est alors donné par le fait que, passant du trapèze au correspondant quadrilatère complet, on obtient un diamètre (noté XY dans la figure suivante).
Naturellement il existe des cas limites, qu’on peut aisément éviter. Premièrement la droite r ne doit pas passer par un centre (ça serait trop chanceux!) et d’autre part, du moins pour ce qui concerne la figure de gauche, il se peut que le trapèze dégénère en rectangle. Dans ce cas compléter le
quadrilatère demanderait beaucoup de travail; mais, pour ce qui concerne la recherche des centres, il s’agirait du cas le plus simple: le croisement des diagonales du rectangle fournirait directement le centre du cercle!
On va maintenant se borner au cas de la figure de gauche, le cas de tangence intérieure n’offrant pas de difficultés supplémentaires (sauf le fait que la figure devient presque illisible); et on suppose aussi que les côtés obliques se croisent en un point Z à l’intérieur de la feuille de papier.
Les deux dernières propriétés dont on va faire usage sont données par:
3. Si XY est un diamètre dans un cercle, et les droites UX et UY coupent l’autre cercle en X’, Y’, la corde X’Y’ est aussi un diamètre.
En fait, l’angle X’UY’ est droit car il est égal à l’angle XUY.
4. La droite joignant les points U et W passe par les centres des cercles, centres qui se trouvent donc au croisement de telle droite avec les diamètres XY et X’Y’ déjà tracés.
La dernière propriété est évidente, mais… il se peut que le point W se trouve à l’infini! Il s’agit d’un cas qui peut se présenter uniquement si les deux cercles sont tangents extérieurement et ont même rayon; dans ce cas on peut s’en sortir par exemple en répétant la construction à partir d’une différente droite r, ce qui fournira un deuxième diamètre XY.
