D1970 – La saga des quatre centres [***** à la main]-4ème épisode Problème proposé par Dominique Roux
On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C.Une droite variable, passant par B coupe le cercle en deux points P et Q.
On suppose que A est en position quelconque. Déterminer le lieu de chacun des centres des 4 cercles tangents aux 3 côtés du triangle APQ.
Solution de l’auteur
On désigne par (Γ) le lieu des centres des quatre cercles tangents aux trois côtés du triangle APQ, notés I, IA ,IP et IQ .
Sans calcul on sait que (Γ) est une courbe algébrique, lieu des points M vérifiant l’égalité des distances d(M,PQ) = d(M,AP) = d(M,AQ). Par élévation au carré et élimination on obtiendrait un polynôme dont on ne voit pas encore aisément le degré.
Plaçons nous dans un repère orthonormé d’origine A, avec B(0,k), le cercle (C) est en position quelconque : x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. La droite PQ s’écrit y = mx + k avec a,b,c,k constants, m variable. Considérons les milieux ω et ω’ de IIA et de IPIQ.
Une expérimentation avec Geogebra conduit à conjecturer que ω et ω’ décrivent une cubique. Le cercle de diamètre ωω’ passe par A,P,Q car c’est le cercle d’Euler du quadrangle orthocentrique I, IA ,IP et IQ. ω et ω’ sont sur la médiatrice de PQ, droite qui passe par C(a,b) et qui est perpendiculaire à PQ, donc qui a pour équation x + my = a + bm. Le cercle de diamètre ωω’ a une équation de la forme (C)+λ(PQ) = 0 (axe radical = PQ). De plus il passe par A(0,0),d’où c + λk = 0, d’où l’équation de ce cercle : x² + y² – 2ax – 2by – cmx/k + cy/k = 0.
Cherchons la conique décomposée en deux droites Aω et Aω’, joignant A aux deux points d’intersection d’un cercle x² + y² – αx – βy = 0 avec une droite x + my = p.
Son équation est de la forme (y – tx)(y – t’x) = 0 où t = yω/xω et t’ = yω’/xω’
avec yω et yω’ racines de (p – my)² + y² – α(p – my) – βy = 0.
D’où yω + yω’ = (2pm – αm + β)/(1 + m²) et yωyω’ = (p² – αp)/(1 + m²).
D’où xωxω’ = (p² – βmp)/(1 + m²) et yωxω’ + yω’xω = (βp + αpm)/(1 + m²).
Finalement (Aω,Aω’) s’écrit (p – βm)y² –(β + αm)xy + (p – α)x² = 0 avec p = a + bm, α= 2a + cm/k et β = 2b – c/k, ce qui donne :
(a –bm + cm/k)(Y² - X²) – (2b – c/k + 2am + cm²/k)XY = 0.
Le lieu de ω et ω’ s’obtient en éliminant m = (X – a)/(b – Y), ce qui donne :
(Y – b)[ak(Y – b) – bk(a – X) + c(a – X)](Y² – X²) – [2bk(Y – b)² – c(Y – b)² + 2ak(a – X)(Y – b) + c(a – X)²]XY = 0 ce qui est une quartique.
On conjecture qu’elle se décompose en une cubique plus une droite. Il y a peu de droites dans la figure. AC est une bonne candidate d’équation : aY – bX = 0. Effectivement, on vérifie que l’équation ci-dessus est le produit de aY – bX par la cubique :
kY(X² + Y²) + (c – bk)X² –2akXY + (c – 3bk)Y² – (c – 2bk)(aX + bY) = 0.
C’est une cubique circulaire qui passe par A et C, la tangente en A (aX + bY = 0) est la perpendiculaire en A à la droite AC. L’asymptote est perpendiculaire à AB.
Passons en coordonnées polaires, IIA étant dirigé par u , direction de Aω . 0
Lieu de ω : kρ2ωsinθ + (c – bk)ρωcos²θ – 2akρωsinθ.cosθ + (c – 3bk)ρωsin²θ – (c – 2bk)(acosθ + bsinθ) = 0.
Le cercle de diamètre IIA, donc de centre ω, s’écrit X² + Y² - 2ρω(xcosθ + ysinθ) + ρI
IA
ρ = 0, (le terme constant est la puissance de A),l’axe radical avec (C) est 2ρω(xcosθ + ysinθ) – 2ax – 2by + c – ρI ρIA = 0.
C’est la droite PQ, donc il passe par B(0,k) : 2ρωksinθ – 2bk + c – ρI ρIA = 0.
D’où ρI
IA
ρ et l’équation vérifiée par ρ et I
IA
ρ : ρ² – 2ρωρ + 2ρωksinθ – 2bk + c = 0.
D’où l’on tire ρω = (ρ² – 2bk + c)/(2ρ – 2ksinθ) qu’il ne reste plus qu’à reporter dans l’équation du lieu de ω, ce qui donne, en polaires, l’équation du lieu de I et de IA (de même que IP et IQ)
k(ρ² - 2bk + c)²sinθ + [(c – bk)cos²θ – 2aksinθcosθ + (c – 3bk)sin²θ]2(ρ² – 2bk + c)(ρ – ksinθ) – 4(c – 2bk)(acosθ + bsinθ)(ρ – ksinθ)² = 0.
Revenant en coordonnées cartésiennes, on voit que le terme dominant est k(X² + Y²)²Y, donc cette courbe est une quintique bicirculaire,d’asymptote perpendiculaire à AB.
Plutôt que de détailler l’équation cartésienne, il est intéressant de remarquer des cas de décomposition :
1) Si A est en C, a = b = 0, le lieu est une cubique circulaire symétrique par rapport à AB et invariante dans l’inversion de pôle A, de cercle directeur (C), IP
et IQ décrivant (C).
2) Si A est à l’infini, le lieu est une quartique bicirculaire ayant deux points doubles réels (/ c,k). Si de plus B est aussi à l’infini, le lieu de I et de IA est une ellipse de centre C,IP et IQ sont à l’infini.
3) Si A est sur (C), c = 0,le lieu des quatre centres est une quartique bicirculaire ayant A pour point double à tangentes perpendiculaires, qui est l’inverse d’une hyperbole équilatère dans une inversion de pôle A.Lorsque B est aussi sur (C), on a deux cercles orthogonaux passant par A et B.
