Universit´e des Sciences et Technologies de Lille Deug MIAS 1`ere ann´ee - Section 3 Math´ematiques Examen partiel, 3 avril 2004 Dur´ee 3h

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille Deug MIAS 1`ere ann´ee - Section 3

Math´ematiques Examen partiel, 3 avril 2004

Dur´ee 3h

Documents et calculatrices interdites.

Barˆeme indicatif : 2+3+4+4+3+5. Les exercices sont tous ind´ependants et peuvent ˆetre trait´es dans un ordre arbitraire.

1. Exercice

Pourn≥1, on pose

Sn=

n−1

X

k=0

n n²+k².

D´eterminer la valeur delim_n→+∞S_nen utilisant une somme de Riemann associ´ee `a une fonctionf : [0,1] → Rque l’on explicitera.

On a les relations

S_n=

n−1

X

k=0

n n²+k² =

n−1

X

k=0

n

n²(1 + (k/n)²) = 1 n

n−1

X

k=0

1 1 + (k/n)².

En cons´equence, si on introduit la fonction (continue)f : [0,1] → Rtelle quef(x) = 1/(1 +x²), alors Sn

s’identifie `a la somme de RiemannS_n = 1/n·Pn−1

k=0f(k/n) qui converge vers l’int´egrale Z 1

0

f(t)dt= Z 1

0

dt

1 +t² = [arctan(t)]¹₀=π 4. En conclusion : limn→+∞Sn=π/4.

2. Exercice

2.1)Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre2en0 deφ(u) = (1 +u)^−1/2. On a

(1 +u)^α= 1 +αu+α(α−1)

2 u²+u²(u), pour tout param`etreα∈R. En particulier, pourα=−1/2, on obtient :

(1 +u)^−1/2= 1−1 2u+3

8u²+u²(u).

2.2)D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre4 en0def(x) = (cosx)^−1/2.

On a cos(x) = 1−x²/2 +x⁴/24 +x⁴(x). On prendu=−x²/2 +x⁴/24 +x⁴(x). On note queutend vers 0 quandxtend vers 0. On a de plus

−1 2u=x²

4 −x⁴

48 +x⁴(x) et 3

8u²=3x⁴

32 +x⁴(x).

Par cons´equent, si on reprend le r´esultat de la question pr´ec´edente, alors on obtient :

cos(x)^−1/2= (1 +u)^−1/2= 1−1 2u+3

8u²+u²(u) = 1 +x² 4 +7x⁴

96 +x⁴(x).

3. Exercice On pose

f(x) =

(cos(x)−2 cos(√

2x) + cos(√ 3x)

x² , pour x6= 0,

0, pour x= 0.

3.1)Ecrire un d´´ eveloppement limit´e `a l’ordre4en0 du num´erateur de cette fraction.

On note

p(x) = cos(x)−2 cos(√

2x) + cos(√ 3x).

Par convention, on note (x) toute fonction de limite nulle en 0. On d´eduit les expressions suivantes du d´eveloppement limit´e de cos(u) :

cos(x) = 1−x² 2 +x⁴

24 +x⁴(x),

−2 cos(√

2x) =−2 + 2x²−8x⁴

24 +x⁴(x), cos(√

3x) = 1−3x² 2 +9x⁴

24 +x⁴(x).

En ajoutant ces expressions, on obtient :

p(x) =x⁴

12 +x⁴(x).

3.2)Prouver quef est continue et d´erivable en0 en utilisant le r´esultat pr´ec´edent.

Si on reprend le r´esultat pr´ec´edent, alors on obtient pourx6= 0 f(x) =p(x)

x² = x²

12+x²(x).

Cette relation reste valable pourx= 0 (chacun des membres de l’´equation est nul dans ce cas). On a donc un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 0 pour la fonctionf(x). Ceci r´epond `a la question 3.3.

Si on utilise ce d´eveloppement, alors on obtient lim_x→0f(x) = 0, ce qui prouve quef est continue en 0.

On sait que f poss`ede un d´eveloppement `a l’ordre 1 en 0 que l’on peut obtenir en tronquant le d´eveloppement `a l’ordre 2 obtenu ci-dessus. On obtient explicitement

f(x) =x(x) = 0 + 0x+x(x).

Ceci prouve quef est d´erivable en 0 et quef⁰(0) = 0.

3.3)Donner ´egalement un d´eveloppement limit´e `a l’ordre2en0def(x)en utilisant le r´esultat de la question 3.1.

Ce r´esultat a ´et´e obtenu dans la question pr´ec´edente : f(x) =x²

12+x²(x).

3.4)Quelle est la position du graphe def par rapport `a sa tangente en(0, f(0)), au voisinage de ce point?

Le graphe def a pour ´equation y=f(x). La tangente en 0 def a pour ´equationy= 0. La diff´erence entre ces expressions est ´egale `a

f(x)−0 = x²

12+x²(x) =x²(1

12 +(x)).

Comme limx→0(x) = 0, on peut trouverδ > 0, tel que pour x∈]0−δ,0 +δ[, on a|(x)|<1/12, ce qui entraine 1/12 +(x)>0. On a doncf(x)−0>0 pourx∈]0−δ,0 +δ[−{0}, ce qui prouve que le graphe def est au dessus de sa tangente en 0 au voisinage de 0.

4. Exercice

4.1)D´ecomposer la fraction

f(t) = 3t−1 (1 +t)(1 +t²) en ´el´ements simples surCet sur R.

On ´ecrit

f(t) = A

1 +t + B

t−i + C t+i.

On multiplie cette ´equation par un facteurt−α, pourα= −1, i,−i, puis on fait t =α, pour obtenir les identit´es

A= 3(−1)−1

1 + (−1)² =−2, B= 3i−1

(1 +i)(2i)= 2−i

2 et C=B=2 +i 2 . On a donc la d´ecomposition complexe :

f(t) = −2

1 +t + 2−i

2(t−i)+ 2 +i 2(t+i).

Si on regroupe les termes conjugu´es, alors on obtient la d´ecomposition r´elle suivante : f(t) = −2

1 +t+2t+ 1 1 +t².

4.2)D´eterminer l’int´egraleF(x) = Z x

0

3t−1

(1 +t)(1 +t²)dt, pour x≥0.

On a

F(x) = Z x

0

3t−1

(1 +t)(1 +t²)dt= Z x

0

−2 1 +tdt+

Z x 0

2t+ 1 1 +t²dt

= Z x

0

−2 1 +tdt+

Z x 0

2t 1 +t²dt+

Z x 0

1 1 +t²dt

=−2 log(1 +x) + log(1 +x²) + arctan(x).

4.3)Que vautlim_x→+∞F(x)?

On a

−2 log(1 +x) + log(1 +x²) = log( 1 +x² (1 +x)²).

Comme

1 +x²

(1 +x)² = 1 + 1/x² (1 + 1/x)², on obtient

x→+∞lim 1 +x²

(1 +x)² = 1 et lim

x→+∞−2 log(1 +x) + log(1 +x²) = 0.

On en conclut

x→+∞lim F(x) = lim

x→+∞arctan(x) =π 2. 5. Exercice

On travaille dans un espaceV de dimension3dont une base est not´ee(e1, e2, e3).

5.1)Prouver que les vecteurs(f₁, f₂, f₃)tels que

f1=e1−e2+e3, f2=e1+e2, f3=e1+e3

forment une baseV.

On forme la matrice des vecteurs (f1, f2, f3) dans la base (e1, e2, e3) :

P_(e1,e2,e3)(f1, f2, f3) =





1 1 1

−1 1 0

1 0 1



.

On triangularise cette matrice par des op´erations ´el´ementaires sur des lignes :





1 1 1

−1 1 0

1 0 1



∼





1 1 1

0 2 1

0 −1 0





L₁ L₂+L₁ L₃−L1

∼





1 1 1

0 −1 0

0 0 1





L₁ L₃ L₂+2L₃

.

Comme on aboutit `a une matrice triangulaire de rang maximal 3, ceci prouve que (f1, f2, f3) forme une base deR³.

5.2)D´eterminer la matriceP =P_(f1,f2,f3)(e₁, e₂, e₃)des coordonn´ees de(e₁, e₂, e₃)dans la base(f₁, f₂, f₃).

On poursuit les op´erations effectu´ees sur la matrice deP_(e1,e2,e3)(f1, f2, f3) jusqu’`a obtenir une matrice identit´e :





1 1 1

0 −1 0

0 0 1



∼





1 0 0 0 1 0 0 0 1





L₁+L₂−L3

−L2

L₃

On reprend les op´erations effectu´ee sur la matrice identit´e. Le r´esultat fournira la matrice de changement de base inverseP(f₁,f₂,f₃)(e1, e2, e3). On obtient :





1 0 0 0 1 0 0 0 1



∼





1 0 0

1 1 0

−1 0 1





L₁ L₂+L₁ L₃−L₁

∼





1 0 0

−1 0 1

−1 1 2





L₁ L₃ L₂+2L₃

∼





1 −1 −1

1 0 −1

−1 1 2





L₁+L₂−L3

−L2

L₃

En conclusion :

P_(f1,f2,f3)(e₁, e₂, e₃) =





1 −1 −1

1 0 −1

−1 1 2



.

5.3)Quelles sont les coordonn´ees du vecteurv=e₁+e₂+e₃dans la base(f₁, f₂, f₃)?

On effectue le produit de la matrice de changement de baseP_(f1,f2,f3)(e1, e2, e3) par le vecteur colonne des coordonn´ee dev dans la base (e1, e2, e3) pour obtenir les coordonn´ee dev dans la base (f1, f2, f3). On obtient explicitement





1 −1 −1

1 0 −1

−1 1 2







 1 1 1



=





−1 0 2



,

d’o`uv=−f1+ 2f₃. 6. Exercice

On travaille dans l’espaceR⁴. On consid`ere les vecteurs(u1, u2, u3, u4)tels que

u₁=





 1 2 1 0





, u₂=





 0 1 2 1





, u₃=





 1 0 1 2





, u₄=





 2 1 0 1





.

6.1)Triangulariser la matrice de ces vecteurs.

On obtient explicitement







1 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1





∼







1 0 1 2

0 1 −2 −3

0 2 0 −2

0 1 2 1







L₁ L₂−2L1

L₃−L1

L₄

∼







1 0 1 2

0 1 −2 −3

0 0 4 4

0 0 4 4







L₁ L₂ L₃−2L2

L₄−L₂

∼







1 0 1 2

0 1 −2 −3

0 0 4 4

0 0 0 0







L₁ L₂ L₃ L₄−L₃

6.2)Construire une base de l’espace U =hu1, u2, u3, u4i engendr´e par ces vecteurs en utilisant le r´esultat de la question pr´ec´edente. Quelle est la dimension de cet espace?

Les vecteurs (u₁, u₂, u₃) associ´es aux pivots forment une sous famille libre maximale de (u₁, u₂, u₃, u₄) et une base de l’espace engendr´e par (u₁, u₂, u₃). Cet espace est donc de dimension 3.

6.3)Compl´eter la base de U obtenue dans la question pr´ec´edente par un ou des vecteurs pour former une base deR⁴.

On consid`ere par exemple le vecteur de la base naturelle deR⁴

e₄=





 0 0 0 1





.

Si on reprend les op´erations effectu´ee dans la question 6.1 pour la matrice des vecteurs (u1, u2, u3, e4), alors on obtient une matrice triangulaire de rang maximal 4. Ceci prouve que les vecteurs (u1, u2, u3, e4) forment une base deR⁴.

6.4)Quelle(s) ´equation(s) doivent v´erifier les variables(y1, y2, y3, y4)pour que le vecteur

v=





 y₁ y₂ y₃ y₄





.

appartiennent `a l’espaceU =hu1, u2, u3, u4i?

Indication: On transformera l’´equation vectorielle x1u1 +x2u2 +x3u3 +x4u4 = v en un syst`eme triangulaire ´equivalent que l’on explicitera.

On reprend les op´erations effectu´ees dans la question 6.1 pour une matrice avec second membre :







1 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1

y1

y₂ y₃ y₄





∼







1 0 1 2

0 1 −2 −3

0 2 0 −2

0 1 2 1

y1

y₂−2y₁ y₃−y₁ y₄







∼







1 0 1 2

0 1 −2 −3

0 0 4 4

0 0 4 4

y₁ y₂−2y₁ y3−2y2+ 3y1

y4−y2+ 2y1





∼







1 0 1 2

0 1 −2 −3

0 0 4 4

0 0 0 0

y₁ y₂−2y₁ y3−2y2+ 3y1

y4−y3+y2−y1







Le syst`eme avec second membre repr´esent´e par cette matrice poss`ede une solution si et seulement si les coordonn´ees du vecteurv v´erifient l’´equationy4−y3+y2−y1= 0. En conclusion :

hu1, u2, u3, u4i=





 y1

y2

y3

y4





∈R⁴ tel que y4−y3+y2−y1= 0

.

6.5)Quelles sont les solutions de l’´equationx1u1+x2u2+x3u3+x4u4= 0_R4?

Cette ´equation vectorielle est ´equivalente au syst`eme triangulaire repr´esent´e par la matrice obtenue au terme de la question 6.1. Soit explicitement :







x1 + x3 + x4 = 0

x2 − 2x3 − 3x4 = 0 4x3 + 4x4 = 0 0 = 0

On peut exprimer les variablesx₁, x₂, x₃en fonction de la variable librex₄en remontant ces ´equations. On obtient ainsi

x₃=−x₄, x₂=x₄, x₁=−x₄.

En conclusion, les solutions de l’´equationsx1u1+x2u2+x3u3+x4u4= 0_R⁴ sont les quadruplets de la forme (x1, x2, x3, x4) = (−x4, x4,−x4, x4) pour x4∈R.

Courriel : Benoit.Fresse@math.univ-lille1.fr