Devoir ` a la maison interdisciplinaire 1

UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

Licence de math´ematiques MAT 242

Groupe INMA 03

Devoir ` a la maison interdisciplinaire 1

`a rendre le 21 mars 2006 Espace des suites l ²

Notation: N d´esigne les nombres entiers strictement positifs.

On utilisera la notation abr´eg´ee ~a pour d´esigner une suite (a _n ) _n∈N . De mˆeme si (a k ) n est une suite (avec un param`etre k), on notera a ~ k pour ((a k ) n ) n∈N . Exemple: pour k ∈ N, soit (a k ) n = ( ¹ _k ) ⁿ , alors a ~ 1 est la suite constante (a 1 ) n = 1 ⁿ = 1 et pour k > 1 le symbole a ~ k d´esigne la suite g´eom´etrique de raison q = ¹ _k (il faut imaginer une suite comme un vecteur de longeur infini).

Soit E l’ensemble des suites num´eriques (a n ) n∈N `a valeurs dans R. On munit E de la structure d’un espace vectoriel de la fa¸con habituelle: soit ~a = (a n ) n∈N et

~b = (b n ) n∈N deux suites. Alors on d´efinit la somme ~a +~b terme par terme ( ~a +~b) n := a n + b n .

La multiplication avec un r´eell λ ∈ R est ´egalement donn´ee terme par terme (λ · ~a) n := λa n .

On d´efinit le sous-ensemble l ² de E (dite des suites l ² ) comme suit

l ² := { ~a = (a n ) n∈N tel que X ∞

n=1

(a ² _n ) converge}.

Exercice 1

a) D´ecider si les suites suivantes sont dans l ² .

• a n = ⁽⁻¹⁾ _n

• a n = ^{(−1) √} _n

• a n = ¹ _n

b) Montrer que si ~a = (a n ) n∈N est un ´el´ement de l ² et λ ∈ R, alors λ · ~a est un

´el´ement de l ²

c) Soit k ∈ N fix´e. On consid`ere le sous-ensemble V ^k de E donn´e par V ^k := { ~a = (a n ) n∈N tel que ∀ n > k a n = 0}

1

Montrer que V ^k est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que V ^k ⊂ l ² . Pour j ∈ N on d´efinit la suite s ~ j = ((s j ) n ) n∈N par

(s j ) n :=

½ 1 si j = n 0 sinon.

Exemple: (s 1 ) 1 = 1 et (s 1 ) 2 = (s 1 ) 3 = (s 1 ) 4 = . . . = 0, de mˆeme (s 2 ) 2 = 1 et (s 2 ) 1 = (s 2 ) 3 = (s 2 ) 4 = . . . = 0.

Montrer que les suites s ~ 1 , . . . , ~ s k sont une base de V ^k .

Pour ~a = (a n ) n∈N et ~b = (b n ) n∈N des ´el´ements de V ^k , on d´efinit

< ~a,~b >:=

X k n=1

a n b n .

Montrer que < , > est un produit scalaire sur V ^k . Montrer que les suites

~

s 1 , . . . , ~ s k sont une base orthonorm´ee de (V ^k , < , >).

d) Soit ~a = (a n ) n∈N et ~b = (b n ) n∈N des ´el´ements de l ² . Montrer que la s´erie P _∞

n=1 (a n · b n ) converge.

Indication: On consid`ere la suite des sommes partielles S _k = P _k

n=1 a _n b _n . Utiliser la question c) et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz pour montrer que pour k ≥ l, on a

|S k − S l | ≤ v u u t [

X k

n=l+1

(a ² _n )] · v u u t [

X k

n=l+1

(b ² _n )].

e) Soit ~a = (a n ) n∈N et ~b = (b n ) n∈N des ´el´ements de l ² . Montrer que X (a n + b n ) ² converge ⇔ X

(a n · b n ) converge.

Montrer que l ² est un sous-espace vectoriel de E.

f) On consid`ere le syst´eme de vecteurs dans l <sup>2</sup> donn´e par les suites s ~ j d´efinies dans la question c). Montrer que c’est un syst`eme libre, mais que ce n’est pas une base de l ² . Donner une description du sous-espace vectoriel de l ² engendr´e par les suites s ~ j

Exercice 2 cf. devoir `a la maison interdisciplinaire 2.

2