Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef
Mars20104
eSc-tec1
DEVOIR DE SYNTHESE N°2
Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie NB :Le sujet comporte deux pages
EXERCICE N°1 (4pts)
1) Résoudre les équations suivantes : a) e2x +ex − =2 0
b) x4 1 e =e c) 1
ln( ) 4
1 x x − =
+ ( déterminer la condition d’existence de l’équation) 2) Déterminer les limites suivantes :
lim ²x ex
+∞ − ;
2 0
lim 1 e x
x
− ;
1
0
limxex
+
EXERCICE N°2(6pts)
(A) Soit g la fonction définie sur
[
0,+∞[
par g x( )= + −x 2 ex1) Etudier les variations de g
2) Montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution unique α . Vérifier que 1,14< <α 1.15
3) Déduire le signe de g(x) sur
[
0,+∞[
(B) On considère le fonction f définie sur
[
0,+∞[
par : ( ) 11
x x
f x e xe
= −
+ et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(
O i j, ,)
1) a) Vérifier que ∀ ≥x 0 1 ( )
x x
f x e
x e
−
−
= −
+ . Déduire
lim
f x( )+∞
b) Montrer que . ( ) '( ) ( 1)²
x x
e g x f x
= xe +
c) Dresser le tableau de variation de f EXERCICE N°3(6pts)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( , , , )O i j k
On considère le point A(0,1 , -1) et le droite D dont un système d’équations paramétrique est :D
1 4 x y z
α α α
= +
= +
= −
; α∈IR
1) Déterminer un point et un vecteur directeur de D puis montrer qu’une équation cartésienne du plan P contenant D et passant par A à pour équation cartésienne :P :2x-y+z+2=0
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2) Soit B(1,-1,0) et C(0,0,-2) deux points de l’espace. Montrer qu’une équation cartésienne du plan Q passant par A et perpendiculaire à (BC) est :Q :x-y+2z+3=0
3) Montrer que P et Q sont sécants et déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection
4) Soit le point I(1,1,0)
a) Vérifier que d(I,P) = d(I,Q)
b) Déterminer une équation cartésienne d’une sphère de centre I et tangentes à P et Q
EXERCICE N°4(4pts)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé
On désigne par S l’ensemble des points M(x, y, z) tels que :
² ² ² 4 5 0
x +y +z − y − =
1) Montrer que S est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon 2) Soit P le plan dont une équation est : 2x-2y+z-2=0
a) Déterminer le position de S et P b) Déterminer S ∩P
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