Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef 11/2010- 2h 4

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T3

DEVOIR DE CONTROLE N°1

Le sujet comporte deux pages EXERCICE N°1(4pts)

On donne la figure ci contre:

( , , )O u vr r

est un repère orthonormé

Les points A,B,C,D et E d’affixes respectives z_A,z_B,z_C,z_Detz_E sont sur le cercle de diamètre [AB] centré en F avec D est le symétrique de C par rapport à l’axe des abscisses et E le symétrique de a par rapport à l’origine du repère O

Cocher la ou les bonnes réponses aucune justification n’est demandé 1) z_B = −z_A

2) ^{B C}

A C

z z

z z

−

− est imaginaire pure 3) ^{arg( B A ) arg( E C ) 2}

[ ]

E A B C

z z

z z

z ⁻z ≡ − z ⁻z π

− −

4) z_D =z_C et z_A =z_E 5) z_A +z_E +z_C +z_D =2 EXERCICE N°2(6pts)

1) Compléter dans  :− =12 (...)²

2) Résoudre dans  l’équationz²−2z + =4 0. On désigne par z₁la solution de partie imaginaire positive et parz₂ l’autre solution

3) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions z₁etz₂ 4) Déterminer le module et un argument de(z₁)²et (z₂)²

5) Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( , , )O u vr r

on donne les points A, B, C et D d’affixes respectives 1+i 3 ; 1−i 3 ; − +2 i2 3 et − −2 i2 3

a) Montrer que le triangle ACD est rectangle en A

b) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : z − +1 i 3 =2 3

EXERCICE N°3(4pts)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé on donne la représentation graphique d’une fonction f définie sur IR

1) Déterminer graphiquement les limites suivantes : lim ( )

x f x

→−∞ ; lim ( )

x f x

→+∞ ; ( )

lim

x

f x

→+∞ x ;

1

( ) ( 1)

lim 1

x

f x f

→− x

− −

+ .

2) Déterminer graphiquement f '(1)

3) Dire pour quoi f n’est pas dérivable en 0 puis déterminer s’il existe f ' (0)_g et f ' (0)_d

EXERCICE N°4(6pts)

Soit la fonction définie sur IR par : 1 cos

si 0

1 ² 1

si 0 1

( )

² 2

si 1 1

(0) 0

x x

x

x x

f x x

x x

x f

−

 <



+ −

 < <

=

 −

 ≥

+



 =



1) Montrer que pour x <0 on a : 2

( ) 0

x ≤f x ≤ . En déduire lim ( )

x f x

→−∞

2) Montrer que f est continue en 0

3) Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter graphiquement 4) On donne pour x ≥1 l’équation (E ):g x( )=0avec 1

( ) ( )

g x f x

= −x . a) Montrer que (E ) admet une solution α ^dans

] [

b) Montrer que α³ =3α+1

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