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Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef
Décembre 20094
eSc-tec1
DEVOIR DE SYNTHESE N°1
Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie NB :Le sujet comporte deux pages
EXERCICE N°1(4points)
On considère les nombres complexes 1 1 3 2
z = −i et 2 3 3 2 z = +i 1) Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle.
2) Soit θ∈
] [
0,πa) résoudre dans l’équation : z²−2z + −1 e2iθ =0
On désigne par z ' la solution ayant la partie imaginaire négative et z"l’autre racine b) Ecrire z 'et z"sous forme trigonométrique
3) Déterminer θ pour que l’on ait z '=z1 etz "=z2. EXERCICE N°2(7points)
1) Résoudre dans l’équation :z²+ 3z + =1 0
2) Soit dans l’équation (E) :z3+( 3−i z) ²+ −(1 i 3)z − =i 0
a) Montrer que l’équation (E) admet une solution imaginaire pure z0 b) Trouver les nombres complexes a, b et c tels que :
z3+( 3−i z) ² (1+ −i 3)z − =i (z −z0)(az²+bz +c) c) Résoudre alors (E )
3) On donne dans le plan complexe les points A et B d’affixes respectives zA =i ; 3
B 2
z =− +i et le point C symétrique de B par rapport à l’axe des abscisses a) Déterminer l’affixe de C
b) Représenter sur un même graphique les points A, B et C c) Déterminer le module et un argument du quotient : C B
A B
z z
z z
−
− d) En déduire la nature du triangle ABC
e) Donner par le calcul une mesure de l’angle (BA BC, ) uuur uuur
EXERCICE N°3(9points)
Soit la fonction f définie sur
]
0,+∞[
par f x( ) 1 1= +x et
C
sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , , )O i jr r
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1) Calculer
0
lim f+ et lim f
+∞ . Interpréter graphiquement les deux résultats
2 2) a) Montrer que 1
'( )
2 ² 1 1 f x
x x
= −
+ b) Dresser le tableau de variation de f
c)
TracerC.
3) Soit la fonction h x( )=f x( )−x
a) Calculer h x'( ). En déduire le signe de h’
b) Dresser le tableau de variation de h
c) Montrer que l’équation f x( )=x admet dans
]
0,+∞[
une unique solution α et que 1< <α 24) a) Montrer que f réalise une bijection de
]
0,+∞[
sur un intervalle J que l’on préciserab) Tracer dans la même repère la courbe
C ’
de f −1 c) Expliciter f −1( )x pour x ∈J5) a) Montrer que pour tout x ∈ +∞
[
1,[
, '( ) 1f x ≤ 2
b) En déduire que pour tout x ∈ +∞
[
1,[
, ( ) 1f x − ≤α 2 x −α
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