Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri − − !"# −

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Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri − − !"# −

Devoir De Contrôle N° I EXERCICE N°1(7pts)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé directe(6, 89:, ;:). On considère pour tout réel > ∈ @0,^B_CD, l’équation (G_H) :J − KL^KHJ − ( − K)L^{K H} =

1) Résoudre dans ℂ ,l’équation (P_Q)

2) On considère les points S’ et S’’ d’affixes respectives 2U^VQ et −2(1 − W)U^VQ et le point N image de S’ par la rotation de centre O et d’angle ^B_C

a) Montrer que ∀ > ∈ @0,^B_CD,le point S’ appartient à un cercle C que l’on précisera b) Déterminer l’affixe n du point N

c) Montrer que 6S’\S’’ est un parallélogramme

d) En déduire une construction du point S’’ à partir de S’

3) a) Déterminer en fonction de >,le module et un argument de −2(1 − W)U^VQ b) Déterminer l’ensemble des points S’’ lorsque > varie dans @0,^B_CD 4) Soit l’équation (G′_H) :b√ J − d^e= (− + K)L^KHJ^e

a) Déterminer les racines cubiques du nombre complexe (−2 + 2W)U^VQ b) Soit g ∈ h0, ij. Montrer l’équivalence suivante :

√2k − 1

k = √2U^Vl ⟺ k = √2

4 (1 + Wnopqr sg c) En déduire les solutions de l’équation (G^u_H) . 2t)

EXERCICE N°2(7pts)

On considère les suites (v_w) et (

x

_w) définie sur IN par y v_z = 3

v_w{{|=^}~{•_C ^~ etx_w =_}^€

~

•

1) Calculer x_z ;v_| ;x_| ;v_C ;x_C ;v_ƒ et x_ƒ . Donner l’approximation de v_ƒ et x_ƒ lue sur la calculatrice

2)

Justifier par récurrence que pour tout n de IN,

v

w

> 0 et x

w

> 0

3) a) Démontrer que pour tout n de IN :

(v

_w

+ x

w

)

^C

− 28 = (v

w

− x

w

)².

b) En déduire que :

v

_w{|

− x

_w{|

=

_ˆ}^|_~‰Š

(v

_w

− x

_w

)²

c) Conclure que ∀ r ∈ ‹\ on a :

v

_w

− x

_w

≥ 0

4) Montrer que la suite (v_w) est décroissante et que la suite (x_w) est croissante.

5) a) Montrer que

∀ r ∈ ‹\

^∗

, v

_w

≥

^C|_•

b) Utiliser le résultat précédent pour démontrer que :

v

w{|

− x

w{|

≤ 1

10 (v

^w

− x

w

)²

c) En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :

v

w

− x

w

≤

_|z“~”Š^|

d) Déterminer la limite de

v

_w

− x

_w^lorsque n tend vers +∞ .

6) Conclure que les suites (

v

_w^{) et (}

x

_w) sont adjacentes et déterminer leur limite

Gebr@Tic

EXERCICE N°3(6pts)

On a représenté ci –dessous dans un repère orthonormé (C) d’une fonction f définie sur IR où

- le point O est un point de la courbe - (C) admet une branche infinie

- (C) admet une branche infinie au voisinage de - (6, ˜:< est une asymptote verticale à (C )a droite en 0 - (C ) admet une demi tangente horizontale en O e

A(1,0) comme indique le graphique

1) Par lecture graphique déterminer lim

_{∞™5l<

l

; lim lim

_{∞ l

lš™5l<

; lim 2) a) Déterminer ›

b) Dresser le tableau de variation de 3) Soit la fonction g définie sur IR

a) Montrer que pour tout b) En déduire lim

c) Montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et déterminer se prolongement

dessous dans un repère orthonormé 56, œ:, ˜:< la courbe représentative définie sur IR où

le point O est un point de la courbe

admet une branche infinie au voisinage de +∞ de direction la droite (C) admet une branche infinie au voisinage de ∞ de direction (

est une asymptote verticale à (C )a droite en 0

(C ) admet une demi tangente horizontale en O et deux demi tange A(1,0) comme indique le graphique

lecture graphique déterminer : lim

_{∞ |

™5l<

; lim

_š∞™5l<

l

; lim

_|^”™5l<_lš|

; lim

_|^‰

lim

_z^‰

›o›5g< ; lim

_{∞™5š√l<

›5h ∞ , 0h ; ›5h0,1j< et

l

›5j1, f ∞ j b) Dresser le tableau de variation de f

3) Soit la fonction g définie sur IR* par : •5g< M y ›5g

lšžVwl l

Montrer que pour tout g … 0

^lš|_l

‘ •5g< ‘

^l

lim

_{∞

•5g< .Interpréter graphiquement le résultat c) Montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et déterminer

2

la courbe représentative

de direction la droite Ÿ: M^|_¡g n (6, œ:<

demi tangentes verticales en

‰™5l<

lš|

; lim

_z^”™5l<_l

;

y 5g< si g ¢ 0

žVwl

l

si g … 0 •

l{|

.Interpréter graphiquement le résultat

l

c) Montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et déterminer

Gebr@Tic