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Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef Durée 2h 3
eM1
DEVOIR DE CONTROLE N°3
EXERCICE N°1(8pts)
Soit la fonction définie sur IR par : ( ) 1 2 sin(2 ) f x = − x −π6
Cf est al courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( , , )O i j et C0la représentation graphique de la restriction de f à
[
0,π]
[]1) Montrer qu’on peut étudier f sur
[
0,π[]]
2) a) Etudier les variations de f sur
[
0,π[]]
b) Compléter le tableau suivant :x 0 π
6 π
3 π
2 5π
6 π
f(x)
c) Tracer C 0.Expliquer comment tracer Cf à partir de C 0 3) Soit la fonction :
[
,]
x 2 cos ² 3 sin 2 g
x x
π π
− →
− ℝ
֏
a) Montrer que pour tout x ∈
[ ]
0,π , g x( )=f x( ).On donne 1 cos 2+ x =2 cos ²x ; sin(a b− =) sin .cosa b−cos .sina b b) Etudier la dérivabilité de g en 0 (dérivabilité à gauche et à droite) c) Montrer que g est paire. Expliquer comment peut-on construire Cg en
utilisantC 0. EXERCICE N°2(4pts)
Soit les nombres complexes : z1= − −1 i , z2 = − +1 i 3 et 1
2
Z z
= z 1) Ecrire z1, z2 et Z sous forme trigonométrique
2) Ecrire Z sous forme algébrique 3) En déduire les valeurs exactes de 7
cos12
π et 7 sin 12
π EXERCICE N°3(8pts)
Soit U une suite définie sur IN par :
0
1
0
2 1
2
n n
n
U U U
+ U
=
+
=
+
1) Calculer U1,U2et U3et déduire que U ni arithmétique ni géométrique 2) a) Déterminer a et b tels que 1
n 2
n
U a b
+ = +U +
b) Montrer par récurrence que pour tout n∈ℕ , 0≤Un ≤1
c) Montrer que U est croissante ֏
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3) Soit la suite V définie sur IN par 1 1
n n
n
V U U
= − +
a) Montrer que V est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
b) Exprimer Vnen fonction de n c) Déterminer lim n
n V
→+∞
d) Exprimer Unen fonction de n e) En déduire lim n
n U
→+∞
4) Posons cos( )
n 2n
U = π
pour tout n∈ℕ*\ {1}
a) Simplifier Vnpour tout n >1 b) En déduire ( )
tg 16π
et 9
( )
tg 16π On donne pour 4)a) : cos 1 2 cos ²( )
2 X + = X
cos 1 2 sin ²( ) 2 X − = − X
