Terminale ES DM3 5 d´ecembre 2014 Exercice 1 :
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur Rpar :
f(x) = (ax+b)ex−1+c,
o`u a, b et c sont trois r´eels que l’on propose de d´eterminer.
La courbeC repr´esentative def dans un rep`ere orthogonal est trac´ee ci- dessous. Elle passe par le pointA(1; 5) et la droite D est sa tangente en ce point.
Les points B(0; 2) et D(2; 8) appar- tiennent `a la droite D. La courbeC admet ´egalement une tangente hori- zontale au pointC d’abscisse−12.
−4. −3. −2. −1. 1. 2.
−1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
0 f
A
B C
D
a
b
Partie A
(1) a. Pr´eciser les valeurs def(1) et de f0(−12).
b. D´eterminer le coefficient directeur de la droiteD. (2) D´eterminerf0(x) pour toutxr´eel.
(3) a. Montrer quea, b, cv´erifient le syst`eme :
a+b+c = 5 a+ 2b = 0 2a+b = 3.
b. D´etermineraetben r´esolvant le syst`eme form´e par les deux derni`eres
´
equations.
c. En d´eduire le r´eelc, puis l’expression de la fonctionf. Partie B
On admet dans la suite de l’exercice que pour tout r´eelx: f(x) = (2x−1)ex−1+ 4.
(1) Dresser le tableau de variations def surR.
(2) Montrer que l’´equationf(x) = 6 admet une unique solution r´eelleαsur l’intervalle [1; 2] et donner un encadrement deαd’amplitude 0,1.
