Seconde 12 DS 7 : Correction 23 mars 2018 Exercice 1 : R´esoudre des ´equations/in´equations (10 minutes) (3 points)
R´esoudre :
1. (x−5)(x−3)>0 2. −(2x+ 3)(x−5)>0 3. x2+x= 0
Solution:
1. S=]− ∞; 3[∪]5; +∞[
2. S= [−23; 5]
3. S={0;−1}
Exercice 2 : ´Equation de droites (10 minutes) (4 points)
Soient A(5; 3) et B(3; 7)
1. D´eterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
2. En d´eduire l’´equation de la droite (AB).
3. C(2; 5) est-il un point de la droite (AB) ? 4. Soient D(5; 9), donner une ´equation de (AD).
Solution:
1. Le coefficient directeur est −42 =−2
2. L’´equation est du typey=−2x+p. CommeAest un point de la droite : 3 =−2×5+pc’est-a-dire p= 13.
L’´equation est y=−2x+ 13
3. −2×2 + 13 = 96= 5 doncC n’appartient pas `a la droite.
4. Aet Dont la mˆeme abscisse. L’´equation estx= 5.
Exercice 3 : Polynˆome du second degr´e (15 minutes) (5 points) Soient f la fonction d´efinie surR parf(x) =−2(x+ 3)2+ 50.
1. D´eterminer la forme d´evelopp´ee de f(x).
2. Compl´eter le tableau de variations def sur R 3. Comment s’appelle sa courbe repr´esentative ? 4. Cette courbe admet-elle une sym´etrie ? Si oui
pr´ecisez-l`a.
5. Factoriserf(x).
6. En d´eduire les solutions def(x) = 0.
x f
−∞ −3 ∞
--
50 50
--
Solution:
1. −2(x+ 3)2+ 50 =−2(x2+ 6x+ 9) + 50 =−2x2−6x−18 + 50 =−2x2−20x+ 32 2. Voir ci-dessus.
3. Elle s’appelle une parabole.
4. Oui elle admet une sym´etrie par rapport `a la droite d’´equation x=−3.
5. f(x) =−2((x+ 3)2−25) =−2((x+ 3−5)(x+ 3 + 5)) =−2(x−2)(x+ 8).
6. Les solutions sont 2 et−8.
Exercice 4 : Syst`eme d’´equations (10 minutes) (4 points)
Seconde 12 DS 6 Page 2 de 2 Soient deux droites d1 et d2 d’´equations
r´eduites : y=−x−2 ety= 2x+ 1.
On cherche `a r´esoudre le syst`eme suivant :
y=−x−2
y= 2x+ 1
1. Expliquer pourquoi le syst`eme admet une solution.
2. Tracer les droites dans le rep`ere ci- contre.
3. R´esoudre graphiquement en justifiant le syst`eme ci-dessus.
4. R´esoudre alg´ebriquement le syst`eme.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1 1 2 3
0
Solution:
1. Les coefficients directeurs sont diff´erents. Les droites ne sont pas parall´eles. Le syst`eme d’´equations admet une unique solution.
2. Voir ci-dessus.
3. En utilisant le graphique, on remarque que la solution est (−1;−1) 4.
y =−x−2
y = 2x+ 1 ⇔
y=−x−2
−x−2 = 2x+ 1 ⇔
y=−x−2
x=−1 ⇔
y=−1
x=−1 La solution est (−1;−1)
Exercice 5 : D´emonstration (5 minutes) (11/2 points)
D´emontrer que la fonctionf d´efinie sur Rparf(x) =−5(x−2)2−5 est croissante sur ]− ∞; 2[.
Solution: Soientaetbdeux r´eels tels quea < b <2. On a donca−2< b−2<0, donc (a−2)2>(b−2)2 car la fonction carr´e est croissante sur ]− ∞; 0[ donc−5(a−2)2−5<−5(b−2)2−5 donc la fonction est strictement croissante sur ]− ∞; 2[.
Exercice 6 : Prise d’initiative (10 minutes) (21/2 points) Soit f une fonction du seconde degr´e dont on se
donne le tableau de variations.
1. Compl´eter le tableau de variations ci-contre.
2. D´eterminer l’expression de f.
x
f
−4 1 6
0 0
50 50
0 0
Solution:
1. Par sym´etrie de la courbe, on a le tableau ci-dessus.
2. On a f(x) =a(x−1)2+ 50. On sait queaest n´egatif.
On sait aussi que f(6) = 0 c’est-`a-dire a(52) + 50 = 0 c’est-`a-dire a=−2.
On a f(x) =−2(x−1)2+ 50.
