I Equation d’une droite 1. Equation réduite d’une droite ; coefficient directeur

I Equation d’une droite

1. Equation réduite d’une droite ; coefficient directeur Théorème (admis)

• Toute droite D du plan admet une équation de la forme y =mx+p, ou bien x= c. Cette équation s’appellel’équation réduitede la droiteD.

• Réciproquement, l’ensemble des pointsM(x;y)du plan vérifianty=mx+pest unedroitenon parallèle à l’axe des ordonnées. L’ensemble des pointsM(x;y)du plan vérifiant x=c est une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

a) Définition

Soit une droite D d’équation y =mx+p. Le réelm s’appelle coefficient directeur de D. Le réel ps’appelle ordonnée à l’origine.

Exemple

• L’équation y = −2x−1 est l’équation réduite d’une droite de coefficient directeur m = −2 et d’ordonnée à l’originep=−1.

• Soit l’équation 2y+ 1 = 2x+ 5. Est-ce une équation de droite ? Si oui, déterminez, s’il existe, le coefficient directeurmet l’ordonnée à l’origine p. Tracer ensuite la droite correspondante.

Même exercice (partie exercice) avec les équations :

y= 2x+ 1 y= 3x+ 1 y= ^−4x+2₂ x= 5

2x−3y= 1 ¹₂y+ 3x= 2 y= 1

b) Méthode pour mettre une équation sous forme réduite

METHODE1

Pour mettre sous forme réduite une équation en xet y comme 2y+ 1 = 2x+ 5, onisole yà gauche du signe égal (y=x+ 2dans l’exemple). Si l’on obtient une équation de la formey=mx+p(c’est le cas dans l’exemple avecm= 1etp= 2), l’équation est l’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.

c) Méthode pour tracer une droite d’équation réduite

y=mx+p

METHODE2

• Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points. Exemple pourD : y=x+ 2 :

• On choisit une abscisse (facile), par exemplex = 0. On veut savoir l’ordonnée du point d’abscisse 0 qui appartient à D. Pour cela, on remplacex par 0 dans l’équation de D : D passe par le point de coordonnées(0; 2).

• On obtient de même un deuxième point de D : choisissons par exemplex= 2. D passe par le point d’abscisse 2 et d’ordonnée2 + 2donc D passe par(2; 4).

• On place les deux points, (0; 2) et (2; 4) en l’occurrence, et on trace l’unique droite qui passe par ces deux points.

c) Méthode pour trouver l’équation réduite

y=mx+p

d’une droite à partir de son tracé

Si la droite D est parallèle à l’axe des ordonnées, son équation est de la formex=c. Il suffit de relever l’abscisse csur le graphe. Sinon :

Pour trouverm:

METHODE3

• On choisit deux points (faciles, de coordonnées entières si possible) A et B sur la droite.

• On relève leurs coordonnées(x_A;y_A)et(x_B;y_B).

• On a alorsm= ^y_x^B−yA

B−xA. METHODE3bis

• On choisit deux points (faciles, de coordonnées entières si possible) A et B sur la droite.

• m= Deplacement vertical (signe) entre A et B Deplacement horizontal (signe) entre A et B.

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Pour trouverp:

METHODE4

• On suppose qu’on a déjà trouvé m, dans l’exemple précédentm = 2. Dans ce cas, l’équation de D est de la formey= 2x+p.

• On choisit un point de D, par exemple celui d’abscisse 0. On relève ses coordon- nées (dans l’exemple précédent choisissons A(0 ;1)).

• On remplace, dans l’équation de D (y = 2x+pdans l’exemple), xet y par les coordonnées du point choisi (1 = 2×0+p). On résout alors l’équation d’inconnue p(p= 1ici).

• Graphiquement,pest tout simplement... l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire l’or- donnée en laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées !

2. Droites parallèles Proposition (admise)

Dans un repère, deux droitesdet d⁰ d’équations réduitesy=mx+pety=m⁰x+p⁰ sont parallèlessi et seulement sielles ont le même coefficient directeur (c’est-à-direm=m⁰).

Exemple

y =−2x+ 1 et y = ^−6x−3₃ sont-elles des équations de droite ? Si oui ces droites sont-elles parallèles ? Les tracer dans un repère orthonormal.

II Droites et systèmes

1. Système de deux équations à deux inconnues

le système (S)

ax+by=c

a⁰x+b⁰y=c⁰ oùa,b,a⁰,b⁰ sont des réels connus est un système d’équation à 2 inconnuesxet y. Résoudre (S), c’est trouver tous les couples(x;y)qui vérifienten même tempsles deux équations du système.

2. Interprétation graphique ; nombre de solutions de (S)

La première équationax+by=cest en fait une équation de droite : elle peut se mettre sous la formey=mx+p (sib6= 0) oux=d(sib= 0). De même, la deuxième équation de (S) est une droite, qui peut se mettre sous la forme y=m⁰x+p⁰ (sib⁰6= 0) ou sous la formex=d⁰ (sib⁰= 0).

Supposonsb6= 0 etb⁰ 6= 0. Le système (S) peut se réécrire

y=mx+p (1)

y=m⁰x+p⁰ (2)

(1) et (2) sont les équations réduites de deux droites(d)et(d⁰). Trouver un couple de solution(x, y), c’est alors trouver un ou plusieurs points, s’ils existent, qui appartiennentà la foisà (d)et à(d⁰). 3 cas de figures sont possibles :

y=x+ 1 (1)

y= 5−3x (2)

Le système (S) a une et une seule solution: . . . .

y=x+ 1 (1)

1.5y= 1.5x+ 1.5 (2)

Le système (S) a une infinité de solution: tous les points de (d).

y=x−1 (1)

y=x+ 3 (2)

Le système (S) n’a dans ce cas au- cune solution.

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3. Résolution du système (S)

Dans le cas où il y a une et une seule solution, on opère par combinaisonou par substitution(voir début de l’année +livre page 319+ module). Dans le cas où il y a une infinité de solution, on constate que les deux équations du système sont en fait les mêmes. Dans le cas où il n’y a pas de solution, elles ne peuvent avoir une solution commune (exemple :x+y= 1et x+y= 3).

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