Dans le cas très particulier où P est en O, la seule solution est le cercle-point O

D 669 A la recherche des cercles tangents

Solution proposée par Pierre Renfer Question 1

On suppose que les droites D₁etD₂ se coupent en un point O.

On verra à la fin le cas où les droites D₁etD₂ sont parallèles

En général P est strictement intérieur à l'un des quatre secteurs angulaires délimités par D₁etD₂.

Alors dans le secteur angulaire contenant P, on choisit un cercle C tangent à D₁etD₂, avec un centre quelconque sur la bissectrice de D₁etD₂.

La droite (OP) coupe le cercle C en M et N.

On construit le cercle image du cercle C par l'homothétie, de centre O, transformant M en P. et l'on obtient ainsi un cercle tangent à D₁etD₂, passant par P.

On construit aussi le cercle image du cercle C par l'homothétie, de centre O, transformant N en P. et l'on obtient ainsi un deuxième cercle tangent à D₁etD₂, passant par P.

Dans le cas particulier où P est distinct de O et appartient à D₁ouD₂, il existe deux cercles solutions évidentes, avec le centre sur l'une ou l'autre des deux bissectrices de D₁etD₂.

Dans le cas très particulier où P est en O, la seule solution est le cercle-point O.

Si les droites D₁etD₂ sont parallèles, le rôle des homothéties est joué par des translations.

Si P est strictement à l'intérieur de la bande limitée par D₁etD₂, il y a deux cercles solutions.

Si P appartient à D₁etD₂, il n'y a q'une solution évidente.

Si P est strictement à l'extérieur limitée par D₁etD₂, il n'y pas de solution.

Question 2

On suppose que les droites D₁etD₂ se coupent en un point O.

On verra à la fin le cas où les droites D₁etD₂ sont parallèles

On distingue cinq cas :

Cas 1 : Le cercle est intérieur à l'un des quatre secteurs S fermés délimités par D₁etD₂

Cas 2: Le cercle rencontre l'intérieur de deux des quatre secteurs délimités par D₁etD₂

Cas 3: Le cercle est rencontre l'intérieur des quatre secteurs délimités par D₁etD₂

Cas 4 : Le cercle passe par O sans être tangent ni à D₁ ni à D₂

Cas 5 : Le cercle est tangent en O à D₁ouD₂

Etude du cas 1

Soit C un cercle tangent à D₁etD₂ et tangent extérieurement au. cercle

Alors le cercle C', de même centre que C, dont le rayon a été augmenté de la longueur r, passe par le centre I de .

Et le cercle C' est tangent aux droites D₁ 'etD₂', parallèles extérieures au secteur S à D₁etD₂ et à distance r de D₁etD₂ respectivement.

On est ramené à la question 1, avec le point I et les droites D₁ 'etD₂' et il existe deux solutions.

Soit C un cercle tangent à D₁etD₂ et tangent intérieurement au cercle intérieur à C).

Alors le cercle C', de même centre que C, dont le rayon a été diminué de la longueur r, passe par le centre I de .

Et le cercle C' est tangent aux droites D₁ 'etD₂', parallèles à D₁etD₂, vers l'intérieur du secteur S et à distance r de D₁etD₂ respectivement.

On est ramené à la question 1, avec le point I et les droites D₁ 'etD₂' et il existe deux solutions (sauf dans le cas où le cercle est tangent à D₁ouD₂ et où les deux solutions coïncident)

Dans le cas 1, il existe donc en général quatre cercles solutions au total;

Etude du cas 2

Dans chacun des deux secteurs rencontrés par on obtient deux cercles solutions tangents extérieurement à en procédant comme dans le cas 1.

Il n'existe pas de cercles solutions tangents intérieurement à . Dans le cas 2, il existe donc deux cercles solutions.

Etude du cas 3

Dans chacun des quatre secteurs, on obtient un cercle tangent extérieurement à en procédant comme dans le cas 1.

L'inversion f de pôle O, de puissance la puissance O par rapport à , transforme chacun des cercles tangents extérieurement à , en un cercle intérieur à et tangent à .

Dans le cas 3, il existe donc au total huit cercles solutions.

Etude du cas 4

Dans chacun des trois secteurs dont rencontre l'intérieur, on obtient un cercle tangent extérieurement à en procédant comme dans le cas1.

Dans le secteur médian, on obtient de plus un cercle tangent à et intérieur à . L'inversion f ci-dessus transforme en une droite et conserve les droites D₁etD₂.

Elle transforme les deux cercles du secteur en les cercles inscrits et exinscrit du triangle D₁D₂.

Dans le cas 4, il existe donc au total quatre cercles solutions.

Etude du cas 5

Le cercle rencontre l'intérieur de deux secteurs et dans chacune de ces deux secteurs on obtient un cercle solution tangent extérieurement à en procédant comme dans le cas 1.

Dans le cas 5, il existe donc au total deux cercles solutions.