1 Equation r´ ´ eduite d’une droite

Cours de math´ematiques

Droites et Syst`emes

1 Equation r´ ´ eduite d’une droite

Propri´et´e. Pour toute droite du plan muni d’un rep`ere (O,−→ i ,−→

j), il existe une ´equation appel´ee´equation r´eduitev´erifi´ee par les coordonn´ees (x;y)de ses points. Elle est de la forme y=ax+b ou x=c (droite verticale).

Remarques. Dans le cas de l’´equation r´eduite de la forme y=ax+b,best appel´eordonn´ee `a l’origine car c’est l’ordonn´ee du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonn´ees, a est appel´e coefficient directeur car la droite est dirig´ee par le vecteur

1

a

. Exemple. On consid`ere la droite d’´equation y=−2x+ 5 :

Propri´et´e. Le coefficient directeur d’une droite (AB) est dans le cas o`u x_A6=x_B : a= y_B−y_A x_B−x_A .

2 Syst` emes lin´ eaires ` a deux inconnues

D´efinition. On appelle syst`eme lin´eaire d’´equations `a deux inconnues x et y un syst`eme d’´equations de la forme :

a1x+b1y = c1

a2x+b2y = c2

R´esoudre ce syst`eme, c’est trouver tous les couples (x;y) v´erifiant les deux ´equations.

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2.1 Interpr´etation graphique

Chacune des deux ´equations du syst`eme correspond `a l’´equation d’une droite, r´esoudre le syst`eme re- vient `a chercher les coordonn´ees des points d’intersection de ces deux droites.

Trois configurations sont possibles :

– Les deux droites sont s´ecantes : le syst`eme admet une unique solution.

– Les deux droites sont parall`eles : le syst`eme n’admet aucune solution.

– Les deux droites sont confondues : le syst`eme admet une infinit´e de solutions.

Exemple. Consid´erons le syst`eme suivant :

x+y = 5 (E¹)

2y−x = 4 (E2)

(E1) peut se mettre sous la forme y=−x+ 5 : ´equation r´eduite d’une droite D1. (E2) peut se mettre sous la forme y= ¹₂x+ 2 : ´equation r´eduite d’une droite D2.

I

D1

D2

D1 et D2 sont s´ecantes en un point I de coordonn´ees (2; 3) qui est le couple solution du syst`eme.

2.2 M´ethodes de r´esolution 2.2.1 M´ethode par substitution

L’id´ee est d’exprimer l’inconnuey en fonction de l’inconnue x `a l’aide de la premi`ere ´equation puis de la remplacer dans la deuxi`eme ´equation pour obtenir une ´equation lin´eaire `a une seule inconnuex.

Exemple.

2x+y = 5

3x−4y = 1

y = 5−2x

3x−4(5−2x) = 1

y = 5−2x

11x−20 = 1

y = 5−2x

x = ²¹11

x = ²¹₁₁

y = 5−2ײ¹₁₁

x = ²¹₁₁

y = ¹³11

2.2.2 M´ethode par combinaison

L’id´ee est de multiplier chacune des deux ´equations par des coefficients adapt´es de mani`ere `a faire disparaitre une inconnue par addition ou soustraction membre `a membre.

Exemple.

2x+y = 5 (×3) 3x−4y = 1 (×2)

6x+ 3y = 15

6x−8y = 2 d’o`u par soustraction : 11y= 13 et y= ¹³₁₁.

2x+y = 5 (×4) 3x−4y = 1

8x+ 4y = 20

3x−4y = 1 d’o`u par addition : 11x= 21 et x= ²¹₁₁.

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