Suites numériques
1. Étude des variations d’une suite
Méthode. Étudier les variations d’une suite
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs : un+1−un.
• Si on a, pour tout entiern,un+1−un>0, alors la suite (un)n∈
N est croissante.
• Si on a, pour tout entiern,un+1−un60, alors la suite (un)n∈
N est décroissante.
Remarques :
• Si les inégalités sont strictes, la monotonie est également stricte.
• Si l’inégalité n’est vraie qu’à partir d’un certain rang, alors le sens de variation n’aura lieu qu’à partir de ce rang.
Exemple.
Étudions le sens de variation de la suite (un)n∈Ndéfinie pour tout entier naturel npar nn n!. Soitn dansN.
un+1−un= (n+ 1)n+1 (n+ 1)! −nn
n! = (n+ 1)n(n+ 1) n!(n+ 1) −nn
n! = (n+ 1)n n! −nn
n! = (n+ 1)n−nn n! >0, et un+1−un >0 si n > 0, ce qui prouve que la suite est croissante et strictement croissante à partir de l’indice 1.
2. Étude de la nature d’une suite
Les outils disponibles sont :
• reconnaissance d’une suite classique bien connue ;
• croissances comparées ;
• opérations sur les limites (en cas de formea priori indéterminée, il faut factoriser par l’expression laplus forte) ;
• encadrement par deux suites ayant la même limite finie ;
• étude des sous-suites extraites de rang d’indices pairs et de rang d’indices impairs ;
• utilisation du théorème de la limite monotone (ne donne pas la valeur de la limite dans le cas d’une limite finie.)
3. Suites arithmétiques et suites géométriques
Méthode. Montrer qu’une suite est arithmétique
Pour montrer qu’une suite (un)n∈N est arithmétique, il suffit d’exprimer, pour tout entier natureln, la différenceun+1−un et de constater que c’est un réel indépendant den.
Le réel ainsi trouvé est la raison de la suite arithmétique.
Exemple.
Soit la suite (un)n∈
Ndéfinie par
(u0= 1
un+1 = 3un+ 3n, ∀n∈N . Pour tout entiern∈N, on posevn= un
3n. Montrer que la suite (vn)n∈
N est arithmétique.
Pour tout entiern∈N, onvn+1−vn= un+1 3n+1 − un
3n = 3un+ 3n 3n+1 −un
3n = un 3n −1
3−un 3n = 1
3. La quantitévn+1−vn ne dépend pas den, donc la suite (vn)n∈
N est arithmétique et sa raison est 1 3. Remarque.
L’étude du comportement (variation et nature) d’une suite arithmétique se fait sans problème une fois le terme général exprimé.
Méthode. Montrer qu’une suite est géométrique
Pour montrer qu’une suite (un)n∈Nest géométrique, il suffit d’exprimer, pour tout entiern, la quantité un+1 sous la formequn, où q est un réel indépendant de n.
Dans ce cas, ce réel est la raison de la suite.
Quand tous les termes de la suite sont non nuls, on peut aussi considérer, pour tout entier naturel n, le quotient un+1
un
et montrer que sa valeur est indépendante den.
Remarque.
L’étude du comportement (variation et nature) d’une suite géométrique repose bien sûr sur la valeur de la raison.
En résumé, pour le sens de variation, on a :
• Si q >0 et q6= 1, la suite est monotone. Pour avoir le sens précis de variation, il faut comparer q à 1 et prendre en compte le signe deu0.
• Siq= 1, la suite est constante.
• Siq <0, la suite n’est pas monotone.
En résumé, pour la nature, on a :
• Si|q|<1 ou q= 1, alors la suite (un)n∈N converge, c’est-à-dire admet une limite finie.
• Siq >1, alors la suite (un)n∈N admet une limite infinie.
• Siq6−1, alors la suite (un)n∈Nn’admet pas de limite.
Le signe de q donne des information sur l’éventuelle monotonie de (un)n∈
N. Comparer |q| à 1 donne des informations sur la nature de (un)n∈
N.
4. Suites arithmético-géométriques
Avant de se lancer dans l’étude d’une suite arithmético-géométrique, il faut commencer par présenter la relation de récurrence sous la forme un+1=aun+b, pour tout entiern.
Méthode. Étudier une suite arithmético-géométrique
Pour déterminer le terme général d’une suite arithmético-géométrique dont le terme général est défini parun+1 =aun+b, avec a6= 1, on effectue les étapes suivantes.
1. On cherche le réel `tel que`=a`+b (il s’agit de l’état d’équilibre et limite potentielle).
2. On considère la suite auxiliaire (vn)n∈N de terme généralvn:=un−` et on montre que c’est une suite géométrique de raison a.
3. On en déduit l’expression du terme général de la suite (vn)n∈N puis celui de la suite (un)n∈N. Si vous connaissez par cœur l’expression du terme général et qu’aucun détail de résolution n’est demandé, vous pouvez aussi fournir directement la sa forme, mais c’est à vos risques et périls.
Remarque.
L’étude du comportement (variation et nature) d’une suite arithmético-géométrique est très proche de celle d’une suite géométrique et repose donc principalement sura.
En résumé, pour le sens de variation, on a :
• Sia >0 eta6= 1, la suite est monotone. Pour avoir le sens précis de variation, il faut compareraà 1 et prendre en compte le signe deu0−` (voir l’expression du terme général).
• Sia= 1, la suite est constante, égale à son état d’équilibre.
• Sia <0, la suite n’est pas monotone, présence d’oscillation.
En résumé, pour la nature, on a :
• Si|a|<1 ou a= 1, alors la suite (un)n∈Nconverge, c’est-à-dire admet une limite finie.
• Sia >1, alors la suite (un)n∈Nadmet une limite infinie.
• Sia6−1, alors la suite (un)n∈N n’admet pas de limite.
Le signe de a donne des information sur l’éventuelle monotonie de (un)n∈
N. Comparer |a|à 1 donne des informations sur la nature de (un)n∈
N.
5. Suites récurrentes d’ordre un homogène
5.1. Représentation graphique
Je vous conseille de vous aider d’un support visuel.
Pour représenter les premiers termes d’une suite (un)n∈
N définie par
(un=α
un+1 =f(un), ∀n∈N
, on procède de la façon suivante.
• On effectue l’étude de la fonctionf, puis on trace sur un même graphique sa courbe représentative Cf ainsi que la droiteDd’équation y=x.
• On placeu0 sur l’axe des abscisses.
• À l’aide de la courbe def, on placeu1=f(u0) sur l’axe des ordonnées.
• Grâce à la droiteD, on replaceu1 sur l’axe des abscisses, puis on réitère le processus suru1afin d’obtenir u2, etc.
5.2. Existence de la suite et intervalle stable
Il faut toujours commencer par s’assurer de existence de la suite, par exemple en trouvant un intervalle stable parf et contenant la valeur initiale de la suite.
Méthode. Montrer qu’un intervalle est stable par f Pour montrer qu’un intervalleI est stable parf, on pourra selon les cas :
• soit déterminer f(I) à l’aide d’un tableau de variation de f et vérifier quef(I)⊂ I;
• soit « à la main », si I= [a;b], il faut montrer que si xvérifie a6x6b, on a a6f(x)6b(si a etbsont des points fixes et que la fonction f est croissante surI, c’est direct).
Quand on s’est assuré de la bonne définition de la suite, et, souvent via la même étude de fonction, obtenu les points fixes def, il faut s’attaquer à la monotonie def, afin de préparer l’éventuelle utilisation du théorème de la limite monotone.
Méthode. Monotonie de la suite (un)n∈
N
Pour étudier les variations de la suite (un)n∈
N, on pourra tenter de comparer directementun+1 etun
pour toutn∈N, en étudiant le signe de un+1−un.
Si jamais ce signe est trop compliqué à étudier, on pourra se rappeler que un+1−un=f(un)−un. On étudie alors la fonction g:x7→f(x)−x surI et on dresse son tableau de signe.
• Sig(x)>0 surI, alors quelque soitn∈N, on a en prenantx=un quef(un)−un>0, c’est-à-dire un+1>un. La suite (un)n∈
N est croissante.
• Sig(x)60 surI, alors de même la suite (un)n∈
N est décroissante.
Méthode. Monotonie de la suite (un)n∈
N quand f est croissante
Soient f une fonction croissante sur l’intervalle I, stable parf et (un)n∈N une suite vérifiantun+1 = f(un), pour tout entier naturel n. Alors
1. siu06u1, la suite (un)n∈N est croissante ; 2. siu0>u1, la suite (un)n∈N est décroissante.
Méthode. Nature en cas de monotonie de la suite
• Si la suite (un)n∈N est croissante et majorée par un réel M, alors elle converge vers un point fixe ` de f tel que`6M.
• Si la suite (un)n∈N est décroissante et minorée par un réelm, alors elle converge vers un point fixe
`de f tel que`>m.
• Si la suite (un)n∈N est croissante et ne semble pas majorée, on peut raisonner par l’absurde en supposant que la suite converge vers un réel`et on essaie de trouver une contradiction concernant
`. Dans ce cas, la suite ne converge pas et puisqu’elle est croissante, elle diverge vers +∞.
• Si la suite (un)n∈N est décroissante et nesemble pas minorée, on peut raisonner par l’absurde en supposant que la suite converge vers un réel`et on essaie de trouver une contradiction concernant
`. Dans ce cas, la suite ne converge pas et puisqu’elle est décroissante, elle diverge vers−∞.
Remarque.
Si la fonction f est décroissante, la suite (un)n∈
N n’est pas monotone (sauf cas particulier où elle serait constante égale à un des ses états d’équilibre).
6. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
L’étude d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants comprend plusieurs étapes :
• étude des suites vérifiant la relation de récurrence homogène associée (voir ci-dessous) ;
• recherche d’une suite (particulière) vérifiant la relation de récurrence initiale ;
• additionner ces deux expressions afin d’obtenir la forme du terme général de toutes les suites vérifiant la relation de récurrence initiale ;
• déterminer les éventuels constantes en fonction des conditions initiales.
Méthode. Déterminer le terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2homogène Pour déterminer le terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2, on effectue les étapes suivantes.
1. On écrit l’équation caractéristique (EC).
2. On cherche les solutions de l’équation caractéristique (à l’aide du discriminant ∆).
3. On applique le résultat du théorème.
• Si ∆>0, (EC) admet deux solutions réelles distinctes r1 etr2, et il existe un unique couple de réels (α, β) tels que
∀n∈N, un=αrn1 +βr2n.
• Si ∆ = 0, (EC) admet une unique solution (réelle)r0, et il existe un unique couple de réels (α, β) tels que
∀n∈N, un= (α+nβ)r0n.
• ∆<0, (EC) admet deux racines complexes (non réelles) conjuguées distinctes r1 =ρeiθ et r2 =r1 =ρe−iθ (avec ρ dansR?+ et θdans R) et il existe un unique couple de réels (α, β) tels que
∀n∈N, un=αcos(nθ) +βsin(nθ)ρn.
Méthode. Trouver une solution particulière
• Il faut partir avec une forme de suite faisant intervenir des paramètres et voir s’il existe des valeurs de ces paramètres permettant à la suite de vérifier la relation de récurrence.
• Si le second membre de la relation de récurrence est constant, il existe souvent une suite constante vérifiant la relation de récurrence.
