MPSI B 29 juin 2019

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O, − → i , − →

j ) . On utilise la représen- tation complexe usuelle des points de ce plan. Pour chaque réel t , on note

¹

D(t) l'ensemble des points d'axes

e

^it

+ λe

^i(t−^π²⁾

où λ décrit l'ensemble des réels strictement positifs. On remarquera l'égalité D(t + 2π) = D(t) .

1. Déterminer la nature des ensembles D(t) et représenter graphiquement ces D(t) pour t ∈ {− 5π

6 , − π 2 , − π

4 , π 6 , π

3 , 2π 3 , 5π

6 }

2. Soit r un réel supérieur ou égal à 1 et θ un réel. Déterminer les couples (λ, t) vériant les relations

1 − λi = re

^i(θ−t)

λ ≥ 0 (on pourra chercher à déterminer λ et θ − t ).

3. Soit M un point d'axe re

^iθ

avec r ≥ 1 . Déduire la question précédente que M appartient à un seul D(t) . Préciser la valeur de t en fonction de r et de θ .

4. Faire une gure dans le cas

re

^iθ

= 2i 5. Montrer que le vecteur d'axe

1 + i p

r

²

− 1e

^iθ

est orthogonal à l'ensemble D(t) trouvé à la question précédente.

6. On considère une fonction θ dénie dans un intervalle I contenu dans [1, +∞[ . Cette fonction dénit une courbe paramétrée

r → M (r) où M (r) est le point d'axe re

^iθ

a. Calculer la dérivée de r → re

^iθ

. Le vecteur dont l'axe est la valeur en r de cette dérivée est noté − →

m

⁰

(r) .

1d'après E3A 2001 Maths 1

b. Montrer que pour tout r dans I , M (r) appartient à une seule droite D(t) et que si cette droite est orthogonale à − →

m

⁰

(r) alors rθ

⁰

(r) = p

r

²

− 1

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Afamd

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Fig. 1: question 1

Corrigé

1. L'ensemble D(t) est la demi-droite d'extrémité le point T (t) d'axe e

^it

et de direction le vecteur d'axe e

^i(t−^Π²⁾

. Cette demi-droite est clairement tangente en T (t) au cercle de centre O et de rayon 1.

2. Comme r est positif, la relation

1 − λi = re

^i(t−^Π²⁾

entraîne que r = |1 − λi| = √

1 + λ

²

.

Lorsque la partie réelle d'un nombre complexe est strictement positive, un de ses arguments est l' arctan du quotient de sa partie imaginaire sur sa partie réelle. C'est bien le cas ici, on en déduit

−arctan(λ) = θ − t (2π) puis

λ = p r

²

− 1 t = θ + arctan( p

r

²

− 1) (2π)

2*Pi/5 M affixe 2i

1

Fig. 2: question 4

3. Soit M un point d'axe re

^i(θ)

avec r ≥ 1 (en dehors du disque). Supposons que, pour un certain t , M ∈ D(t) . Il existe alors un λ ≥ 0 tel que

re

^iθ

= e

^it

+ λe

^i(t−^π²⁾

Après division par e

^it

, cette relation devient

re

^i(θ−t)

= 1 − λi

D'après la question précédente, il existe un seul λ positif (qui vaut √

r

²

− 1 ) et une innité de t tous congrus modulo 2π à θ + arctan( √

r

²

− 1) . Lorsque deux valeurs de t sont congrues modulo 2π , elles dénissent la même demi-droite. Il existe donc une seule demi-droite qui contient le point M .

4. Pour M d'axe 2i , r = 2 et θ =

^π₂

donc λ = √

3 . Comme cos(

^π₃

) =

¹₂

et sin(

^π₃

) =

√ 3 2

, arctan( √

3) =

^π₃

et t =

^π₂

−

^π₃

=

^5π₆

.

5. On vient de montrer que M d'axe 2i est sur l'unique demi-droite D(

^5π₆

) . Un vecteur directeur de cette demi-droite fait avec l'axe des x un angle

^5π₆

−

^π₂

=

^π₃

.

D'autre part, r = 2 , θ =

^π₂

. Donc (1 + i p

r

²

− 1)e

^iθ

= (1 + i √

3)i = 2e

ⁱ⁽^π³⁻^π²⁾

2

Rémy Nicolai Afamd

(3)

MPSI B 29 juin 2019

Ceci prouve bien que (dans ce cas particulier) le vecteur d'axe (1 + i p

r

²

− 1)e

^iθ

est orthogonal à un vecteur directeur de D(t) d'axe e

ⁱ^π³

.

Plus généralement, on a vu que si M d'axe re

^iθ

. Il est sur une unique demi-droite D(t) son axe s'écrivant e

^it

+ λe

^i(t−^π²⁾

avec λ = √

r

²

− 1 et t = θ + arctan( √ r

²

− 1) . On peut donc encore écrire

1 + i p

r

²

− 1 = re

^−i(θ−t)

donc

(1 + i p

r

²

− 1)e

^iθ

= re

^it

qui est bien l'axe d'un vecteur orthogonal à D(t) .

6. a. Les règles usuelles de dérivation s'appliquent pour les fonctions à valeurs com- plexes.

M

⁰

(r) = e

^iθ(r)

+ irθ

⁰

(r)e

^iθ(r)

b. On a vu que si M (r) = re

^iθ(r)

∈ D(t) alors

(1 + i p

r

²

− 1)e

^iθ

= re

^it

est l'axe d'un vecteur orthogonal à D(t) . Par conséquent − →

m

⁰

(r) est othogonal à D(t) lorsque le quotient des axes est réel. Transformons ce quotient :

e

^iθ

+ irθ

⁰

e

^iθ

(1 + i √

r

²

− 1)e

^iθ

= 1 + irθ

⁰

1 + i √

r

²

− 1 = (1 + irθ

⁰

)(1 − i √ r

²

− 1)

|1 + i √ r

²

− 1|

²