page 1/1 MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel CNAM – Paris
21/11/2019
Feuille 8
1. Déterminer la nature des séries de terme général :
𝑢𝑛 = 1−𝑐𝑜𝑠(
1 𝑛√ln(𝑛)) 𝑠𝑖𝑛(1
𝑛) 𝑣𝑛 = 𝑙𝑛(𝑛)
𝑛2+1
2. On considère sur l’intervalle [0 , 1] la suite de fonctions définie par :
𝑓𝑛(𝑥) = 𝑛𝑒𝑥 𝑛 + 𝑥
a) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur l’intervalle [0 , 1] vers une fonction 𝑓 que l’on déterminera.
b) Montrer que cette suite de fonctions converge uniformément vers la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 , 1].
c) La suite numérique définie par : 𝑢𝑛 = ∫01𝑛+𝑥𝑛𝑒𝑥𝑑𝑥 converge-t-elle ? Réécrire puis calculer l’expression suivante :
𝑛→+∞lim ∫ 𝑛𝑒𝑥 𝑛 + 𝑥𝑑𝑥
1
0
3. On considère sur l’intervalle [0 , 1] la suite de fonctions définie par : 𝑓𝑛(𝑥) = 1
1 + 𝑛𝑥
a) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur l’intervalle [0 , 1] vers une fonction 𝑓 que l’on déterminera.
b) Montrer que cette suite de fonctions converge uniformément vers la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 , 1] . On proposera plusieurs méthodes pour le démontrer.
