UNIVERSIT´E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007
Licence de math´ematiques Alg`ebre S1
Groupe Math´ematiques-Economie 2
Feuille d’exercices 11
A rendre lundi 18 d´ecembre 2006.
Exercice 1
a) Pourm∈Qarbitraire, on consid`ere la matriceM∈M3Ksuivante
M =
1 −1 2
m 1−m 2m−2
2 m −3m−1
Pour quelles valeurs de m est-ce que la matrice est inversible ? Dans ces cas, calculer son inverse.
b) SoitA∈M3Qla matrice d´efinie par
A=
2 1 −1
−1 2 1
−1 1 2
.
Pour quelles valeurs de λ ∈ Q est-ce que la matrice A−λI3 est inversible ? Dans ce cas, calculer l’inverse deA−λI3.
c) Soit λ∈ Q tel que A−λI3 n’est pas inversible. Trouver tous les vecteurs X ∈Q3 tels que
AX=λX.
Exercice 2
Soit A = (ai,j)i,j=1,...,n ∈ Mn(R) une matrice n×n `a coefficients r´eels. On appelle la trace de Ala somme des co´efficients diagonaux deM et la note trA.
Plus pr´ecisement on d´efinit
trA:=
n
X
i=1
ai,i.
a) On suppose que Aest une matrice triangulaire sup´erieure. Calculer les coef- ficients diagonaux deA2en fonction des coefficients deA.
1
b) Supposons maintenant que A est triangulaire sup´erieure et que A2 = A.
Montrer que si trA=n, alorsAest inversible. En d´eduire que si trA=n, alors A=In.
c) PosonsB :=In−A∈Mn(R). Montrer que l’on aB2=B si et seulement si A2=A. Montrer que sitrA= 0, alorsA= 0.
Exercice 3
Soita∈Rarbitraire. Pour quelles valeurs deaest-ce que le syst´eme suivant a une solution unique dans R3?
x+ 2y+z = 1 2x+ (a+ 3)y+ 3z = 2 x+ (3−a)y+ (a−2)z = 3
Dans ces cas, calculer la solution `a l’aide de la formule de Kramer.
Exercice 4 SoitA=
a b c d
une matrice deM2(R).
a) Montrer que siA2=−I2, alors trA= 0 (la d´efinition de la trace se trouve dans l’exercice 2).
b) Montrer qu’on aA2=−I2 si et seulement trA= 0 et detA= 1.
c) Trouver une matriceB∈M2(R) telle queB2=−I2
d) Trouver une matriceC∈M2(C) telle queC2=−I2 et trC6= 0.
e) Montrer qu’il n’existe pas de matriceA∈M3(R) tel queA2=−I3. Trouver et d´emontrer une g´en´eralisation de cet ´enonc´e.
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