L3B – Topologie 2019-2020
Correction de l’exercice 11 de la feuille 2
Soient A et B deux parties non vides de R. On d´efinit la distance entre A et B en posant
d(A, B) = inf{|a−b|, a∈A, b∈B}.
1. Supposons que A soit ferm´e, que B soit compact. Si A ∩B n’est pas vide et contient un point x, alors |a −b| = 0 avec a = x ∈ A et b = x ∈ B et donc d(A, B) = 0. Supposons que d(A, B) = 0, il existe deux suites de points (an)⊂Aet (bn)⊂B telles que|an−bn| →0. Comme B est compact, on peut extraire une sous-suite (bϕ(n)) qui converge vers `∈B. Comme
|aϕ(n)−`| ≤ |aϕ(n)−bϕ(n)|+|bϕ(n)−`| −→0
on a aussi que aϕ(n) → `. Comme A est ferm´e, ` est aussi dans A et donc
` ∈A∩B.
2. Soit A etB sont deux compacts disjoints. Par la question pr´ec´edente, on sait qu’il existe ε >0 tel que pour tout a ∈A et b∈B,|a−b| ≥ε >0. On pose
U ={x∈R, d(x, A)< ε/2}= [
a∈A
i a− ε
2, a+ ε 2 h
et
V ={x∈R, d(x, B)< ε/2}= [
b∈B
i b− ε
2, b+ ε 2 h
.
Par construction, A⊂ U et B ⊂V et U etV sont des ouverts comme union d’ouverts et sont disjoints car la distance entre deux ´el´ements de A et B est plus grande que ε.
3. Si on prend
A= [
n∈N∗
[3n,3n+ 1] et B = [
n∈N∗
[3n+ 1 + 1
n,3n+ 2],
on a A etB dijoints et ferm´es (si une suite converge, elle doit rester `a partir d’un certain rang dans un des intervalles ferm´es) etd(A, B) = 0 car les points an= 3n+ 1 et bn = 3n+ 1 + 1/n sont `a distance 1/n qui tend vers 0 quandn tend vers +∞.
