Feuille de TD n˚11
MP Lyc´ ee Clemenceau D´ ecembre 2020
Banque CCP
Exercice 1 :N.B : les deux questions sont ind´ependantes.
1. La fonctionx7−→ e−x
√x2−4 est-elle int´egrable sur ]2,+∞[ ? 2. Soitaun r´eel strictement positif.
La fonctionx7−→ lnx
√1 +x2a est-elle int´egrable sur ]0,+∞[ ?
C’est tout pour ce chapitre. D’autres exercices sur l’int´egration utilisent le chapitre prochain sur les suites et s´eries de fonctions.
1 Exercices
Exercice 2 :Etudier la convergence des int´egrales suivantes : a)
Z +∞
0
x+ 2−p
x2+ 4x+ 1 dx
b) Z +∞
1
e−
1 + 1
x x
dx
c) Z +∞
1
e4
√x−√3 xdx
d) Z +∞
1
1 xcos(1x)dx
e) Z +∞
1
ln(x) ln(x+ 1)
3
√x
−1
! dx
f ) Z +∞
2
1 (ln(x))ln(x)
dx
Exercice 3 :Mˆeme question que l’exercice pr´ec´edent a)
Z +∞
0
|sin(x)|xdx b) Z +∞
0
1
1 +ex|sin(x)|dx c) Z +∞
0
1
(1 +x2|sin(x)|)32 dx Exercice 4 :Mˆeme question :
a) Z +∞
1
sin(x)
xα dxavecα∈IR. b)
Z +∞
0
cos x2+ax+b
dxavec (a, b)∈IR2.
Exercice 5 :Calculer, apr`es avoir justifier leur existence, les int´egrales suivantes : a)
Z +∞
1
1 x2+x dx b)
Z 1 0
xln(x)dx c)
Z 1 0
(−ln(t))ndt
d) Z +∞
0
1
(1 +x2)(1 +xλ)dx, λ ∈ IR
e) Z +∞
−∞
1 (1 +x2)32 dx
f ) Z b
a
1
p(x−a)(b−x)dx g)
Z π4
0
cos3(x) pcos(2x) dx
Exercice 6 :Soientf,g ethtrois fonctions int´egrables sur [1,+∞[ `a valeurs dans IR+. Montrer que la fonction √3
f ghest aussi int´egrable sur [1,+∞[.
Exercice 7 :Soitf : [0,+∞[→IR une fonction continue, positive et d´ecroissante.
On poseg: [0,+∞[→IR d´efinie parg(x) =f(x) sinx.
Montrer que les int´egrabilit´es def et de gsont ´equivalentes.
1
Exercice 8 :Soitf : [0,+∞[→IR continue et positive. On suppose f(x+ 1)
f(x) −−−−−→
x→+∞ `∈[0,1[
D´eterminer la nature de Z +∞
0
f(t) dt.
Exercice 9 :Soitf : [1,+∞[ +→IR d´ecroissante, positive, telle que Z +∞
1
f converge.
Montrer quex7→xf(x) admet une limite qu’on pr´ecisera.
Exercice 10 :Montrer, pour tout (a, b)∈]0,+∞[2, que Z 1
0
(1−xa)1b dx= Z 1
0
1−xb1a dx
Exercice 11 :
1) Montrer que les fonctions suivantes sont int´egrables sur 0,π2
:
f :t7→ln(sin(t)) et g:t7→ln(cos(t))
2) Calculer les int´egrales Z π2
0
f(t)dt, Z π2
0
g(t)dt.
3) En d´eduire la valeur de Z +∞
0
ln(1 +t2) 1 +t2 dt.
Exercice 12 :
1) Soitf une fonction continue sur [0,1[ `a valeurs dans IR int´egrable sur [0,1[. On suppose de plus qu’elle est croissante sur l’intervalle.
D´eterminer : lim
n→+∞
1 n
n−1
X
k=0
f k
n
2) Calculer la limite de
n−1
X
k=0
√ 1
n2−k2. Exercice 13 : A connaitre
1) Hors programme Int´egrales de Bertrand Montrer les r´esultats suivants :
(a) t7→ 1
tα(ln(t))β est int´egrable sur [2,+∞[ si et seulement si
α >1 ou α= 1 etβ >1 (b) t7→ 1
tα(−ln(t))β est int´egrable sur 0,12
si et seulement si
α <1 ou α= 1 etβ >1 2) Fonction Γ d’Euler :
on pose, pourx∈IR∗+, Γ(x) = Z
IR∗+
tx−1e−tdt.
(a) Montrer que cette fonction est correctement d´efinie.
(b) Montrer que pour toutx∈IR∗+ on a Γ(x+ 1) =xΓ(x).
(c) En d´eduire la valeur de Γ(n+ 1) pour tout entiern.
(d) Calculer Γ 12
Exercice 14 : En admettant l’existe et la valeur de l’int´egrale Z +∞
0
sin(t)
t dt = π
2 justifier l’existence et calculer, pour toutx∈IR,
Z +∞
0
sin2(xt) t2 dt.
2
Exercice 15 :CalculerI= Z 1
0
1 +t2
1 +t4dten proc´edant au changement de variablet= e−x. Exercice 16 :Donner un ´equivalent en +∞de
a) x7→
Z +∞
x
e−t2dt b) x7→
Z +∞
x
e−t t dt c) x7→
Z x e
1 ln(t)dt Exercice 17 : 1) Justifier
Z x 1
ln(1 +t)
t dt ∼
x→+∞
1 2ln2(x) 2) Montrer qu’il existec∈IR tel que
Z x 1
ln(1 +t) t dt= 1
2ln2(x) +c+ε(x) avecε(x) −→
x→+∞0 3) Donner un ´equivalent simpleε(x) au voisinage de +∞.
3
