UNIVERSIT ´E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ee 2008/2009
MIME 13 LM 120
Feuille d’exercices 11
Exercice 1. Soit
A=
1 4 2 3
.
Trouver les valeurs propres de A et les sous-espaces propres correspondants. En d´eduire une matrice inversibleP telle queP−1AP soit diagonale.
Exercice 2. On consid`ere les matrices suivantes
A=
4 1 −1 2 5 −2
1 1 2
, B=
1 1 0 0 1 0 0 0 1
, C=
1 2 2
1 2 −1
−1 1 4
, D=
3 1 1 2 4 2 1 1 3
.
Ces matrices sont-elles diagonalisables ? Si oui, les diagonaliser, c’est-`a-dire trouver une matrice inversibleP telle queP−1AP soit diagonale.
Exercice 3. On consid`ere la matrice
M =
1 1 0
−1 0 0
2 0 −1
.
Calculer le polynˆome caract´eristique deM. En d´eduireM−1.
Exercice 4. Soiente1, e2, e3trois vecteurs dans R3telles queB := (e1, e2, e3) est une base de R3. On note T l’application lin´eaire d´efinie par
T(e1) =T(e3) =e3 etT(e2) =−e1+e2+e3.
a) Donner la matriceAdeT dans la baseB. D´eterminer le noyau deT. b) On pose
f1=e1−e3, f2=e1−e2, f3=−e1+e2+e3.
Calculere1, e2, e3 en fonction def1, f2, f3.Montrer queB0 := (f1, f2, f3) est une base deR3. c) CalculerT(f1), T(f2), T(f3) en fonction def1, f2, f3.Ecrire la matrice´ A0 deT dans la base B0.
d) On pose
P =
1 1 −1
0 −1 1
−1 0 1
.
Justifier queP est inversible et calculerP−1. Quelle relation relieA, A0, P etP−1?
1
Exercice 5. Soitm∈Ret soitAm∈M3(R) la matrice
m 1 1
1 m 1
1 1 m
.
a) Calculer les valeurs propres deAmet une base de vecteurs propres.
b) D´eterminer suivant les valeurs demle rang deAm.D´eterminer lorsque cela est possibleA−1m. c) LorsqueAmn’est pas inversible d´eterminer le noyau et l’image deAm.
Exercice 6. SoitE unR-espace vectoriel de dimensionnetB= (e1, ..., en) est une base fix´ee deE. Soitf :E→E un endomorphisme deE.
a) Quels sont les valeurs propres de l’endomorphisme nul deE? b) On suppose quen= 3 et que la matrice def dans la baseBest
M =
3 2 4
−1 3 −1
−2 −1 −3
.
2 est-il valeur propre def? Le vecteur 2e1+e2+e3est-il un vecteur propre def?
c) Pourquoi un vecteur deE ne peut-il ˆetre vecteur propre relativement `a deux valeurs propres distinctes ?
d) Montrer qu’il existe toujours au moins un scalaireαtel quef −αIdE est bijectif.
e) Donner un exemple d’endomorphismef deE avecn= 2 tel que la somme de deux vecteurs propres def n’est pas un vecteur propre def.
2
