Cours de Modélisation stochastique Etienne Birmelé 2019-11-21

Cours de Modélisation stochastique

Etienne Birmelé 2019-11-21

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Table des matières

1 Préface 5

2 Modèle de Galton-Watson et séries génératrices 7

2.1 Un exemple . . . . 7

2.2 Séries génératrices . . . . 9

2.3 Processus de Galton-Watson . . . . 14

3 Chaînes de Markov, des mouvements de particules à PageRank 23 3.1 Un exemple . . . . 23

3.2 Chaînes de Markov à espaces d’états finis . . . . 25

3.3 Modèle de migration de particules : urne d’Ehrenfest . . . . 35

3.4 Pagerank . . . . 39

4 Files d’attente et Processus de Poisson 43 4.1 Un exemple . . . . 43

4.2 Processus de Poisson . . . . 46 4.3 Exemple d’application : loi limite de la taille d’une file d’attente 50 5 TD1 - Séries génératrices et processus de Galton-Watson 55

6 TD2 - Chaîne de Markov 59

7 TD3 - Files d’attente 65

8 TD1 - Corrigés 69

9 TD2 - Chaîne de Markov - Corrigés 77

3

4 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Préface

Les buts de ce cours sont

— d’introduire quelques situations dans lesquelles le recours à un modèle aléatoire est utile, voire nécessaire

— de décrire des outils mathématiques qui permettent d’étudier ce modèle pour en tirer des enseignements sur le comportement moyen ou à long terme

— de discuter les modèles

Il est en cela une introduction à l’application des outils mathématiques à la mo- délisation, telle que pratiquée dans de nombreux domaines appliquées, comme l’économie ou la biologie.

Certaines parties de ce cours sont issues de cours anciennement donnés par Jean-Claude Fort et Florent Benaych-Georges. Merci à eux d’avoir partagé leurs notes.

5

6 CHAPITRE 1. PRÉFACE

Chapitre 2

Modèle de Galton-Watson et séries génératrices

2.1 Un exemple

On considère une expérience consistant à regarder le taux de prolifération d’une population de cellules en culture.

Pour cela, on part d’une cellule unique et on observe la population à intervalle réguliers. On supposede plus que chaque cellule présente à l’observation na un nombre de filles X à l’instant nqui suitune loi de Poissonde paramètre λ.

Cette loi de Poisson cache en fait trois possibilités : 1. SiX= 0, la cellule est morte

2. Si la cellule a survécu sans se diviser,X = 1.

3. Si la cellule s’est multipliée et que toutes ses descendantes ne sont pas mortes,X ≥1.

On suppose de plus que les valeurs de X pour toutes les cellules présentes à l’instant n sont indépendantes et que la loi de X est invariante d’une génération à l’autre.

La valeur de λ peut être réglée par exemple en modifiant la richesse en nutri- ments du substrat. Une question naturelle est alors de savoir s’il est possible de prédire l’évolution de la population en fonction de λ. Peut-on notamment prédire sa taille moyenne après ngénérations ou sa probabilité d’extinction ? Le code suivant permet de simuler l’expérience précédente sur n générations avec une valeurλdonnée.

7

8CHAPITRE 2. MODÈLE DE GALTON-WATSON ET SÉRIES GÉNÉRATRICES

0 100 200 300

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

generations

taille

Exemples de trajectoires

Figure2.1 – Trajectoires

GaltonWatson = function(n,lambda){

size = 1 #initialisation de la population à une cellule traj=c(1) #contiendra l'évolution de la population for (i in 1:n){

#on tire size valeurs suivant une Poisson(lambda) et on les additionne. On obtient la nouvelle valeur de la population size = sum(rpois(size,lambda))

traj = c(traj,size) }

return(traj) }

La figure 2.1 montre l’évolution de la population sur dix générations pour dix expériences indépendantes menées avecλ= 1.5. On y observe une grande varia- bilité, et notamment sept populations qui croissent et trois populations qui se sont éteintes.

La figure 2.2 montre l’évolution de la taille moyenne au bout de dix générations et de la probabilité différentes valeurs deλ. On a l’impression d’y voir un chan- gement de régime aux alentours deλ= 1: il semble que la population s’éteint

2.2. SÉRIES GÉNÉRATRICES 9 de toute manière pourlambda <<1alors qu’elle a une probabilité non nulle de survie pourλ >>1et qu’elle devient très grande dans ce cas.

La suite de ce chapitre consiste en l’étude théorique de ce modèle, avec la mise en évidence de ces deux régimes. L’outil théorique utilisé pour ce faire est la notion de série génératriced’une loi de probabilités discrète.

2.2 Séries génératrices

2.2.1 Définition

Definition 2.1. SoitX une variable aléatoire à valeur dansN. La série entière définie par

ϕ_X(z) =Ez^X =

+∞

∑

k=0

P(X =k)z^k (2.1)

est de rayon de convergence au moins1puisque∑+∞

k=0P(X =k) = 1. La fonction ϕX est donc définie sur]−1,1].

Elle est appeléefonction génératrice deX. Example 2.1 (Bernoulli). X ∼ B(p)

ϕ_X(z) =P(X = 0)z⁰+P(X = 1)z¹= 1−p+pz (2.2)

Example 2.2 (Binomiale). X ∼ B(n, p)

ϕX(z) =

∑n k=0

(n k )

p^k(1−p)^n−kz^k

=

∑n k=0

(n k )

(pz)^k(1−p)^n−k

= (1−p+pz)ⁿ

Example 2.3 (Poisson). X∼ P(λ)

10CHAPITRE 2. MODÈLE DE GALTON-WATSON ET SÉRIES GÉNÉRATRICES

0 50 100 150 200

0.5 1.0 1.5

lambdas

moyennes

Taille moyenne

0.0 0.2 0.4 0.6

0.5 1.0 1.5

lambdas

proportions

Proportion de survie

Figure2.2 – Taille moyenne et probabilité de survie

2.2. SÉRIES GÉNÉRATRICES 11

ϕ_X(z) =

+∞

∑

k=0

λ^k k!e^−λz^k

=e^−λ

+∞

∑

k=0

(λz)^k k!

=e^λ(z−1)

Example 2.4 (Géométrique). X ∼ G(p), avecq= 1−p

ϕX(z) =

+∞

∑

k=0

pq^k−1z^k

=pz

+∞

∑

l=0

q^lz^l

= pz 1−qz

Proposition 2.1. ϕX =ϕY si et seulement si X =Y p.s.

Démonstration. Si X =Y p.s., les deux fonctions génératrices sont égales de façon évidente.

Inversement, si ϕX =ϕY, l’unicité du développement en série entière entraîne queP(X =k) =P(Y =k)pour toutk.

2.2.2 Sommes de variables indépendantes

Proposition 2.2. Soient X etY des v.a. indépendantes. Alors ϕ_X+Y =ϕ_Xϕ_Y

En particulier, si X1, . . . , Xn sont des v.a. indépendantes et identiquement dis- tribuées,

ϕX₁,...,X_n=ϕⁿ_X

12CHAPITRE 2. MODÈLE DE GALTON-WATSON ET SÉRIES GÉNÉRATRICES Démonstration. Avec des séries entières : Pour toutk,

P(X+Y =k) =∑

l=0

P(X =l, Y =k−l)

∑

l=0

P(X=l)P(Y =k−l) par indépendance

On reconnait alors la formule de la multiplication des séries entières.

Avec des probabilités : CommeXetY sont indépendantes,E(f(X)g(Y)) = E(f(X))E(g(Y)). En particulier, pour tout|z|<1,

E(z^Xz^Y) =E(z^X)E(z^Y)

2.2.3 Dérivées de ϕ_X et moments de X

Proposition 2.3. Soitp∈N. Si EX^p existe, alorsϕ_X estpfois dérivable sur ]−1,1[. De plus, siϕ^(p)_X existe et est continue en1,

ϕ^(p)_X (1) =E X(X−1). . .(X−p+ 1) En particulier,

EX =ϕ^′_X(1)

varX =ϕ^′′_X(1) +ϕ^′_X(1)−ϕ^′_X²(1)

Démonstration. Une série entière étant indéfiniment dérivable sur l’intérieur de son domaine de convergence,ϕ^(p)_X existe pour |z|<1 et

ϕ^(p)_X (z) =

+∞

∑

k≥p

k(k−1). . .(k_p+ 1)z^k−p

Le fait queEX^pexiste signifie que∑+∞

k=0P(X =k)k^pconverge. Or, pour|z|<1,

|k(k−1). . .(k_p+ 1)z^k−p| ≤k^p donc, par le théorème de convergence dominée,

lim

z→1ϕ^(p)_X (z) =

+∞

∑

k=0

P(X =k)k(k−1). . .(k_p+ 1)

2.2. SÉRIES GÉNÉRATRICES 13 Le deuxième membre est égal à E X(X−1). . .(X−p+ 1)et le premier vaut ϕ^(p)_X (1) par continuité deϕ^(p)_X .

La démonstration des cas particuliers de l’espérance et de la variance est laissée en exercice.

Example 2.5 (Bernoulli). Si X ∼ B(p),

ϕX(z) = 1−p+pz ϕ^′_X(z) =p

ϕ^′′_X(z) = 0 On retrouveE(X) =petvarX=p(1−p).

Example 2.6 (Binomiale). Si X∼ B(n, p),

ϕ_X(z) = (1−p+pz)ⁿ ϕ^′_X(z) =np(1−p+pz)ⁿ⁻¹

ϕ^′′_X(z) =n(n−1)p²(1−p+pz)ⁿ⁻² On retrouveE(X) =np etvarX=np(1−p).

Example 2.7 (Poisson). SiX ∼ P(λ),

ϕX(z) =e^λ(z−1) ϕ^′_X(z) =λe^λ(z−1) ϕ^′′_X(z) =λ²e^λ(z−1) On retrouveE(X) =λet varX =λ.

Example 2.8 (Géométrique). Si X ∼ G(p)

ϕ_X(z) = pz

1−qz = z−1 1−qz + 1 ϕ^′_X(z) = p

(1−qz)² ϕ^′′_X(z) = 2pp

(1−pz)³ On retrouveE(X) =¹_p et var(X) = _p^q₂.

14CHAPITRE 2. MODÈLE DE GALTON-WATSON ET SÉRIES GÉNÉRATRICES

2.2.4 Cas d’une variable continue : transformée de Laplace

Dans le cas d’une variable aléatoire continue positive, à densitéf, on peut définir latransformée de Laplace, définie pourt≥0par

ϕX(t) =E(e^−tX) =

∫ +∞ 0

e^−txf(x)dx

Les propriétés des fonctions génératrices se généralisent, en particulier que ϕX+Y(t) = ϕX(t)ϕY(t) si X et Y sont indépendantes, et que les valeurs des dérivées successives en0donnent les moments de la loi (démonstrations laissées en exercice, sur le même modèle que celle des fonctions génératrices).

Proposition 2.4. SoitX etY deux variables aléatoires continues positives et indépendantes. AlorsϕX+Y =ϕXϕY.

Proposition 2.5. SoitX une variable aléatoire continue positive, telle queEX^p existe. AlorsϕX estpfois dérivable et , pour tout0≤k≤p,

ϕ^(k)(0) = (−1)^kEX^k

Remarque :

La notion de transformée de Laplace peut être étendue à des variables non- positives en commençant l’intégrale en −∞. Il faut cependant alors vérifier la convergence de l’intégrale généralisée.

Ainsi, la loi normale, dont la densité est équivalente en l’infini à un terme en Ke^−Cx2 admet une transformée de Laplace en intégrant entre−∞et+∞. En effet, pour toutt,∫+∞

−∞ e^−tx−Kx2dxconverge.

2.3 Processus de Galton-Watson

2.3.1 Présentation du modèle

Le but de ce modèle est de modéliser l’évolution d’une population en temps discret. Il a été introduit en 1874 par Francis Galton et Henry Watson pour répondre au problème de la probabilité d’extinction des noms aristocratiques dans l’angleterre victorienne. Le fait qu’il ait été appliqué à des noms de fa- mille explique son hypothèse simplificatrice consistant à considérer des arbres généalogiques où les parents sont uniques.

Sous ce modèle, la population initiale se réduit à un ancêtre unique. Cet ancêtre a ensuite un nombre aléatoire de descendants, et chacun des descendants de

2.3. PROCESSUS DE GALTON-WATSON 15 même , et ainsi de suite. On fait de plus l’hypothèse que le nombre des fils de chaque individu estidentiquement distribué et indépendant du parent.

Le processus peut alors être modélisé par deux suites de variables aléatoires : 1. (Zn, n≥0)oùZn est le nombre d’individus de la générationn

2. (Xi,j, i≥0, j≥1)oùXi,j est le nombre de descendants de l’individu j de la générationi.

On a alors, pour toutn≥1,

Z0= 1

Z₁= X_0,1

Z₂=

Z₁

∑

j=1

X_1,j

· · · · · ·

Zn+1=

Z_n

∑

j=1

Xn,j,

la suite devenant uniformément nulle si elle s’annule une première fois (extinc- tion).

2.3.2 Espérance et variance de Z_n

On suppose connue ϕ, la fonction génératrice commune des variables(X_i,j)_i,j. SoitG_n la fonction génératrice deZ_n. Alors

Proposition 2.6. a) G_n+1(s) =G_n(ϕ(s))pour toutn≥0.

b) Gn(s) =ϕ⁽ⁿ⁾(s), oùϕ⁽ⁿ⁾ désigne la compositionn fois deϕavec elle-même.

Démonstration. On démontre la propriété b) par récurrence, la propriété a) étant démontrée au passage.

— Pourn= 0,G₀(s) = 1carZ₀= 1.

— Supposons la propriété vraie au rangn.

16CHAPITRE 2. MODÈLE DE GALTON-WATSON ET SÉRIES GÉNÉRATRICES

Gn+1(s) =E( s

∑_Zn

j=1X_n,j)

=E(⁺∑^∞

k=0

s

∑_Zn

j=1X_n,j

IZ_n=k

)

=

+∞

∑

k=0

E( s

∑_Zn

j=1X_n,j

IZ_n=k

) ∗ ∗

=

+∞

∑

k=0

E( s

∑_Zn

j=1X_n,j)

P(Zn =k)carZn est indépendante desXn,j

=

+∞

∑

k=0

Eϕ(s)^kP(Zn =k)car lesXn,j sont indépendantes

=Gn(ϕ(s))

=ϕ⁽ⁿ⁾(ϕ(s))par hypothèse de récurrence

=ϕ⁽ⁿ⁺¹⁾(s)

Remarque :En **, l’espérance et la somme peuvent être échangées car toutes les variables sont positives (la somme infinie pose problème sinon). On peut éviter le recours à cet argument dans le cas où lesXi,j sont bornés parQ, car alors Zn≤Qⁿ (et cela paraît raisonnable dans le cas des humains).

La propriété précédente permet de déduire la fonction génératrice de Zn en fonction de celle de Z1 (comme Z1 =X0,1, elle est de fonction génératrice ϕ).

On peut alors en déduire l’espérance et la variance de Z_n en fonction de celle deZ₁.

Proposition 2.7. a) Si m=EZ1<+∞, alors EZn =mⁿ. b) Si σ²= varZ1<+∞, alors varZn= nσ² si m= 1

mⁿ(mⁿ−1)

m(m−1) σ² si m̸= 1 Démonstration. a) En dérivant l’égalité de la Proposition 2.6 a),

G^′_n+1(s) =G^′_n(ϕ(s))ϕ^′(s) Pours= 1et commeϕ^′(1) =EZ₁=m, on obtient que

G^′_n+1(s) =mG^′_n(s)

Comme de plus G₁ = ϕ, on obtient par récurrence que G^′_n(1) = mⁿ. On en déduit la propriété a) puisqueG_n est la fonction génératrice deZ_n.

2.3. PROCESSUS DE GALTON-WATSON 17 b) On démontre cette propriété par récurrence, en se basant sur la Proposi-

tion 2.3 :

varZn =G^′′_n+1(1) +G^′_n(1)−(G^′_n(1))² (2.3) Pourn= 1, la propriété est vraie par définition et l’équation (2.3) entraîne que σ²=ϕ^′′(1) +ϕ^′(1)−(ϕ^′(1))² (2.4) Supposons que la propriété est vraie pourn. Pour appliquer l’équation (2.3), il faut commencer par déterminer G^′′_n+1(1). Or,

G^′′_n+1=[

G^′_noϕ(s)ϕ^′]_′

=G^′′_noϕ.ϕ^′2+G^′_noϕ.ϕ^′′ (2.5) On l’applique en1, en utilisant l’équation (2.3) pour remplacerG^′′_n(1), l’équation (2.4) pour remplacerϕ^′′(1), et le fait queG^′_n(1) =mⁿ.

G^′′_n+1(1) = (varZn−mⁿ+m²ⁿ)m²+mⁿ(σ²−m+m²)

=m²varZ_n+mⁿσ²+m²ⁿ⁺²−mⁿ⁺¹ En le réinjectant dans l’équation (2.3), on obtient

varZn+1=m²varZn+mⁿσ² (2.6) Sim= 1: L’équation (2.6) avecvarZn=nσ²donne facilement quevarZn+1= (n+ 1)σ² et que la propriété est vraie au rangn+ 1.

Si m̸= 1 : Par hypothèse de récurrence,

varZn+1=m²mⁿ(mⁿ−1)

m(m−1) σ²+mⁿσ²

= mⁿ⁺¹(mⁿ⁺¹−1) m(m−1) σ²

2.3.3 Probabilité d’extinction

L’étude de l’espérance et la variance nous dit que la taille moyenne sur une infinité de trajectoires tend vers l’infini si le nombre moyen de descendants est

18CHAPITRE 2. MODÈLE DE GALTON-WATSON ET SÉRIES GÉNÉRATRICES supérieur à 1, vers 0 si il est inférieur. Cela est somme toute assez intuitif et surtout ne répond pas à toute la problématique.

En effet, la figure 2.1 montre que pour une même loi deX, la population peut s’étendre pour certaines expériences et grandir pour d’autres. Une question lé- gitime (et qui était la question initiale d’intérêt pour ce modèle) est alors de déterminer la probabilité pour une loi deX donnée que la population s’éteigne.

SoitE l’évènement désignant le fait que la population s’éteint.

E=∪n≥1{Z_n= 0}

Les évènements{Z_n= 0} constituant une suite croissante d’évènements, P(E) = lim

n→+∞P(Z_n= 0)

Theorem 2.1. P(E)est la plus petite solution dans[0,1]de l’équationϕ(s) =s.

Sim≤1,P(E) = 1, sinon 0≤P(E)<1.

Démonstration. La propriété 2.6 b) entraîne que Gn(s) =ϕ(Gn−1(s)). En par- ticulier

Gn(0) =ϕ(Gn−1(0) P(Z_n= 0) =ϕ(P(Z_n−1= 0))

nlim→∞P(Zn= 0) = lim

n→∞ϕ(P(Zn−1= 0))

nlim→∞P(Zn= 0) =ϕ( lim

n→∞P(Zn−1= 0)) carϕest continue P(E) =ϕ(P(E))

P(E)est donc une solution deϕ(s) =s.

Soit q la plus petite solution de ϕ(s) = s appartenant [0,1]. Comme ϕ est croissante,ϕ⁽ⁿ⁾l’est également. Par conséquent,

ϕ⁽ⁿ⁾(0)≤ϕ⁽ⁿ⁾(q) P(Zn= 0)≤q

P(E)≤q par passage à la limite.

Par minimalité deq, on a donc forcémentP(E) =q.

De plus,ϕest de dérivée et de dérivée seconde positive puisque :

2.3. PROCESSUS DE GALTON-WATSON 19

ϕ^′(s) =∑

k≥1

kP(Z1=k)s^k−1 ϕ^′′(s) =∑

k≥2

k(k−1)P(Z1=k)s^k−2

En particulier,ϕ^′ est croissante.

Cas 1 : P(Z1= 0) +P(Z1= 1)̸= 1

Il existe un k >1 tel queP(Z1 =k)>0. La fonctionϕ^′′ est alors strictement positive doncϕ^′ est strictement croissante.

Si m≤1,on a pour touts <1,(ϕ(s)−s)^′ =ϕ^′(s)−1< ϕ^′(1)−1≤0. Donc ϕ(s)−s > ϕ(1)−1 = 0.1 est donc la plus petite racine deϕ(s) =s.

Si m >1,commeϕ^′(0) =P(Z1= 1)<1et ϕ^′(1) =m >1, il existe un unique s0 tel queϕ^′(s0) = 1. Une étude de signe deϕ(s)−sdonne alors

0 s₀ 1

ϕ^′(s)−1 − +

ϕ(s)−s ↘ ↗ 0

Cas 2 : P(Z₁= 0) +P(Z₁= 1) = 1

Alorsϕ(s) =α+ (1−α)savecα=P(Zn = 0). Doncϕ(s) =sentraîneα=αs puiss= 1. Ce cas correspond de plus bien àm≤1.

2.3.4 Comportement asymptotique

2.3.4.1 Cas sous-critique (m <1)

Dans ce cas, la probabilité d’extinction est de1, si bien que la variable d’interêt devient le temps τ de l’extinction. Comme{τ > n}={Zn̸= 0}et queP(Zn= 0) =Gn(0),

P(τ > n) = 1−Gn(0)

Etudier τ revient donc à étudier la vitesse de convergence deGn(0)vers1.

Proposition 2.8. Supposonsm <1et soitτ le temps d’extinction du processus.

Il existe C >0tel que P(τ > n)∼Cmⁿ.

Démonstration. Le théorème de Taylor implique qu’il existec_n∈[G_n(0),1]tel que

20CHAPITRE 2. MODÈLE DE GALTON-WATSON ET SÉRIES GÉNÉRATRICES

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0 0.5 1.0 1.5

s

y

fonction phi(s) s

m<1

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0 0.5 1.0 1.5

s

y

fonction phi(s) s

m=1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0 0.5 1.0 1.5

s

y

fonction phi(s) s

m>1

Figure 2.3 – Illustration pour les différents cas de valeurs dem

ϕ(G_n(0))−ϕ(1) =ϕ^′(1)(G_n(0)−1) +ϕ^′′(c_n)

2 (G_n(0)−1)² 1−Gn+1(0) =m(1−Gn(0))−ϕ^′′(cn)

2 (1−Gn(0))²

La fonctionϕ⁽³⁾ étant continue et positive, 0≤ϕ^′′(cn)≤ϕ^′′(1) donc,

m−ϕ^′′(1)(1−G_n(0))≤ 1−G_n+1(0)

1−Gn(0) ≤m (2.7)

L’inégalité de droite entraîne que ¹₁⁻₋^G_Gⁿ⁽⁰⁾

0(0) ≤mⁿ et que par conséquent, comme G₀(0) = 0,1−G_n(0)≤mⁿ.

L’égalité 2.7 entraîne alors que∀n≥N₁

2.3. PROCESSUS DE GALTON-WATSON 21

m−ϕ^′′(1)mⁿ ≤1−Gn+1(0) 1−G_n(0) ≤m 1−ϕ^′′(1)mⁿ⁻¹≤m⁻⁽ⁿ⁺¹⁾(1−G_n+1(0))

m⁻ⁿ(1−Gn(0)) ≤1

ln(1−ϕ^′′(1)mⁿ⁻¹)≤ln(m⁻⁽ⁿ⁺¹⁾(1−Gn+1(0)))−ln(m⁻ⁿ((1−Gn(0)))≤0 (2.8) Or,ln(1−x)≥ −2xpour 0≤x <1 suffisamment proche de0. Il existe donc N tel que,∀n≥N

ln(1−ϕ^′′(1)mⁿ⁻¹)≥ −2ϕ^′′(1)mⁿ⁻¹ (2.9) La série de terme généralmⁿ⁻¹convergeant carm <1, on en déduit que la série de terme général négatif ln(1−ϕ^′′(1)mⁿ⁻¹) converge également. L’équation 2.8 entraîne alors que la série de terme général ln(m⁻⁽ⁿ⁺¹⁾(1−G_n+1(0)))− ln(m⁻ⁿ((1−G_n(0))) converge également, vers un réel néagtif K. La somme partielle d’ordrende cette série valantln(m⁻ⁿ((1−G_n(0))), on en déduit que limn→+∞m⁻ⁿ((1−Gn(0)) =e^K =C. Ceci démontre le théorème.

2.3.4.2 Cas critique (m= 1)

Dans ce cas, la probabilité d’extinction est également de1. L’approche est sem- blable au cas sous-critique, la seule différence étant la vitesse de convergence.

Proposition 2.9. Supposonsm <1et soitτ le temps d’extinction du processus.

Soitσ² la variance de Z1. AlorsP(τ > n)∼_nσ²2. Démonstration. cf TD.

2.3.4.3 Cas sur-critique (m >1)

Dans ce cas, la probabilité d’extinction est inférieure à 1 et l’espérance de Zn

vautmⁿ et tend donc vers l’infini. Les variations deZn autour de sa moyenne sont données par le théorème suivant.

Proposition 2.10. Il existe une v.a. positive W avec EW = 1 et varW =

σ²

m(m−1) telle que

n→lim+∞

Zn

mⁿ =W presque surement De plus,P(W >0) = 1−P(E).

22CHAPITRE 2. MODÈLE DE GALTON-WATSON ET SÉRIES GÉNÉRATRICES Démonstration. Admis

Chapitre 3

Chaînes de Markov, des

mouvements de particules à PageRank

3.1 Un exemple

On considère une machine qui peut se trouver dans deux états F (elle fonc- tionne) etD(elle est en défaillante). Lorsqu’elle fonctionne un matin, la proba- bilité qu’elle soit en panne le lendemain est de ₅₀¹. Lorsqu’elle est en panne, la probabilité qu’elle soit réparée pour le lendemain et qu’elle fonctionne donc à nouveau est ¹₄.

La question qui se pose est alors de savoir s’il est possible de déterminer la probabilité que la machine soit en panne dansnjours, sachant son état actuel, ou encore quelle est le nombre moyen de jours par an pendant lesquels elle est en panne.

Le code suivant permet de simuler une trajectoire de la machine surN jours.

trajectoire_machine <- function(N,p=.02,q=.25,pinit=1){

# va générer un trajectoire de N jours, les 1 représentants l'état de marche, les 0 les pannes etat <- rbinom(1,1,pinit) #pinit est la probabilité que la machine fonctionne au jour 1 traj <- etat

for (i in 1:N){

if (etat==1){

etat = rbinom(1,1,1-p) }

23

24CHAPITRE 3. CHAÎNES DE MARKOV, DES MOUVEMENTS DE PARTICULES À PAGERANK

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0 25 50 75 100

jours

etat

Exemples de trajectoires

Figure3.1 – Trajectoires

else{

etat = rbinom(1,1,q) }

traj <- c(traj,etat) }

return(traj) }

La figure 3.1 montre dix trajectoires sur 100 jours. On y a voit les machines tomber en panne aléatoirement et y rester pour une durée également aléatoire.

La figure 3.2 montre les probabilités empiriques de fonctionnement en fonction de l’état initial (la machine fonctionne au jour 0 avec probabilité 0, 0.5 ou 1).

Ces courbes sont obtenues en lançant1000 trajectoires aléatoires dans chaque cas et en les moyennant.

On voit que la probabilité semble converger vers une valeur limite quand le nombre de pas tend vers l’infini et que cette valeur semble indépendante de l’état au jour0.

Se pose alors naturellement la question si cette observation peut être démontrée, si la valeur limite peut être prédite et si cela est généralisable à des modélisations plus complexes.