Option “Informatique et Math´ematiques”
Devoir “maison” sur les suites de nombres r´eels Ecrivez lisiblement et en fran¸cais correct.
Pensez `a justifier vos affirmations ! Exercice 1
(i) Chaque ann´ee, la population de la galaxie est multipli´ee par un certain r´eelr >1.
On prend comme point de d´epart la populationu0 en l’an 2000 (calendrier de la terre ga¨ıane), soit l’ann´ee z´ero du mill´enaire. Calculer la population galactique un en l’an 2000 +n.
(ii) L’administration galactique raisonne plutˆot en termes de si`ecles. Calculer la populationnsi`ecles apr`es l’an 2000 ; on la note vn.
(iii) Quelle est la relation qui lieun etvn? Exercice 2
Pour chacune des deux questions ci-dessous, on expliquera clairement tous les cas mais sans donner de justification : ces derni`eres font partie du cours de terminale.
(i) Pour quelles valeurs de a, b la suite de terme g´en´eral un := an +b est-elle constante, major´ee, minor´ee, born´ee, croissante, d´ecroissante, monotone, convergente ? (ii) Pour quelles valeurs dec, rla suite de terme g´en´eralun:=crnest-elle constante, major´ee, minor´ee, born´ee, croissante, d´ecroissante, monotone, convergente ?
Exercice 3
Soit a∈[0,1]. On pose u0:= 0 et un+1:= 4un(1−un).
(i) D´emontrer par r´ecurrence que tous les un appartiennent au segment [0,1]. On pourra pour cela ´etudier la fonction f(x) := 4x(1−x).
(ii) La suite (un) admet-elle une sous-suite convergente ? (iii) Pour quelles valeurs de ala suite (un) est-elle constante ?
(iv) En admettant queaest tel que la suite (un) converge, quelle peut-ˆetre sa limite ? 1
