FONCTIONS EXPONENTIELLES TYPE BAC
I. D après Liban juin 2015.
PARTIE A
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative Cf d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 18] ainsi que les tangentes au point A d’abscisse 0, au point B d’abscisse 5 et au point D d’abscisse 10.
On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées (2 ; 10) et que la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.
Donner les valeurs de f ′(5) et de f ′(0).
PARTIE B
Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction f dont la courbe représentative Cf a été tracée ci-dessus.
En abscisses, x représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire. En ordonnées, f(x) représente le nombre de milliers de jouets vendus le x -ième jour.
Ainsi, par exemple, le 10-ième jour après le début de la campagne publicitaire, l’entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.
On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 18] par f(x) 5xe−0,2x .
1. Montrer que f ′(x) (5−x)e−0,2x où f ′ désigne la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; 18].
2. Etudier le signe de f ′(x) sur [0 ; 18] puis dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 18].
3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint.
Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l’unité.
II. Asie juin 2014.
On étudie l’évolution de la population d’une ville, depuis le 1er janvier 2008.
Partie A : un premier modèle
Pour cette partie, on admet que la population augmente de 3,5 % par an depuis le 1er janvier 2008.
1. Déterminer le pourcentage d’augmentation de la population entre le 1er janvier 2008 et le 1er janvier 2014. Donner une réponse à 0,1 % près.
2. À partir de 2008, on modélise la population de cette ville au 1er janvier à l’aide d’une suite : Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d’habitants, exprimé en centaines de milliers d’habitants, au 1er janvier de l’année 2008 + n.
Au 1er janvier 2008, cette ville comptait 100 000 habitants.
a. Que vaut u0 ?
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, un 1,035n.
c. Suivant ce modèle, en quelle année la population aura-t-elle doublé ? Justifier la réponse.
Partie B : un second modèle.
On modélise la population de cette ville à partir du 1er janvier 2008 par la fonction f définie sur [0 ; +∞[
par : f(x) 3
1 2e 0,05xoù x désigne le nombre d’années écoulées depuis le 1er janvier 2008 et f(x) le
nombre d’habitants en centaines de milliers.
1. Construire le tableau de variation de la fonction f sur [0 [ 2. On considère l’algorithme suivant :
X 0
Tant que f(X) 2 X X + 1 Fin Tant que
Si l’on fait fonctionner cet algorithme, alors on obtient à la fin X 28. Interpréter ce résultat dans le contexte de ce problème.
III. Antilles Guyane septembre 2017.
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [1; 25] par f(x) 10 e0,2x 1 x Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l’on pourra utiliser :
1. Retrouver par le calcul l’expression factorisée de f ′(x) où f ′ est la fonction dérivée de f .
2. Étudier le signe de f ′ sur l’intervalle [1 25] et dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle [1 25]. On arrondira les valeurs au millième.
3. On s’intéresse à l’équation f (x) =0.
a. Montrer que l’équation f(x) 0 n’admet pas de solution sur l’intervalle [1 5].
b. Montrer que l’équation f(x) 0 admet une unique solution sur l’intervalle [5 25].
c. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de la solution Partie B
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s’intéresse au bénéfice réalisé, en millier d’euros, correspondant à la production d’une quantité de x dizaines de tonnes d’aliments.
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A ci-dessus. La production minimale est de 10 tonnes, ainsi x 1.
Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.
1. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société? Pour quelle quantité d’aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?
2. Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d’aliments qu’il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.
IV. Asie juin 2017.
Partie A
On donne ci-dessous la courbe représentative Cf d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−3 2].
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
Le point A de coordonnées (0 3) appartient à la courbe Cf . B est le point d’abscisse 1 appartenant à la courbe Cf .
On dispose des informations suivantes :
- la fonction f est strictement décroissante sur les intervalles [−3 −0,5] et [1 2] et elle est strictement croissante sur [−0,5 1]
- la droite ∆ d’équation y 0,5x 3 est tangente à la courbe Cf au point A - la tangente ∆ à la courbe Cf au point B est parallèle à l’axe des abscisses Chaque réponse devra être justifiée.
1. Donner la valeur de f (1).
2. Quel est le signe de f (−2) ? 3. Donner la valeur de f (0).
Partie B
On admet qu’il existe trois réels a, b et c pour lesquels la fonction f représentée dans la partie A est définie, pour tout réel x de [−3 2], par : f(x) (a x² b x c)ex 5.
1. En utilisant l’un des points du graphique, justifier que c −2.
2. En utilisant les résultats de la partie A, justifier que b 2,5 puis que a −1.
Partie C
On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de [−3 ; 2] par f(x) ( x² 2,5x 1)ex 5.
1. Vérifier que pour tout réel x de l’intervalle [−3 2], f (x) ( x² 0,5c 0,5)ex. 2. Étudier le signe de f ′ puis dresser le tableau de variation de f sur [−3 ; 2].
3.
a. Justifier que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur [1 ; 2].
b. Donner la valeur de α arrondie au centième.
V. Métropole septembre 2017.
