Première partie : définition de l’exposant de Hölder ponctuel

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2013 FILIÈRE

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – B – (X)

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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Exposant de Hölder ponctuel d’une fonction continue

Ndésigne l’ensemble des entiers naturels etRcelui des nombres réels.

On noteCl’espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur l’intervalle compact[0,1]

et à valeurs dans R. Cet espace est muni de la norme k · k_∞ définie pour tout f ∈ C, par kfk_∞= sup_x∈[0,1]|f(x)|.

On noteC0le sous-espace deCformé par les fonctionsf telles quef(0) =f(1) = 0.

log₂est la fonction définie pourt∈]0,+∞[, parlog₂t= lnt

ln 2, oùlnest le logarithme népérien.

Première partie : définition de l’exposant de Hölder ponctuel

Soitx₀∈[0,1]. Pour touts∈[0,1[, on désigne parΓ^s(x0)le sous-ensemble deCformé par les fonctionsf qui vérifient :

sup

x∈[0,1]\{x0}

f(x)−f(x0)

|x−x₀|^s <+∞.

1a. Montrer queΓ^s(x₀)est un sous-espace vectoriel deC, puis que, pour tous réelss₁ets₂ vérifiant0≤s₁≤s₂<1, l’on aΓ^s2(x₀)⊂Γ^s1(x₀). Enfin, déterminerΓ⁰(x₀).

1b.Soitf ∈ C. Sif est dérivable enx₀, montrer quef ∈Γ^s(x₀)pour touts∈[0,1[.

1c.Montrer que pour toutx₀∈]0,1[, il existef ∈ Cnon dérivable enx₀tel que pour tout s∈[0,1[,f ∈Γ^s(x0).

Pour toutf ∈ Cet toutx₀∈[0,1], on pose

α_f(x0) = sup{s∈[0,1[|f ∈Γ^s(x0)} .

Le réelα_f(x₀)est appeléexposant de Hölder ponctuel def enx₀; il permet de mesurer finement la régularité locale def au voisinage du pointx₀.

2.Soitp: [0,1]→R,x7→^»|1−4x²|. Déterminer l’exposant de Hölder ponctuel depen 1 2. Pour toutf ∈ C, on définit la fonctionω_f: [0,1]→R₊par

ω_f(h) = sup{|f(x)−f(y)| |x, y∈[0,1]et|x−y| ≤h}. 3a.Montrer queω_f est croissante, et continue en 0.

3b.Montrer que pour toush, h^′∈[0,1]tels queh≤h^′,ω_f vérifie ω_f(h^′)≤ω_f(h) +ω_f(h^′−h). 3c.En déduire queω_f est continue sur[0,1].

4a.Soits∈[0,1[. On suppose que la fonctionh7→ ω_f(h)

h^s est bornée sur ]0,1]. Pour tout x₀∈[0,1], montrer quef∈Γ^s(x0).

4b.Soitq: [0,1]→Rdéfinie par





q(x) =xcos Åπ

x ã

pourx >0, q(0) = 0.

Montrer que pour toutx₀∈[0,1],α_q(x0) = 1, mais que ω_q(h)

√h ne tend pas vers 0 quandhtend vers0.

Deuxième partie : le système de Schauder

On noteI=^¶(j, k)∈N²|j∈Net0≤k <2^j}; pourj∈N, on désigne parTj l’ensemble Tj=^¶k∈N|0≤k <2^j}.

Pour tout(j, k)∈ I, soitθ_j,k: [0,1]→[0,1]la fonction deC0, définie pour toutx∈[0,1]par θ_j,k(x) =

(1− |2^j+1x−2k−1| six∈[k2^−j,(k+ 1)2^−j], 0sinon.

La famille des fonctions(θj,k)_(j,k)∈I est appeléele système de Schauder.

On noteek_j(x)la partie entière du réel2^jx, c’est donc l’unique entier tel que ek_j(x)≤2^jx <ke_j(x) + 1.

5a.Montrer que pour toutj∈Net toutk∈ Tj+1, il existe un unique entierk^′∈ Tj tel que [k2^−j−1,(k+ 1)2^−j−1]⊂[k^′2^−j,(k^′+ 1)2^−j].

On précisera le lien entreketk^′.

5b.Calculerθ_j,k(ℓ2^−j−1)pour tousj∈N,k∈ Tj,ℓ∈ Tj+1.

5c.Montrer que pour tout(j, k)∈ I, la fonctionθ_j,kest continue, affine sur chaque intervalle de la forme[ℓ2⁻ⁿ,(ℓ+ 1)2⁻ⁿ]oùn > jetℓ∈ Tn.

5d.Prouver que pour tous(j, k)∈ Iet(x, y)∈[0,1]², on a

θ_j,k(x)−θ_j,k(y)≤2^j+1|x−y|. Dans le reste de cette partief est un élément deC0.

Pour toutn∈N, soitS_nf la fonction deC0définie par Snf =

n

X

j=0

X

k∈Tj

cj,k(f)θj,k,

où, pour tout(j, k)∈ I, on a posé c_j,k(f) =f

ÅÅ k+1

2 ã

2^−j ã

−f k2^−j+f (k+ 1)2^−j

2 .

6.Montrer que lim

j→+∞max

k∈Tj

|c_j,k(f)|= 0.

7a.Pour tout(j, k)∈ I,(i, ℓ)∈ I, calculercj,k(θi,ℓ).

7b.Soitaj,kune famille de réels indexée par(j, k)∈ I. On notebj= max

k∈Tj

|aj,k|, et on suppose que la série^Pbj est convergente.

Pour toutj∈N, soitf_j^a la fonction définie par f_j^a(x) = ^X

k∈Tj

aj,kθj,k(x).

Montrer que la série^Pf_j^aest uniformément convergente sur [0,1] vers une fonction notéf^a, qui appartient àC0et qui vérifie, pour tout(j, k)∈ I,cj,k(f^a) =aj,k.

8a.On supposefde classeC¹. Montrer qu’il existe une constanteM≥0telle que pour tous (j, k)∈ I,|c_j,k(f)| ≤M2^−j.

En déduire que la suite de fonction S_nf est uniformément convergente sur[0,1] lorsquen tend vers∞.

8b.On supposefde classeC². Montrer qu’il existe une constanteM^′≥0telle que pour tous (j, k)∈ I,|c_j,k(f)| ≤M^′4^−j.

9a.Montrer que pour toutn∈Net toutℓ∈ Tn+1, la fonctionS_nf est affine sur l’intervalle [ℓ2⁻ⁿ⁻¹,(ℓ+ 1)2⁻ⁿ⁻¹].

9b.Soitn∈N. On suppose que pour toutℓ∈ T_n,(S_n−1f)(ℓ2⁻ⁿ) =f(ℓ2⁻ⁿ). Montrer que l’on a aussi que pour toutℓ∈ Tn+1,(Snf)(ℓ2⁻ⁿ⁻¹) =f(ℓ2⁻ⁿ⁻¹).

On pourra distinguer les cas suivant la parité deℓ.

9c.En déduire que pour toutn∈Net toutℓ∈ T_n+1,(Snf)(ℓ2⁻ⁿ⁻¹) =f(ℓ2⁻ⁿ⁻¹).

10a.Déduire de la question9que pour toutf deC0, lim

n→+∞kf−Snfk∞= 0.

10b.Soitn∈N. Montrer que Sn est un projecteur surC0, dont la norme subordonnée (à k · k∞) vaut 1.

11a.Soits∈]0,1[. Montrer que sia, b≥0, alorsa^s+b^s≤2^1−s(a+b)^s.

11b.Montrer que sif ∈Γ^s(x₀)∩ C₀, alors il existe un réelc₁>0, tel que pour tout(j, k)∈ I, on a,

|cj,k(f)| ≤c₁^Ä2^−j+|k2^−j−x₀|^äs .

Troisième partie : minoration de l’exposant de Hölder ponctuel L’objectif de cette partie est d’établir une forme de réciproque du résultat de la question 11b. Dans toute cette partie, on désigne parf∈ C₀une fonction vérifiant la propriété suivante :

(P₁) il existex₀∈[0,1],s∈]0,1[etc₁∈]0,+∞[, tels que pour tout(j, k)∈ I,

|cj,k(f)| ≤c1

Ä2^−j+|k2^−j−x0|^äs .

Dans tout le reste de cette partie, on fixe lesx₀,setc₁de la propriétéP₁etx∈[0,1]\ {x₀}.

12.Montrer qu’il existe un uniquen₀∈Ntel que2⁻ⁿ⁰⁻¹<|x−x₀| ≤2⁻ⁿ⁰.

13.On rappelle que la notationek_j(x)a été introduite en préambule de la deuxième partie.

On pose

W_j= ^X

k∈Tj

|c_j,k(f)|θ_j,k(x)−θ_j,k(x₀).

Montrer que

Wj≤|c_j,ek

j(x)(f)|+|c_j,ek

j(x⁰)(f)|2^j+1|x−x₀|. 14a.Montrer que pourj≤n₀(n₀est déterminé dans la question12), on a

Wj≤4c₁2^(1−s)j3^s|x−x₀|.

14b.En déduire que, en posantc₂= 8^Ä2^1−s−1^ä−1Ä3/2^äsc₁,

n0

X

j=0

X

k∈T_j

|c_j,k(f)|θ_j,k(x)−θ_j,k(x₀)≤c₂|x−x₀|^s.

15. Montrer que pour tout j ∈ N, |c_j,ek

j(x0)(f)| ≤ 2^s(1−j)c₁. En déduire, en posant c₃=^Ä1−2^−sä−12^sc₁,

+∞

X

j=n⁰+1

X

k∈T_j

|c_j,k(f)| |θ_j,k(x₀)| ≤c₃|x−x₀|^s.

Dans la suite du problème, on suppose que kfk∞ = 1 et on rappelle que la fonctionω_f a été définie à la question3.

16.Montrer qu’il existe un uniquen₁∈Ntel queω_f(2⁻ⁿ¹⁻¹)<2^−n0s≤ω_f(2⁻ⁿ¹).

17.Montrer que pour toutn≥n₁, oùn₁est déterminé dans la question16, on a kf−S_nfk∞≤2^s+1|x−x₀|^s.

On pourra utiliser les résultats des questions9aet9c. 18a.Montrer que lorsquen₀< n₁, on a,

n1

X

j=n0+1

X

k∈Tj

|c_j,k(f)| |θ_j,k(x)| ≤c₁3^s(n1−n₀)|x−x₀|^s.

On suppose de plus dans la suite que la fonction ω_f vérifie la propriété suivante :

(P₂) pour tout entierN≥1, il existe un réelc₄(N)>0, tel que pour touth∈]0,1], ω_f(h)≤c₄(N) (1 +|log₂h|)^−N .

18b.Pour tout entierN≥1, on posec₅(N) = 3^sc₁^Äc₄(N)^ä1/N. Montrer que

n₁−n₀≤n₁+ 1≤

Ç c₄(N) ω_f(2⁻ⁿ¹)

å_N¹

et en déduire

n¹

X

j=n0+1

X

k∈T_j

|cj,k(f)| |θj,k(x)| ≤c₅(N)|x−x₀|^(1−N1)s.

19.Déduire de ce qui précède queα_f(x₀)≥s.

On pourra distinguer les casn₀≥n₁etn₀< n₁.

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