Diophante I166 À un degré près
On considère deux rayons laser qui partent d’un point P situé sur le bord intérieur d’une pièce circulaire. Ils forment respectivement deux angles de n degrés et n + 1 degrés (n entier positif < 90°) avec la tangente en P au mur de la pièce. Dans un plan horizontal, ils se réfléchissent le long de ce mur en laissant une marque rouge à chaque point de contact et reviennent au point P au bout d’un nombre fini de réflexions.
Q1 Déterminer la valeur de n de sorte que le nombre de marques rouges (y compris celle en P) est le plus petit possible.
Q2 On dénombre 45 marques rouges. Déterminer la ou les valeurs possibles de n.
Prenons un repère du plan complexe où le cercle est de rayon 1, et l’affixe de P = P0, 0.
Pour le rayon d’angle n°, les affixes de P1, P2, … , Pk sont respectivement 2sin(n)einπ/180, 2sin(n)einπ/180{ei4nπ/180 – 1}/{ei2nπ/180 – 1}, … , 2sin(n)einπ/180{ei2knπ/180 – 1}/{ei2nπ/180 – 1}.
Ce rayon revient en P, pour la première fois et à la kième réflexion, lorsque ei2knπ/180 = 1, soit kn = 180u, où l’entier u est le plus petit possible.
C’est-à-dire lorsque k = 180/PGCD(n,180) et u = n/PGCD(n,180).
Q1
L’objectif est de minimiser 180/PGCD(n,180) + 180/PGCD(n + 1,180) – 1 (P = P0 ne doit pas être compté deux fois) pour n < 90 ;
Mais à condition (I) que les deux termes sommés soient premiers entre eux. Sinon, deux marques rouges peuvent être communes aux deux rayons laser et il faut en soustraire une sur deux à chaque redondance.
La valeur de n de sorte que le nombre de marques rouges (28 = 9 + 20 – 1), y compris celle en P, soit le plus petit possible est 80.
La condition (I) est satisfaite car 9 et 20 sont premiers entre eux.
Q2
180/PGCD(n,180) + 180/PGCD(n + 1,180) – 1 = 45 lorsque n = 54.
Mais la condition (I) n’est pas satisfaite car 10 et 36 ne sont pas premiers entre eux.
Peut-on trouver plus grand puis enlever les redondances ? La réponse est non.
En effet, ensuite, 48 est obtenu lorsque n = 44 mais 4 et 45 sont premiers entre eux donc on reste sur 48, 50 est obtenu lorsque n = 24 ou n = 84 mais15 et 36 n’enlèvent que deux redondances donc on ne descend qu’à 48, 56 est obtenu lorsque n = 15 ou n = 75 mais 12 et 45 n’enlèvent que deux redondances donc on ne descend qu’à 54, etc.
Lorsque l’on dénombre 45 marques rouges, aucune valeur de n n’est possible.
Jean-Louis Legrand
