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Ces rayons sont au nombre de 180k/n (nombre entier).

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I166. A un degré près

On considère deux rayons laser qui partent d’un point P situé sur le bord intérieur d’une pièce circulaire. Ils forment respectivement deux angles de n degrés et n + 1 degrés (n entier positif < 90°) avec la tangente en P au mur de la pièce. Dans un plan horizontal, ils se réfléchissent le long de ce mur en laissant une marque rouge à chaque point de contact et reviennent au point P au bout d’un nombre fini de réflexions.

Q1 Déterminer la valeur de n de sorte que le nombre de marques rouges (y compris celle en P) est le plus petit possible.

Q2 On dénombre 45 marques rouges. Déterminer la ou les valeurs possibles de n.

Solution de Paul Voyer Q1

Les angles polaires des vecteurs rayons du premier laser sont n, 3n, 5n, …,360-n modulo 360.

Ces rayons sont au nombre de 180k/n (nombre entier).

n = 80° , k = 4, p = 9 = 4*180/80 n = 81°, k = 9, p = 20 = 9*180/81

1 point commun (P) (pgcd de 9 et 20)

28 marques rouges Q2

Il n'y a pas de solution . Le plus proche est :

n = 54° , k = 3, p = 10 = 3*180/54 n = 55°, k = 11, p = 36 = 11*180/55

2 points communs (P et le point diamétralement opposé (pgcd de 10 et 36)

44 marques rouges .

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