E439 : Croisements interdits sur autoroute enneigée
Bloqués par une tempête de neige qui s'est abattue sur l'autoroute du Sud, Zig et Puce prennent leur mal en patience. Ils dessinent sur une feuille de papier le contour d'un triangle équilatéral ABC et marquent en son intérieur 2007 points de telle sorte que trois points quelconques parmi les 2010 points y compris A,B et C ne sont jamais alignés. Chacun à son tour trace un segment de droite joignant deux points aussi longtemps que ce segment ne croise pas un segment déjà tracé.
Le vainqueur est le dernier à pouvoir tracer un segment. Zig commence. Qui est le vainqueur ?
A la fin de la partie, Zig et Puce ont tracé un réseau dont chaque maille est un triangle:
en effet, s’il y avait un quadrilatère, ou une figure non croisée comportant un plus grand nombre de cotés, il aurait au moins une diagonale qui ne coupe aucun coté, qu’aurait pu tracer le joueur perdant.
Ce graphe vérifie la relation d’Euler entre les nombres S de sommets, A d’arêtes et F de faces F+S=A+2. Ici les faces sont toutes triangulaires, donc 3F=2A, et A=3S-6; Or S=2010, A=6024 et puisque le triangle ABC est déjà tracé, Zig et Puce pourront tracer 6021 segments : si Zig commence, c’est lui qui finira et gagnera la partie.
