D664. La saga des carrés inscrits (3ème épisode) MB
Problème proposé par Dominique RouxCe problème est le troisième épisode d’une saga qui en comportera cinq sur le thème(1) : Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ?
On considère un quadrilatère (ABCD) tel que dans ses 4 sommets il n'y en ait pas trois alignés.
On numérote les droites (AB),(BC),(CD),(DA) par respectivement (1),(2),(3),(4).
On veut choisir 4 points Mi, Mi étant sur la droite (i) ( i entre 1 et 4) de telle façon que M1,M2,M3,M4
soient les sommets d'un carré, que l'on appellera carré inscrit dans (ABCD).
Soit N le nombre des carrés que l'on peut inscrire dans (ABCD)
Q₄ Lorsque N n'est pas infini, quelle est la valeur maximale de l'entier N ?
De manière générale, pour inscrire un carré ayant ses sommets sur 4 droites Di, Dj, Dk , Dl on prend sur Di un point quelconque Mi comme centre d’une rotation de 90° qui donne de la droite Dj une image D’j. La droite D’j coupe Dk en un point Mk. On peut construire le carré qui a un sommet Mi sur Di, un sommet Mj sur Dj, et le sommet Mk sur Dk. En déplaçant Mi sur Di, le carré se déplace, le 4ème sommet Ml décrit une droite ∆. Suivant que ∆ est sécante à Dl, parallèle à Dl, ou confondue avec Dl, ce processus fournit Un, Zéro, ou une Infinité de carrés inscrits.
Sauf exception on obtient un et un seul carré orienté Mi Mj Mk Ml . En permutant i, j, k, l, on obtient
N = 6
carrés associés aux 6 cycles : 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 31 2 4 3 1 3 4 2 1 4 3 2
