Feuille d’exercices 8

Universit´e Joseph Fourier

MAT233 Fonction de plusieurs variables 2013-2014

Feuille d’exercices 8

On utilise les expressions x, ypour d´esigner les coordonn´ees d’un vecteur g´en´eral dansR². Rappelons que{dx,dy} d´esigne la base duale de la base canonique deR².

Exercice 1 Soit p> 0 un entier. Si U est un ouvert non-vide de R², on appelle 1- forme diff´erentielle de classeC^p surU toute applicationR-lin´eaire deR² versC^p(U).

On d´esigne par Ω¹(U, C^p) l’ensemble des 1-formes diff´erentielles de classeC^p surU. 1) Montrer que toute 1-forme diff´erentielleαde classeC^psurU s’´ecrit de fa¸con unique

sous la formeα=fdx+gdy, o`uf etgsont des fonctions dansC^p(U) i.e. que pour tout (x, y)∈R² on aα(x, y) =fdx(x, y) +gdy(x, y).

2) Soit F une fonction de classe C^p+1 sur U, montrer que la diff´erentielle deF (que l’on notera dF dans la suite) est une 1-forme diff´erentielle de classeC^psurU. 3) V´erifier la formule de Lebniz : pour tout couple (F, G) de fonctions dansC^p+1(U),

on a

d(F G) =FdG+GdF.

4) Si α=f₁dx+g₁dy et β =f₂dx+g₂dy sont deux 1-forme de classe C^p surU, on d´efinit leur produit ext´erieur comme

α∧β :=f1g2−g1f2∈C^p(U).

Montrer les relations suivantes :

∀α, β∈Ω¹(U, C^p), α∧β =−β∧α, α∧α= 0.

5) Si α = fdx+gdy est une 1-forme diff´erentielle de classe C^p+1 sur U, o`u p > 1, on d´efinit dα := df ∧dx+ dg∧dy ∈ C^p(U). Montrer que, pour toute fonction F ∈C^p+2(U), on a d(dF) = 0.

Exercice 2 Soit U un ouvert non-vide de R². Si γ : [a, b] → U est une courbe pa- ram´etr´ee r´eguli`ere et siα∈Ω¹(U, C⁰), on d´efinit

Z

γ

α:=

Z b

a

α(γ(t))(γ⁰(t)) dt.

i.e. siα=fdx+gdyalorsR

γ α:=Rb

ah(f(γ(t)), g(γ(t))), γ⁰(t)idt.

1) Montrer que la valeur de R

γ αest invariante `a signe pr`es sous changement de pa- ram´etrisation r´egulier. Que commentez-vous le probl`eme de signe dans ce r´esultat.

2) Soientϕ et ψdeux fonctions de classe C¹ d´efinies sur un intervalle ferm´e [a, b] o`u a, b∈R,a < b. On suppose que ϕ(a) =ψ(a),ϕ(b) =ψ(b) etϕ(t)< ψ(t) pour tout t∈]a, b[. Soientγϕet γψ deux courbes param´etr´ees par [a, b] telles que

γϕ(t) = (t, ϕ(t)), γψ(t) = (t, ψ(t)).

Montrer que, si α est une 1-forme diff´erentielle de classe C¹ sur R² qui est de la formeα=fdxavecf ∈C¹(R²), alors on a

Z

γ_ϕ

α− Z

γ_ψ

α= Z

D

dα,

o`u

D={(t, y)∈R²|t∈[a, b], ϕ(t)6y6ψ(t)}, etR

D dαd´esigne l’int´egrale de la fonction 1lDdα.

3) Montrer que, si γ : [a, b]→ R² est une courbe param´etr´ee r´eguli`ere ferm´ee (c’est-

`

a-dire queγ(a) =γ(b) et la restriction deγ `a [a, b[ est injective), alors pour toute 1-forme diff´erentiableαde classeC¹ surR^d, on a

Z

γ

α=± Z

D_γ

dα,

o`uDγ d´esigne le domaine entour´e par la courbeγ. Relier le signe dans la formule `a l’orientation de la courbe param´etr´eeγ.

4) En utilisant le r´esultat de la question pr´ec´edente, calculer l’aire de l’ellipso¨ıde

n

(x, y)∈R²

x² a² +y²

b² 61o , o`u aet bsont des nombres strictement positifs.