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CONCOURS G´EN´ERAL DES LYC´EES ——–

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Academic year: 2022

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(1)

04 MA J.0508

CONCOURS G´ EN´ ERAL DES LYC´ EES

——–

SESSION DE 2004

——–

COMPOSITION DE MATH´ EMATIQUES (Classe terminale S)

Dur´ee: 5 heures

——–

La calculatrice de poche est autoris´ee, conform´ement `a la r´eglementation.

La clart´e et la pr´ecision de la r´edaction seront prises en compte dans l’appr´eciation des copies.

Le probl`eme comporte six parties qui sont tr`es largement ind´ependantes.

Il n’est donc pas obligatoire de traiter syst´ematiquement les questions dans l’ordre de l’´enonc´e, `a condition d’indiquer clairement la question trait´ee en respectant l’indexation du texte.

De mˆeme, pour poursuivre, les candidats peuvent admettre les r´esultats d’une question, `a condition de l’indiquer clairement sur la copie.

(2)

Partie I : une famille de cercles tangents

Dans le plan, soitAun point et ∆ une demi-droite d’origineA.

1- On consid`ere trois cercles Γ1, Γ2, Γ3 de mˆeme rayonrnon nul, de centres respectifsO1, O2, O3 distincts et align´es dans cet ordre sur la demi-droite ∆. Le cercle Γ1passe parA et le cercle Γ2 est tangent aux cercles Γ1 et Γ3

Les diam`etres des cercles Γ1, Γ2, Γ3 sur la demi-droite ∆ sont not´es respectivement [AA1], [A1A2] et [A2A3].

Par le pointA, on m`ene une droite (AD) tangente enD au cercle Γ3.

a) Montrer que la droite (AD) coupe le cercle Γ2 en deux points distinctsB etC. Calculer la longueurBC.

b) Montrer que les droites (BA1) et (CA2) sont s´ecantes ; on noteP leur point d’intersection.

Montrer de mˆeme que les droites (CA1) et (BA2) sont s´ecantes ; on noteQleur point d’intersection.

Que peut-on dire de la direction de la droite (P Q) ?

2- Plus g´en´eralement, on consid`ere un entier n strictement sup´erieur `a 1 et n cercles Γ1, Γ2, . . ., Γn de mˆeme rayonrstrictement positif, de centres respectifsO1,O2, . . .,Ondistincts et align´es dans cet ordre sur la demi-droite ∆. Le cercle Γ1 passe parAet, pour toutk >1, le cercle Γk est tangent au cercle Γk−1.

Les diam`etres des cercles Γ1, Γ2, . . ., Γn sur la droite ∆ sont not´es respectivement [AA1], [A1A2], . . ., [An−1An].

Par le pointA, on m`ene une droite (AD) tangente enD au cercle Γn. Montrer que, pour toutkentier tel que 16k6n−1, cette droite coupe le cercle Γk en deux points distinctsBk et Ck (on remarque queB1=A).

a) Calculer la longueurBkCk en fonction den, deket der.

Dans toute la suite du probl`eme, on prend r= 1. On poseL(n, k) =BkCk. b) Montrer que pour queL(n, k) soit rationnel il faut et il suffit que la condition suivante soit v´erifi´ee :

(C1) il existea∈

N

tel que n(n1)k(k1) = 4a2

(3)

Partie II : ´ etude d’une surface

L’espace est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e O;−→ i , −→

j ,−→ k

. Les coordonn´ees (respectivement l’abscisse, l’or- donn´ee et la cote) d’un point sont not´eesx, yet z.

On consid`ere l’ensemble Σ des pointsM de coordonn´ees (x, y, z) v´erifiant z2=x(x−1)−y(y−1) 1- Soitλun r´eel etPλ le plan d’´equation x=λ.

Montrer que l’intersection de Σ et dePλ est un cercleCλ dont on d´eterminera, en fonction deλ, le centre et le rayon.

2- SoitIle point de coordonn´ees1 2, 1

2, 0

et (d) la droite passant parI de vecteur directeur−→ i.

Montrer que la droite (d) est un axe de sym´etrie de Σ. D´eterminer et dessiner l’intersection de Σ et du plan d’´equationy= 1

3- Reconnaˆıtre la nature de l’ensemble Σ.

4- Soit un entier n strictement sup´erieur `a 2 et un entier k tel que 1 6 k 6 n−1. Montrer que L(n, k) est rationnel si, et seulement si, les points de Σ d’abscissenet d’ordonn´ee kont pour cote un nombre entier pair.

Partie III : ´ etude d’une limite

A partir de la configuration ´` etudi´ee au I.2, on d´efinit λn comme la proportion du segment [AD]

situ´ee `a l’int´erieur des cercles(Γk), pour16k6n−1. Ainsi, on aλn= 1 AD

n−1

X

k=1

BkCk.

1- Calculs d’int´egrales

On d´efinit la fonctionf, de [0,1] dans

R

, par : pour toutx∈[0,1], f(x) = Z x

0

p1−t2dt, puis la fonctionF, deh

0,π 2 i

dans

R

, par : pour toutx∈h 0,π

2 i

, F(x) =f(sinx).

a) Montrer que la fonctionF est d´erivable et calculer sa d´eriv´ee, not´eeF0. b) Montrer que, pour toutxdansh

0, π 2 i

,F(x) = Z x

0

cos2tdt.

c) Sans chercher `a calculer les int´egrales, d´emontrer l’´egalit´e Z π2

0

cos2(t) dt= Z π2

0

sin2(t) dtet en d´eduire la valeur commune des deux int´egrales.

d) En d´eduire que Z 1

0

p1−t2dt=π

4 ; interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.

2- a) Montrer que pour toutn>2,λn= 2 2n−1

n

X

k=1

r 1− k

n·k−1 n−1· b) Montrer que sin>2 et 16k6n, on a : k−1

n 2

6 k n·k−1

n−1 6k n

2

c) On poseIn,k= Z kn

k−1 n

p1−t2dt.

Montrer que pour des valeurs convenables denet k, que l’on pr´ecisera, on a : nIn,k+16

r

1−k−1 n−1·k

n 6nIn,k−1

3- D´emontrer, `a partir des r´esultats des questions 1 et 2 ci-dessus, que la suite (λn) est convergente et calculer sa limite.

(4)

Partie IV : ´ etude de la condition ( C

1

)

On consid`ere deux entiersnetktels que 16k6n−1.

1- On pose p= 2n−1 et q = 2k−1. Montrer que le couple (n, k) v´erifie la condition C1 si, et seulement si, (p, q) est un couple d’entiers naturels impairstels queq < p, v´erifiant la condition (C2) suivante :

(C2) il existea∈

N

tel quep2q2= 16a2

2- Soit (p, q) un couple de nombres entiers naturels, tel qu’il existe deux entiers u > 0 et v > 0, de parit´es diff´erentes, pour lesquelsp=u2+v2etq=u2−v2. Montrer que (p, q) est un couple d’entiers naturels impairs tels queq < pv´erifiant la condition (C2).

3- On consid`ere un couple (p, q), d’entiers naturels impairs et premiers entre eux, tels queq < pet v´erifiant la condition (C2). Montrer qu’il existe deux entiers naturelsu et v de parit´es diff´erentes tels quep=u2+v2 et q=u2−v2. Calculer alors, en fonction deuet dev, la valeur de l’entieraqui intervient dans la condition (C2).

Partie V : nombre premier somme de deux carr´ es

On se propose dans cette partie de d´eterminer tous les nombres premiers qui peuvent s’´ecrire comme somme de deux carr´es d’entiers naturels. On d´esignera plus simplement un tel nombre comme ´etant«somme de deux carr´es».

1- a) Montrer que sinest un entier naturel impair somme de deux carr´es, il est congru `a 1 modulo 4.

b) ´Ecrire 2 et 5 comme somme de deux carr´es.

Dans la suite de la partie V,p d´esigne un nombre premier congru `a 1 modulo4 et strictement sup´erieur `a 5. On l’´ecrit sous la formep= 4m+ 1 (avecm >2).

On d´efinitS=

(x, y, z)∈

N

×

N

×

Z

4xy+z2=p .

2- a) Montrer queSest un ensemble fini non vide et que l’intersection deSet de l’ensemble d’´equationx=y+z est vide.

b) `A tout triplet (x, y, z) deS, on associe le triplet (x0, y0, z0) d´efini par (x0, y0, z0) =

((x−y−z, y,2y+z) six > y+z (y+z−x, x,2x−z) six < y+z Montrer que pour tout (x, y, z) deS, (x0, y0, z0) est aussi ´el´ement deS.

On consid`ere d´esormais la suite de triplets dans S d´efinie en it´erant le proc´ed´e pr´ec´edent de la mani`ere suivante :

• On part du triplet(x0, y0, z0) = (m,1,1);

• (xk, yk, zk)ayant ´et´e d´efini dansS, on prendxk+1 =x0k, yk+1=y0k, zk+1=zk0.

3- a)Etude d’un cas particulier. Dans cette question seulement, on prend´ m = 10. D´eterminer les triplets (xk, yk, zk) pour 06k611.

b) Montrer que si (a, b, c) = (xk, yk, zk), aveck>2, alors le triplet (xk−1, yk−1, zk−1) est : ((a−b+c, b, c−2b) sia−4b+ 2c >0

(b, a−b+c,2b−c) sia−4b+ 2c <0 Montrer que ce r´esultat est encore vrai pourk= 1.

c) Montrer qu’il existe deux entiers distinctsket `tels que (xk, yk, zk) = (x`, y`, z`).

En d´eduire qu’il existe un entiernstrictement positif tel que (xn, yn, zn) = (m, 1,1).

On note d´esormaisnle plus petit entier strictement positif tel que

(xn, yn, zn) = (m,1, 1).

4- a) Calculer (xn−1, yn−1, zn−1) et (xn−2, yn−2, zn−2).

(5)

b) Montrer que, pour tout entierj tel que 16j6n:

(xj−1, yj−1, zj−1) =

((xn−j, yn−j,−zn−j) sixj−1> yj−1+zj−1 (yn−j, xn−j, zn−j) sixj−1< yj−1+zj−1

c) Montrer quenest impair. On pose d´esormaisn= 2r+ 1.

d) Montrer quexr=yr. En d´eduire qu’il existe une d´ecomposition depen somme de deux carr´es.

5- a) D´eduire des questions pr´ec´edentes un algorithme permettant de d´ecomposerpen somme de deux carr´es.

b) Donner le plus petit nombre premier sup´erieur `a 40 qui est somme de deux carr´es et, `a l’aide de cet algorithme, en pr´eciser une d´ecomposition (on indiquera les triplets calcul´es aux diff´erentes ´etapes de l’it´eration).

Partie VI : retour au probl` eme initial

1- Soitnetmdeux entiers naturels somme de deux carr´es,n=a2+b2,m=c2+d2. En introduisant les nombres complexesa+ ib et c+ idet en consid´erantn=|a+ ib|2 et m=|c+ id|2, montrer que le produitmn est un entier somme de deux carr´es et en donner explicitement une d´ecomposition en fonction dea, b, cetd.

2- On se propose de d´emontrer, pour tout entiernstrictement positif, la propositionP(n) suivante : P(n) : «tout nombre premier qui divise n2+ 1 est somme de deux carr´es». Pour cela, on proc`ede par r´ecurrence surn.

a) Montrer queP(1),P(2) etP(3) sont vraies.

b) Soitnun entier strictement sup´erieur `a 1. On suppose la propositionP(i) vraie pour tout entieritel que 16i6n−1 et on consid`ere un nombre premierpqui divisen2+ 1.

i) Montrer quepest diff´erent den.

ii) On suppose p < n. Montrer quepdivise (n−p)2+ 1.

iii) On suppose p > net p < n2+ 1. Montrer que les autres diviseurs premiers den2+ 1 sont strictement inf´erieurs `a n. En d´eduire, en discutant selon la parit´e den, quepest congru `a 1 modulo 4.

iv) Montrer quepest somme de deux carr´es.

c) Conclure.

3- a) Poursentier sup´erieur ou ´egal `a 2, on noteps le plus petit diviseur premier du nombre (s!)2+ 1.

Montrer queps> set quepsest somme de deux carr´es.

b) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers somme de deux carr´es.

4- a) Montrer qu’il existe une infinit´e de couples d’entiers (n, k) avec 16k < ntels queL(n, k) soit rationnel.

b) D´eterminer un entierntel qu’il existe plusieurs valeurs dekpour lesquellesL(n, k) est rationnel.

∗ ∗ ∗

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