Topologie, espaces vectoriels normés

Analyse fonctionnelle 1 Master 1 Mathématiques 2009–2010

1.

Topologie, espaces vectoriels normés

TOPOLOGIE GÉNÉRALE

1.1 Soient (E,T) un espace topologique et (Ai)ⁿ_i=1,n∈N, une famille de parties deE. a) Montrer que

◦

ƒⁿ

\

i=1

Ai=

n

\

i=1

A◦i

S’assurer que la propriété est fausse pour une famille dénombrable en donnant un contre- exemple.

b) En déduire que

n

[

i=1

A_i=

n

[

i=1

A_i c) Établir que

◦

ƒⁿ [

i=1

Ai⊃

n

[

i=1

A◦i

S’assurer en donnant un exemple que l’inclusion est stricte en général.

1.2 Soit (E,T) un espace topologique.

a) Pour toute partie A deE et tout ouvertV de E, montrer que A∩V = ; si et seulement si A∩V= ;.

b) SoientU etV deux ouverts tels queU∩V= ;. Déduire de la question précédente que

◦

U∩V =

;puis que

◦

U∩

◦

V = ;.

1.3 Soient (E,T) et (F,T⁰) deux espaces topologiques, f une application deE dansF etxun élément deE. On suppose quex admet une base dénombrable de voisinages. Alors f est continue enxsi et seulement si, pour toute suite (xn)n∈Nconvergente versx, la suite (f(xn))n∈Nconverge vers f(x).

1.4 Montrer qu’un espace topologique (X,T) est séparé si et seulement si pour toutx∈X

\{F:Fvoisinage fermé dex}={x}.

1.5 Soit (E,T) un espace métrisable. Montrer que

a) Toute partie fermée est l’intersection d’une famille dénombrable de parties ouvertes.

b) En déduire que toute partie ouverte est réunion dénombrable de parties fermées.

1.6 SoitT1,T2deux topologies sur un ensembleE. Montrer que siT1⊃T2, alors pour toute partieA, A^T1⊂A^T2 et A^◦

T1

⊃A^◦

T2

.

1.7 Soit (xn)n∈Nune suite de Cauchy dans un espace métrique (X,d). Supposons que, pour toute sous- suite (x_nk),x_nk converge versx_∞quandktend vers l’infini. Montrer quex_ntend versx_∞quandn tend vers l’infini.

1.8 Soit (xn)_n∈Nune suite dans un espace métrique (X,d) etx∈X. Supposons que de toute sous-suite de (xn)n∈N, on peut extraire une sous-suite convergente versx. Montrer qu’alors (xn) converge vers x.

TOPOLOGIE PRODUIT

Soit (Ei,Ti)_i∈I une famille d’espace topologiques. On munit l’espace produit E=Q

i∈IEi de la topo- logie la moine fine rendant continues toutes les projectionspri : E−→Ei. Ceci entraîne qu’une base de la topologie produit est l’ensemble des parties s’écrivantQ

i∈IO_ioù tous lesO_isont des ouverts deE_iet où tous lesOi, sauf un nombre fini, sont égaux àEi (une intersection finie d’ouverts est un ouvert). Seul le cas oùI est infini demande des précautions dans la manipulation de cette topologie produit.

1.9 Montrer qu’un espace topologique, (E,T), est séparé si et seulement si la diagonale∆=©

(x,x),x∈ Eª

est fermé pour la topologie produit.

1.10 Soient (E,T) et (F,T⁰) deux espaces topologiques et f une application continue de E dansF. On suppose de plus queF est séparé. Montrer queΓ=©

(x,f(x)) ;x∈E} est une partie fermé deE×F.

1.11 Soient (Xn,dn)n∈Nune famille dénombrable d’espace métrique. On munitQ

n∈NXn de la topologie produit. Montrer que cette topologie coïncide avec la topologie engendrée par la distance

d(x,y)= X

n∈N

1 2ⁿ

d_n(x_n,y_n) 1+dn(xn,yn).

Pour cela il suffira de montrer que tout voisinage ouvert d’un élément y deQ

n∈NXn contient une boule de centrey et de rayonεpar rapport à la métriqued et réciproquement.

ESPACES VECTORIELS NORMÉS

Sauf mention contraire tous les espaces vectoriels considérées ont pour corps de baseK=RouK=C. 1.12 Rappeler (brièvement) pourquoiKⁿ muni de la norme usuelle est complet.

1.13 Encore un rappel

SoientEetFdeux espaces vectoriels normés. Soitf une application linéaire deEdansF. Démon- trer l’équivalence des propriétés suivantes

(i) f est continue surE. (ii) f est continue en 0.

(iii) f est lipschitzienne, i.e. il existeK>0 tel que pour toutxdansE on akf(x)kF≤KkxkE. 1.14 SoientE un espace vectoriel normé,F un sous-espace vectoriel fermé dansE etGun sous-espace

vectoriel deEde dimension finie. Montrer queF+Gest fermé. [on pourra commencer par montrer que six∉FalorsF+xKest fermé.]

En déduire que tout sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé.

1.15 SoitE un espace vectoriel normé et f une forme linéaire surE. Montrer que f est continue si et seulement si Kerf (le noyau de f) est fermé.

1.16 Conséquences des exercices 1–1.15

a) Une forme linéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie est toujours continue.

b) Toute application linéaire définie d’un espace vectoriel normé de dimension finie dans un autre espace vectoriel normé est continue. [on pourra commencer par le cas où l’espace d’arri- vée est de dimension finie et regarder les applications coordonnées après avoir défini des bases dans chacun des espaces vectoriels]

c) Soit E un espace vectoriel normé quelconque de dimension n. Il existe une application li- néaire bijective et bicontinue entreE etKⁿ (muni de la normek · k∞). [après avoir défini une base deEétudier l’application qui àx=x₁e₁+ · · · +x_ne_n associe le vecteur (x₁, . . . ,x_n)^t.]

d) Dans un espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

e) SiE est un espace vectoriel normé de dimension finie alors il est complet et les compacts de E sont les parties fermées et bornées deE.

REMARQUE Une autre façon d’aboutir à ces résultats est de commencer par montrer que sur un espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalents. Si (E,N) désigne un tel e.v.n. et après avoir défini une base e1, . . . ,en on munit aisémentE d’une normek · k∞. Ensuite on étudie Φde (E,k · k∞) dansRqui à xassocié N(x).Φest continue (N(x)≤C1kxk∞). En utilisant la compacité de la sphère unité S1 de (E,k · k∞), la fonction Φatteint son minimum sur S1, etc, on obtient la majoration kxk∞≤C2N(x). Toute norme est donc équivalente à la normek · k∞définie surE, d’où le résultat.

1.17 Montrer que si la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé est compacte, alors il est de dimension finie. [On montrera que siB₁est recouverte par

p

[

i=1

B(x_i,1

2), alors dim(E)≤p. Pour cela on considère l’espace vectorielMengendré par la famille {x₁,x₂,· · ·,x_p} puis on montre queB₁⊂M+B(0, ¹

2^k), pour toutk∈N–pourquoi pas une récurrence. Déduire queB₁⊂M. Conclure.]

1.18 Montrer qu’un e.v.n. est un espace de Banach si et seulement si toute série normalement conver- gente (c’est-à-dire telle queP

kxnk < +∞) est convergente. [Pour la réciproque, on construira pour toute suite de Cauchy (x_n) une sous-suite (x_nk) de sorte que la série de terme général (x_nk+1−x_nk) soit ab- solument convergente.]

1.19 Montrer que la fermeture d’un sous-espace vectoriel dans un e.v.n. est un espace vectoriel.

1.20 Montrer qu’un sous-espace vectoriel d’un espace de Banach est un espace de Banach si et seule- ment si il est fermé.

1.21 SoitE un e.v.n. etF un sous-espace vectoriel deE.

a) Montrer queF est d’intérieur vide si et seulement siF est un sous-espace strict deE (c’est-à- direF6=E).

b) Donner l’exemple de sous-espaces stricts denses. [On pourra prendre pourEl’espace`¹(N) des suites à valeurs dansKtelles queP

|x_n| < ∞.]

1.22 Produit d’e.v.n.

On rappelle que la topologie naturelle pour le produit E =Q

i∈IE_i d’espaces topologiques est la topologie de la convergence simple (par exemple, une suite (xⁿ) converge dansE si et seulement si chacune de ses composantes (xⁿ_i) converge).

a) Montrer que le produit fini d’e.v.n. est un e.v.n. et que le produit fini d’espaces de Banach est un espace de Banach.

b) Montrer que le produit infini d’e.v.n. (non réduits à {0}) n’est pas un e.v.n., i.e. ne peut être muni d’une norme dont la topologie coïncide avec la topologie produit. [On pourra com- mencer par supposerE=K^N.]

1.23 L’espaceCb(X)

SoitX un espace topologique.

a) Montrer que l’ensemble des fonctions scalaires bornées surX, muni de la norme de la conver- gence uniformekfkB(X)=sup_X|f|, est un espace de Banach.

b) Montrer que l’ensembleCb(X) des fonctions scalaires bornées continues sur X, muni de la norme de la convergence uniforme, est un espace de Banach.

1.24 L’espaceC_b¹(Ω)

On considère un ouvertΩdeRⁿ et on noteC_b¹(Ω) l’espace des fonctions scalaires bornées définies surΩde classeC¹, à dérivées bornées.

kfkC¹_b(Ω)=max¡

supΩ |f|, max

1≤i≤nsup

Ω |∂f

∂xi|¢ . a) Montrer queC_b¹(Ω) est un espace de Banach.

b) Montrer que, lorsqueΩest convexe et borné, une norme équivalente est donnée par kfk =max¡

|f(a)|, max

1≤i≤nsup

Ω |∂f

∂xi|¢ . aveca∈Ωarbitraire.

c) Comment s’étendent les résultats précédents à l’ensembleC_b^k(Ω) des fonctions de classeC^k à derivées d’ordre≤k bornées.

1.25 L’espace`^p(N)

Soita=(an)_n∈Nune suite à valeur dansK. On définit les quantités kak_`^p=¡ X

n∈N|an|^p¢¹_p

(1≤p< ∞), kak_`^∞=sup

n∈N|an|.

On considère les sous-espaces deK^Nsuivants

– l’espace`<sup>p</sup>(N) des suites telle quekak`^p< ∞, muni de la normek · k`<sup>p</sup>; – l’espace`^∞(N) des suites bornées, muni de la normek · k_`^∞;

– l’espacec(N) des suites convergentes, muni de la normek · k<sub>`</sub><sup>∞</sup>; – l’espacec0(N) des suites convergeant vers 0, muni de la normek · k`^∞. a) Écrire les inclusions entre les différents espaces.

b) Montrer que les espaces précédents sont des espaces de Banach. [pour montrer que l’on a bien une norme quand 1<p< +∞, on rappelle l’inégalité de Young :x y≤_p¹x^p+^p_p⁻¹y^p/(p−1). Cette inégalité vient de la convexité de la fonction exponentielle. Grâce à l’inégalité de Young et par somma- tion on obtient l’inégalité de Hölder, etc.]

c) Montrer que`<sup>p</sup>(N) est séparable pour 1≤p< +∞mais que`^∞(N) n’est pas séparable.

d) Montrer que l’ensemblecc(N) des suites nulles à partir d’un certain rang (variable) muni de la normek · k`^∞ est un e.v.n. Est-il complet ?

e) Pour chacun des espaces suivants, construire une suite d’éléments de norme≤1 n’admettant pas de sous-suite convergente.

1.26 L’espaceL^p(X,F,µ)

Soit (X,F,µ) un espace mesuré etp∈[1,+∞[. Montrer que l’espaceL^p(X,F,µ) des (classes d’équi- valence des) fonctions scalaires (égales p.p.) de puissancep-ème intégrable, muni de la norme

kfkL^p(µ)=¡ Z

X|f|^pdµ¢_p¹ ,

est un espace de Banach. [On pourra commencer par supposerp=1 et on montrera que toute série normalement convergente est convergente.]

1.27 L’espaceL^∞(X,F,µ)

Soit (X,F,µ) un espace mesuré. Une fonction scalaire f, définie surX et mesurable, estessentiel- lement bornéesi elle est bornée en dehors d’un ensemble négligeable. On associe alors la quantité

kfkL^∞(µ)=inf{C≥0| |f| ≤Cp.p.}.

Cette quantité est bien sûr inchangée si on remplacef par une fonction égale p.p. On noteL^∞(X,F,µ) l’ensemble des (classes d’équivalence des) fonctions (égales p.p.) essentiellement bornées.

a) Étant donnée une fonction essentiellement bornée f, montrer que le nombrem= kfkL^∞(µ)

est caractérisé par

|f| ≤mp.p. et µ(|f| >m−ε)>0 pour tout ε>0.

b) Montrer qu’une suite (f_n) deL^∞(X,F,µ) converge vers une fonction f (resp. est de Cauchy) si et seulement si il existe une partie négligeableN telle que la suite (fn) converge uniformé- ment surX\N (resp. est de Cauchy pour la norme de la convergence uniforme sur X\N).

c) MontrerL^∞(X,F,µ) est un espace de Banach pour la normek · kL^∞(µ).

APPLICATIONS LINÉAIRES 1.28 Extension d’une application linéaire

SoitF un sous-espace d’un e.v.n.E,G un espace de Banach,u une application linéaire continue deF dansG.

Montrer queus’étend de façon unique en une application linéaire continueu⁰deF dansGet que kukL(F,G)= ku⁰k_L(F,G).

1.29 On associe à une suite (an) à valeurs dansKl’opérateur de multiplication surK^N uax=(a0x0,a1x1, . . . ).

a) Donner une condition nécessaire et suffisante sura pour queua soit continu de`^p(N) dans

`^p(N) (1≤p≤ ∞) et calculer sa norme.

b) Même question pour la continuité de`<sup>p</sup>(N) dans`^r(N) (1≤r<p≤ ∞).

1.30 SoitK un compact deRⁿ. On désigne parC(K), l’espace des fonctions continues deK versC. On considère l’applicationu : C(K)−→Cdéfinie par

f 7−→

Z

K

f(t)d t. Montrer queu est un element du dual topologique deC(K).

1.31 Soit (X,F,µ) un espace mesuré. On note p⁰ l’exposant conjugué dep, 1≤p≤ ∞(défini par 1 p + 1

p⁰ =1). Étant donnég∈L^p0(µ), on définit la forme linéaire surL^p(µ) ug(f)=

Z

X

f g dµ.

a) Lorsquep>1, montrer queug est une forme linéaire continue surL^p(µ) et calculer sa norme.

b) Même question lorsquep=1 en supposant que X est σ-fini(c’est-à-dire est la réunion dé- nombrable d’ensembles de mesure finie).

1.32 Opérateur de Volterra

SoitK∈C([0, 1]²). On définit l’application linéaire deC([0, 1]) dansC([0, 1]) T f(x)=

Z x 0

K(x,y)f(y)d y.

a) Montrer queT est une application linéaire continue.

b) Montrer que l’on a pour toutn∈N kTⁿk_L¡

C([0,1]),C([0,1])¢≤ 1

n!kKkⁿ_C([0,1]2).

c) Montrer que, pour tout f ∈C([0, 1]), la sériePTⁿf converge normalement dansC([0, 1]). Si on noteg=PTⁿf, que vaut (I−T)g?

d) En déduire que l’applicationI−T estinversible(i.e. est un homéomorphisme linéaire).

1.33 Applications bilinéaires SoientE,F,Gtrois e.v.n.

a) Soitb:E×F→Gune application bilinéaire (c’est-à-dire linéaire en chacune de ses variables).

Montrer l’équivalence des assertions suivantes – best continue ;

– best continue en (0, 0) ;

– il existe une constanteC>0 telle que

kb(x,y)kG≤CkxkEkykF, pour tout (x,y)∈E×F.

b) On noteL(E,F;G) l’ensemble des applications bilinéaires continues deE×FdansG. À toute application bilinéaire continue, on associe la quantité

kbkL(E,F;G)=sup{kb(x,y)kG| kxkE≤1,kykF≤1}.

i) Montrer quek · k_L(E,F;G)est une norme surL(E,F;G).

ii) Montrer queL(E,F;G) est un espace de Banach lorsqueGest un espace de Banach.

c) Comment s’étendent ces résultats aux applications multi-linéaires (applications deE1× · · · × En→Glinéaire en chacune des variables) ?

COMPLÉMENTS SUR LA DIMENSION INFINIE

Il est relativement aisé d’exhiber une application linéaire non continue d’un espace vectoriel normé dans un autre. Par exemple siE est l’espace des fonctions continues sur [0, 1], dérivables en 0 et muni de la normekfk∞(la norme n’a rien à voir avec la propriété de dérivabilité en 0) on vérifiera que l’applica- tionϕ(f)=f⁰(0) n’est pas continue. Il suffit de regarder les fonctions fn affines valantnxsur [0, 1/n] et 1 sur [1/n, 1]. En dimension infinie on doit utiliser le lemme de Zorn ou une de ces conséquences : l’exis- tence d’une base algébrique ou base de Hamel. Une base de Hamel est une famille de vecteur (ei)_i∈I tel que tout élémentxdeEs’écrit de manière unique comme combinaison linéaire –finie– de vecteursei. 1.34 Une forme linéaire non continue

Soit E un espace vectoriel normé de dimension infinie et soit (ei)_i∈I une base de Hamel de E.

On extrait de cette famille une famille dénombrable de vecteurs (a_k)_k∈N –distincts deux à deux.

Comme (e_i)_i∈I est une base de Hamel deE pour définir une application linéaire deE dansK il suffit de définir ϕ(ei) pour tout i ∈I –s’en persuader. Pour tout k∈N posons ϕ(ak)=αk ∈Ket ϕ(ei)=0 siei∉{a_k;k∈N}. Comment choisir lesαk de façon à ce queϕne soit pas continue.

1.35 Une réciproque

Soit E un espace vectoriel normé tel que deux normes quelconques sur E soient toujours équi- valentes. Soitk · kE une norme quelconque surE et soit f une forme linéaire surE. Montrer que kxkE+ |f(x)|est une norme surE. En déduire queEest de dimension finie.

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2.

Convexité, théorèmes de Hahn-Banach

FORME ANALYTIQUE DU THÉORÈME DEHAHN-BANACH

2.1 Théorème de Hahn-Banach dans un espace de Hilbert

On donne une démonstration directe du théorème de Hahn-Banach dans un espace de Hilbert, basé sur le théorème de Riesz. SoientHun espace de Hilbert,M un sous-espace vectoriel deHet

f une forme linéaire continue surM.

a) Montrer qu’il existe une forme linéaire f surM prolongeantf de normekfk_M⁰= kfkM⁰. b) Montrer qu’il existey∈M tel que f =(y,·) surM aveckykH= kfkM⁰.

c) Construire une extension continue fede f àHde normekfekH⁰= kfkM⁰. d) Montrer l’unicité d’une telle extension.

2.2 SoientEun e.v.n.,Fun sous-espace vectoriel etXun ensemble quelconque. On noteB(X) l’espace de Banach des fonctions scalaires bornées muni de la norme de la convergence uniforme.

Montrer que toute application linéaire continueΦdeF dansB(X) s’étend en une application li- néaire continueΦe deE dansB(X) aveckΦke L(E,B(X))= kΦkL(M,B(X)).

2.3 SoientE un e.v.n.,M un espace vectoriel deE etx∈E.

a) Montrer qu’il existe une forme linéaire continue f surN =M+Kx de norme≤1 telle que f(x)=d(x,M) et f =0 surM. [On distinguera les casx∈Metx6∈M.]

b) En déduire qu’il existe une forme linéaire continue surE avec les propriétés ci-dessus.

c) Comment choisir l’extension de f lorsqueE est un espace de Hilbert ?

2.4 SoientE un e.v.n. etE⁰son dual. Pour toutx⁰∈E⁰, on a, par définition de la norme duale, l’identité kx⁰kE⁰= sup

kxkE≤1|〈x⁰,x〉|.

On va montrer que la borne supérieure n’est pas atteinte en général lorsqueE=L¹([0, 1]), c’est-à- direE⁰=L^∞([0, 1]).

On fixe une fonction f ∈L^∞([0, 1]) non nulle.

a) Montrer que la borne supérieure est atteinte lorsque l’ensemble A={|f| = kfkL^∞} est de me- sure>0.

b) Réciproquement, on suppose qu’il existeg∈L¹([0, 1]) tel quekgkL¹=1 et| Z

f g| = kfkL^∞. i) Pour toutε>0, on poseB_ε={|f| < kfkL^∞−ε}. Montrer que

Z

B_ε|g| =0.

ii) En déduire queAest de mesure>0.

c) Que peut-on conclure pour f(x)=x?

ENSEMBLES CONVEXES, FORME GÉOMÉTRIQUE DU THÉORÈME DE HAHN-BANACH

2.5 Exemple en dimension infinie de deux ensembles convexes disjoints non séparés au sens large Dans l’espace`<sup>1</sup>=`¹(N^∗) on considère les ensembles

A₀=©

x=(x_n)_n≥1∈`¹;x_2n=0,∀n≥1ª

et B=©

x=(x_n)_n≥1;x_2n=2⁻ⁿx_2n−1,∀n≥1ª . a) Montrer que A0etBsont des s.e.v. fermés dans`<sup>1</sup>et queA0+B est dense dans`¹.

b) Soitc∈`¹tel quec2n−1=0 etc2n=2⁻ⁿ. Montrer quec∉A₀+Bet que, pourA^def= A₀−c,A∩B est vide. Démontrer queA etBne peuvent être séparés au sens large.

2.6 Opérations sur les ensembles

SoitE un espace vectoriel. Étant donnés deux ensembles A etB deE etλ∈K, on définit les en- sembles

A+B={a+b|(a,b)∈A×B}, λA={λa|a∈A}, A−B=A+(−B).

a) Dessiner dansR²les ensembles ainsi obtenus. [Commencer par le cas oùBest un singleton.]

b) Soientsett deux réels>0. Montrer que (s+t)A⊂s A+t A, mais que l’inclusion est stricte en général.

c) Montrer que A est convexe si et seulement si, pour tous réelss>0 et t>0, on a s A+t A= (s+t)A.

d) Montrer que si AetBsont convexes, A+B est convexe.

2.7 Opérations sur les ensembles (suite) SoitEun e.v.n.

a) Montrer que si AouBest ouvert, alors A+B est ouvert.

b) Montrer que si AetBsont compacts, alors A+Best compact.

c) Montrer que si Aest fermé etBest compact, alorsA+Best fermé.

d) Montrer que la somme de deux fermés n’est pas fermé en général. [Considérer dansR²les ensemblesA=R×{0} etB={(x,e^x)|x∈R}.]

2.8 SoitE un e.v.n.

a) Montrer que l’adhérence d’un ensemble convexe est un ensemble convexe.

b) Soit Aune partie convexe. Montrer que, pour touta∈int (A) et toutb∈A, on a [a,b[∈int (A) (avec [a,b[={(1−t)a+t b|0≤t<1}). [On pourra commencer par supposerb∈A.]

c) Montrer que l’intérieur d’un ensemble convexe est un ensemble convexe.

d) Montrer que, pour toute partie convexe d’intérieur non vide, on a intA=A.

2.9 Montrer qu’un hyperplan affine dans un e.v.s.n. est fermé ou dense. [On se ramènera par translation au cas d’un hyperplan vectorielF d’un espace vectorielE. En fixantx∈E\F, on distinguera les casx∈F et x6∈F.]

2.10 SoitE unR-e.v.n. Par définition, un demi-espace fermé deE est un ensemble de la forme {f ≤α} pour f ∈E⁰ etα∈R.

a) Montrer qu’un demi-espace fermé est un ensemble convexe fermé.

b) Montrer que tout ensemble convexe fermé est l’intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent.

2.11 Enveloppe convexe

SoitEun espace vectoriel etAune partie deE. On appelle convAl’intersection de toutes les parties convexes contenantA.

a) Montrer que convAest le plus petit ensemble convexe contenant A.

b) Montrer qu’une partieB est convexe si et seulement si elle contient toutes les combinaisons convexes de ses éléments, c’est-à-dire si et seulement si pour tous (t_i)_i=1,...,n, (x_i)_i=1,...,n véri- fiantti≥0,xi∈A,Pn

i=1ti=1, on aPn

i=1tixi∈A.

c) Montrer que l’enveloppe convexe de A est l’ensemble des combinaisons convexes des élé- ments deA, c’est à dire

convA={ Xn i=1

t_ix_i|t_i≥0,x_i∈A,X t_i=1}.

2.12 Enveloppe convexe fermée

SoitE unR-e.v.n. etA une partie deE. L’adhérence de l’enveloppe convexe de Aest appelée enve- loppe convexe fermée deA et est notée convA.

a) Montrer que convAest le plus petit ensemble convexe fermé contenantAet est l’intersection de tous les ensembles convexes fermés contenantA.

b) Montrer que convAest l’intersection de tous les demi-espaces fermés contenant A [Utiliser 2.10.]

c) On suppose queEest un espace de Banach. On veut montrer que l’enveloppe convexe fermée d’une partie compacte Aest compacte.

i) Montrer que l’enveloppe convexe d’un nombre fini de points est compact. [On montrera que conv{x₁, . . . ,x_n} est l’image d’un compact par une application continue.]

ii) En déduire que convAest précompact.

iii) Conclure.

2.13 Polarité

SoitE unR-e.v.n. de dualE⁰. On définit lepolaired’un ensembleAdeE, resp. d’un ensembleBde E⁰, par

A^◦={x⁰∈E⁰|sup

x∈A〈x⁰,x〉 ≤1}, B^◦={x∈E|sup

x⁰∈B〈x,x⁰〉 ≤1}.

a) Étant donnés deux ensembles A deE etB de E⁰ resp., montrer que A^◦ et B^◦ sont des en- sembles convexes fermés contenant 0 deE⁰etEresp.

b) Lorsque Aest un ensemble convexe fermé contenant 0, montrer que (A^◦)^◦=A.

c) Montrer que (A^◦)^◦est l’enveloppe convexe fermée deA∪{0}. [On montrera que siA₁⊂A₂, on a (A^◦₁)^◦⊂(A^◦₂)^◦]

2.14 Soit 1<p< +∞et soita∈Rtel que 0< |a| <1. Pourn∈N^∗on définit fn=(a^kn)_k≥1, ce qui donne une famille de suites. Montrer que fn∈`<sup>p</sup>(R) pour toutn∈N<sup>∗</sup>et que l’ensemble des combinaisons linéaires finies des fn est dense dans`^p.

2.15 a) Pourquoi existe-t-il une forme linéaire continue non nulle sur`^∞, nulle surc0?

b) En déduire que le plongement canonique de`<sup>1</sup>dans (`^∞)⁰(si (u_n)_n∈N∈`<sup>1</sup>on associe l’appli- cation qui àv∈`^∞donneP

n∈Nvnun) est non surjectif.

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3.

Baire, Banach-Steinhaus et Cie

THÉORÈME DEBAIRE

3.1 Les ensemblesQetR\Qsont-ils maigres dansR? [un ensemble est dit maigre s’il est inclus dans une réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide]

3.2 a) SoitE un espace topologique,F un espace métrique et f une fonction deE dansF. On va montrer que l’ensemble des points de continuité de f est une intersection dénombrable d’ou- verts.

i) Pour toutn∈N^∗, on pose

Un={x∈E| ∃V ∈Vx,∀(y,z)∈V×V d¡

f(y),f(z)¢

≤1 n}.

Montrer queUn est un ouvert.

ii) Montrer que l’ensemble des points de continuité de f estU=TUn.

b) i) Montrer qu’il n’existe pas de fonction deR dansRdont les points de continuité soitQ exactement.

ii) Montrer que la fonction définie par

f(x)=0 si x∈R\Q, f(x)= 1

q si x=p

q (fraction irréductible) admetR\Qcomme point de continuité exactement.

3.3 SoitE un espace de Baire.

a) Montrer que tout ouvert deE est un espace de Baire.

b) Soit (Fn) une suite de fermés recouvrantE. i) Montrer qu’il existentel que int(Fn)6= ;.

ii) Montrer queSint(Fn) est un ouvert dense. [En utilisant les questions précédentes, on mon- trera que, pour tout ouvert non videU, il existentel que int(F_n) coupeU.]

THÉORÈME DEBANACH-STEINHAUS

Le théorème de Banach-Steinhaus est aussi appelé « Principle of Uniform Boundedness » et il est remarquable que des estimations ponctuelles donnent une estimation uniforme. Le résultat reste vrai avecE Banach etF espace vectoriel normé : ce qui compte est que l’espace de départ ait la propriété de Baire.

3.4 Une autre forme du théorème de Banach-Steinhaus

SoientE un espace de Banach etF un e.v.n. Soit (Ti) une famille d’applications linéaires continues deE dansFtelle que sup

i∈I kT_ikL(E,F)= +∞.

Montrer que l’ensemble {x∈E|sup_i∈IkTixkF< +∞} est un sous-espace vectoriel maigre.

3.5 Soient E et F deux espaces de Banach. On dit qu’une partie B deE est totale si l’adhérence de l’espace vectoriel engendré parBestE.

Soit (Tn) une suite d’applications linéaires continues deE dansF. Montrer que les assertions sui- vantes sont équivalentes.

– (Tnx) converge pour toutx∈E,

– (Tny) converge pour touty d’une partie totale et sup

n kTnkL(E,F)< +∞.

3.6 Contre-exemples

a) SoientE=R[X] muni de la norme donnée par le sup des coefficients. On considère, pour tout n∈N,Tndéfinie parTn(P)=P⁽ⁿ⁾(0).

b) Soit E =C¹([0, 1],R) muni de la normekfk∞=sup_[0,1]|f|. On considère pour tout h∈]0, 1[

l’applicationT_hdéfinie parT_h(f)= ^f(h)−_h^f(0).

3.7 SoientE un espace de Banach,F un e.v.n. et (fn) une suite d’applications linéaires continues de E dansF convergeant simplement vers une fonction f. Montrer que, pour toute suite (xn) de E convergeant versx, on afn(xn)→f(x). [utiliser Banach-Steinhaus et la décompositionf_n(x_n)−f(x)=

fn(xn)−fn(x)+fn(x)−f(x)]

3.8 Applications bilinéaires

Soient E un espace de Banach, F etG deux e.v.n. et b une application bilinéaire de E×F dans G. D’après l’exercice1.33 l’application b est continue si et seulement l’une des trois conditions équivalentes est vérifiées :

– best continue ;

– best continue en (0, 0) ;

– il existe une constanteC>0 telle que

kb(x,y)kG≤CkxkEkykF, pour tout (x,y)∈E×F.

Dans le cas d’applications non linéaires on doit se souvenir que la continuité par rapport à chaque variable n’est pas suffisante pour avoir la continuité. Dans le cas des applications linéaires (évident en dimension finie) le but de cet exercice est de montrer que siEouF est un Banach alors cela est suffisant.

Montrer queb est continue si et seulement si elle est continue par rapport à chacune de ses va- riables (c’est-à-dire si les applications partiellesb(x,·) (x∈E) etb(·,y) (y∈F) sont continues). [On utilisera par exemple l’applicationb(·,yn) qui est linéaire, continue deEdansGet l’exercice3.7.]

3.9 Montrer qu’il n’existe pas de norme sur l’espace vectoriel des polynômesK[X] qui lui donne une structure d’espace de Banach. [On montrera queK[X] ne peut pas être un espace de Baire.] D’une façon générale on démontre que siE est un Banach alors toute base de Hamel (base algébrique) est finie ou non dénombrable.

3.10 Soit 1≤p≤ +∞. On rappelle que, pour touta∈`<sup>q</sup>(N) (avecq exposant conjugué dep), la forme linéaire sur`^p(N) définie parTax=X

n

anxnest continue aveckTak(`<sup>p</sup>)<sup>0</sup>= kak<sub>`</sub>^q. Soitb=(b_n)_n∈Nune suite surKtelle que, pour toutx∈`^p, la sérieP

nb_nx_n converge. Montrer que b∈`^q.

3.11 Matrices infinies

Soit (a_mn)_(m,n)∈N×Nune matrice infinie vérifiantX

n |a_mn| < ∞pour toutm∈N. On associe l’opéra- teur défini sur`^∞(N) par y=Ax avecym=P

namnxn. On rappelle quec(N), resp.c0(N), désigne l’espace de Banach des suites convergentes, resp. convergeant vers 0.

a) On veut montrer queA est un endomorphisme continu dec₀(N) si et seulement si les condi- tions suivantes sont satisfaites

mlim→∞a_mn=0 pour tout n∈N, sup

m

X|a_mn| < +∞. i) Montrer que les conditions sont suffisantes.

ii) Montrer qu’elles sont nécessaires.

b) Montrer queAest un endomorphisme continuc(N) tel que lim(Ax)n=limxnsi et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites

m→∞lim amn=0 pour tout n∈N, sup

m

X

n

|amn| < +∞, lim

m→∞

X

n

amn=1.

3.12 Séries de Fourier

On considère les ensemblesCper(R) des fonctions complexes continues 2π-périodiques etL^p_per(R) (1≤p< ∞) l’ensemble des fonctions boréliennes 2π-périodiques telles que

kfk^p_L^p

per(R)= 1 2π

Z _π

−π|f(t)|^pd t< +∞.

Ce sont des espaces de Banach. De plus,Cper(R) est dense dansL^p_per(R). À f ∈L¹_per(R), on associe sa série de Fourier partielle ent∈R

S^t_n(f)=Sn(f)(t)=

n

X

k=−n

c_k(f)e^{i kt}, c_k(f)= 1 2π

Z _π

−πe^{−i ks}f(s)d s, k∈Z.

On rappelle que, pour tout f ∈L²_per(R),S_n(f) converge vers f dansL²_per(R). On va montrer que ce résultat est faux dansCper(R). On fixet∈R.

a) Vérifier que, pour tout f ∈L¹_per(R), on a S_n^t(f)= 1

2π Z _π

−πf(s)Dn(t−s)d s oùD_ndésigne le noyau de Dirichlet

D_n(t)=

n

X

k=−n

e^{i kt}= sin³

¡n+¹₂¢ t´ sin

µt 2

¶ .

b) Montrer queS_n^t est une forme linéaire continue surCper(R) et quekS^t_nkC_per(R)⁰≤ kDnkL¹_per(R). c) Montrer quekS_n^tkCper(R)⁰= kD_nkL¹_per(R). [On poserag(s)=sgn¡

D(t−s)¢

et on vérifiera que la den- sité deC_per(R) dansL¹_per(R) implique l’existence d’une suite de fonctions continues (g_k) avec|g_k| ≤1 etkg_k−gkL¹_per(R)→0.]

d) Montrer qu’il existe une constantec>0 telle quekD_nkL¹_per(R)≥c

n

X

k=1

1 k.

e) En déduire que l’ensemble des fonctions continues dont la série de Fourier ne converge pas simplement est dense dansC_per(R). [Utiliser3.4]

THÉORÈMES DE L’APPLICATION OUVERTE ET DU GRAPHE FERMÉ

3.13 Soitk·k1etk·k2deux normes faisant de l’espace vectorielEun espace de Banach. On suppose qu’il existe une constantec>0 telle que pour toutx∈E,kxk2≤ckxk1. Montrer que les normesk · k1et k·k2sont équivalentes. [considérer l’application identité et utiliser le théorème de l’application ouverte]

3.14 Théorème de Hellinger-Toeplitz

Soit H un espace de Hilbert etT un endomorphisme symétrique de H, i.e. un endomorphisme vérifiant (T x,y)=(x,T y) pour tousx, y deH. Montrer queT est continu. [on pourra utiliser le théorème du graphe fermé en jouant avec la propriété vérifiée parT]

3.15 SoientE etF deux espaces de Banach,T une application linéaire deE dansF. Montrer queT est continue si et seulement si, pour tout y⁰∈F⁰, on a y⁰◦T∈E⁰.

Refaire l’exercice3.14avec ce résultat et le théorème de Riesz.

3.16 Extrait de l’examen de septembre 2008

Soient E un espace de Banach etE⁰ son espace dual topologique. On considère une application linéaireT deE dansE⁰ telle que

∀x∈E, ¡ f(x)¢

(x)≥0;

a) On considère une suite (x_n)_n∈NdeEtelle que la suite des couples¡

x_nT(x_n)¢

n∈Nconverge vers (x,f) dans l’espace produitE×E⁰(E⁰ est muni de la topologie forte). Poury quelconque dans E, calculer la limite de la suite¡

T(xn)−T(yn)¢

(xn−y).

b) Déduire que la question a) que l’on a

∀y∈E, f(x−y)≥¡ T(y)¢

(x−y).

c) En utilisant les questions a) et b) et le théorème du graphe fermé, conclure que T est une application continue deE dansE⁰.

3.17 Supplémentaires topologiques

Soit E un espace de Banach. On dit qu’un sous-espace vectoriel ferméF deE admet un supplé- mentaire topologiqueGsiGest un sous-espace vectorielferméen somme directe avecF.

a) Montrer que F admet un supplémentaire topologiqueG si et seulement si l’application li- néaire (y,z)7→y+zdeF×GdansE est un isomorphisme (bicontinu).

b) Montrer queF admet un supplémentaire topologique si et seulement si il existe une projec- tion continue surF (c’est-à-dire une applicationP∈L(E) d’imageF telle queP²=P).

3.18 Soit (X,F,µ) un espace mesuré avecµmesure positiveσ-finie.

a) On suppose qu’il existe 1≤p<q≤ ∞tel queL^q(µ)⊂L^p(µ). Montrer qu’il existe une constante C>0 telle quekfkL^p(µ)≤CkfkL^q(µ)pour tout f ∈L^q(µ). [On montrera la continuité de l’injec- tion deL^q(µ) dansL^p(µ).]

b) En déduire que les assertions suivantes sont équivalentes – il existe 1≤p<q≤ ∞tel queL^q(µ)⊂L^p(µ).

– µ(X)< +∞.

– pour tous 1≤p<q≤ ∞, on aL^q(µ)⊂L^p(µ).

3.19 Soit (X,F,µ) un espace mesuré avecµmesure positiveσ-finie. À une fonctionψ∈L^∞(µ), on asso- cie l’opérateur de multiplication parψdéfini deL²(µ) dansL²(µ) parM_ψf =ψf, f ∈L²(µ).

a) Montrer queM_ψest continue aveckM_ψk = kψkL^∞.

b) Montrer queM_ψest surjective si et seulement si elle est bijective.

c) Montrer qu’une fonction ϕ∈L^∞(µ) est positive p.p. si et seulement si, pour toute fonction positive f ∈L¹(µ), on aR

fϕdµ≥0.

d) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :M_ψest surjective ;M_ψest un isomor- phisme ; il existe une constantec>0 telle que|ψ| ≥cp.p.

3.20 SoientE etF deux espaces de Banach.

a) On dit qu’une application linéaire continue T ∈L(E,F) est presque surjective s’il existe des constantes 0≤r<1 etM>0 telles que

∀y∈F,∃x∈E, kT(x)−yk ≤rkyk et kxk ≤Mkyk =MkT(x)k.

Montrer qu’une application presque surjective est surjective. [On procèdera comme dans la preuve du théorème de l’application ouverte en construisant par récurrence une suite (x_n) telle que kT(x₀)+ · · · +T(x_n)−yk ≤rⁿ⁺¹kyketkx_nk ≤M rⁿkyk]

b) En déduire que l’ensemble des applications surjectives deL(E,F) est un ouvert deL(E,F).

3.21 Séries de Fourier (suite)

On garde les notations de l’exercice3.12. On rappelle que l’ensemble des fonctions continues pé- riodiques est dense dansL¹_per(R).

a) Lemme de Riemann-Lebesgue.

i) Montrer que l’ensemble des polynômes trigonométriques (c’est-à-dire l’espace vectoriel engendré par {e^{i kt}|k∈Z}) est dense dansL¹_per(R).

ii) En déduire que, pour tout f ∈L¹_per(R), on a lim_|n|→∞cn(f)=0.

b) On noteT l’application linéaire deL¹_per(R) dansc0(Z) qui à une fonction intégrable f associe ses coefficients de Fourier¡

cn(f)¢

n∈Z.

i) Montrer queT est continue aveckTk ≤1.

ii) Soit f une fonction f ∈L¹_per(R) vérifiantR_π

−πf(t)g(t)d t=0 pour tout polynôme trigono- métriqueg. Montrer que f est nulle p.p.

iii) En déduire queT est injective.

iv) Pournfixé, on rappelle que le noyau de DirichletDn(t)=

n

X

k=−n

e^{i kt}= sin³¡

n+¹₂¢ t´ sin

µt 2

¶ vérifie kDnk_L¹_per(R)→ +∞. Montrer queT n’est pas surjective.

3.22 SoitE un espace de Banach et soientGetLdeux sous espaces vectoriels fermés tels queG+Lest fermé. Montrer qu’il existe une constantC≥0 telle que

toutz∈G+Ladmet une décomposition de la forme z=x+y avec x∈G, y∈L, kxk ≤Ckzk,kyk ≤ kzk.

[considérer l’espace produitG×LetT deG×LdansG+Lla surjection canonique et appliquer le théorème de l’application ouverte]

Analyse fonctionnelle 1 Master 1 Mathématiques 2009–2010

4.

Topologies faibles

SÉPARABILITÉ

4.1 Séparabilité

On rappelle qu’un espace métrique estséparables’il admet un ensemble dénombrable dense.

a) Montrer qu’un espace métrique est séparable si et seulement si sa topologie admet une base dénombrable (c’est-à-dire que tout ouvert est la réunion d’une famille dénombrable d’ou- verts).

b) Montrer qu’une partie d’un espace métrique séparable est séparable.

c) Une partieD d’un e.v.n.E esttotale si l’espace vectoriel qu’elle engendre est dense dansE.

Montrer qu’un e.v.n. est séparable si et seulement si il admet une famille totale dénombrable.

4.2 On veut montrer qu’un e.v.n.E dont le dualE⁰ est séparable est séparable.

a) Soit (x_n⁰) une suite dense dansB_E0. Montrer qu’il existex_n∈B_E tel que|〈x⁰_n,x_n〉| ≥¹₂kx_n⁰k.

b) On poseD={xn|n∈N}. Montrer que, pour toutx⁰∈D^⊥, on akx⁰−x⁰_nk ≥¹₂kx⁰nk.

c) En déduire queD^⊥={0} et queDest dense dansE. 4.3 Séparabilité des espaces`^p

On garde les notations de l’exercice1.25.

a) Montrer que les espaces`^p(1<p< ∞),c(des suites convergentes),c0(des suites convergeant vers 0) sont séparables. [On utilisera l’exercice4.1.]

b) Montrer que`^∞n’est pas séparable. [On notera que, pour tous élements distinctsa6=bde {0, 1}^N, on aka−bk∞=1.]

ESPACES RÉFLEXIFS

4.4 Espaces réflexifs

Soit E un espace de Banach. Lebidual E⁰⁰=(E⁰)⁰ est le dual du dualE⁰ deE. C’est un espace de Banach. On définit canoniquement une application J :E →E⁰⁰ où J(x)∈E⁰⁰ est la forme linéaire continue surE⁰donnée par〈J(x),x⁰〉E⁰⁰×E⁰= 〈x,x⁰〉E×E⁰.

a) Montrer queJ est une application linéaire isométrique deE dansE⁰⁰.

b) Montrer que J(E) est un sous-espace vectoriel fermé deE⁰⁰. LorsqueJ est un isomorphisme, on dit queE estréflexif.

c) Montrer qu’un espace de Hilbert est réflexif. [On pourra supposerH réel pour simplifier et on écriraJen fonction de l’isomorphisme de Rieszσ:H→H⁰donné parσx=(·,x).]

d) Montrer que, dans un espace réflexif, les topologies faibles et∗-faibles coïncident (c’est-à-dire queJ est un homéomorphisme de¡

E,σ(E,E⁰)¢ dans¡

E⁰⁰,σ(E⁰⁰,E⁰)¢ ).