A407 ‒ Récoltes de racines

A407 ‒ Récoltes de racines

Pendant que Puce écrit sur trois colonnes les entiers naturels consécutifs 1,2,3,.... , puis les parties entières par défaut des racines carrées de ces entiers et enfin le cumul correspondant de ces parties entières, Zig de son côté fait de même avec les parties entières par défaut des racines cubiques de ces entiers.

Q₁ Au bout de quelques minutes, Puce s’arrête à l’entier m. Zig qui est beaucoup plus rapide a écrit exactement cinq fois plus de lignes et le cumul de ses parties entières est exactement cinq fois plus grand que celui de Puce. Déterminer m.

Q₂ En admettant que Puce et Zig poursuivent leurs calculs "ad vitam aeternam", démontrer que pour chacun d’eux il existe une infinité d’entiers tels que le cumul correspondant des parties entières des racines carrées (Puce) ou des racines cubiques (Zig) est un multiple de ces entiers.

Solution proposée par Patrick Gordon Q₁

Quand Puce a écrit 1 ligne, Zig en a écrit 5.

Le cumul des parties entières de Puce est 1.

Le cumul des parties entières de Zig est 5.

m = 1 est donc une solution. Pour le cas où elle devrait être écartée en tant que solution triviale (ou parce que, si lent que soit Puce, il aura écrit plus d’une ligne « au bout de quelques minutes »), poursuivons.

Plus généralement, soient n et k ≥ 0, tels que¹ : n³ ≤ m = n³ + k < (n+1)³

Notons que n n’est autre que la partie entière de la racine cubique de m Calculons c(m), somme des cubes des parties entières jusqu’à m inclus.

Jusqu’à n³−1 inclus, la somme vaut :

1 (2³ – 1) + 2 (3³ – 2³) + … + (n−1) (n³ – (n-1)³)

soit :

−1 − 2³ – 3³ – (n-1)³ + (n−1) n³ = (n−1) n³ – n²(n−1)²/4

Exemple m = 63, n = 4

c(63) = 3  64 – 12²/4 = 156

Dans la tranche qui commence à n³, il y a (k+1) termes dont la partie entière de la racine cubique vaut n (si k

= 0, il y a le seul terme n³). Soit donc à ajouter (k+1)n et l’on obtient : c(m) = (n−1) n³ – n²(n−1)²/4 + (k+1)n

Exemple m = 65, n = 4, k = 1

1 Nous nous apercevons in fine que, à partir d’ici dans tout ce texte, il y a une interversion des notations par rapport à l’énoncé : m désigne ici le nombre de lignes écrites par Zig et c(m) le cumul des parties entières des racines cubiques.

c(65) = 3  64 – 12²/4 + 24 = 164

À noter que l’on peut aussi exprimer c(m) en fonction, non pas de n et k, mais de m et n.

On trouve :

c(m) = (m+1)n – [n(n+1)/2]²

Calculons maintenant q(m’), somme des carrés des parties entières jusqu’à m’ inclus.

Soient n’ et k’ ≥ 0, tels que : n’² ≤ m’ = n’² + k’ < (n’+1)²

Notons que n’ n’est autre que la partie entière de la racine carrée de m’.

Jusqu’à n’²−1 inclus, la somme vaut :

1 (2² – 1) + 2 (3² – 2²) + … + (n’−1) (n’² – (n’-1)²) soit :

−1 – 2² – 3² – (n’-1)² + (n’−1) n’² = (n’−1) n’² – (n’−1) n’ (2n’−1)/6

Dans la tranche qui commence à n’², il y a (k’+1) termes dont la partie entière de la racine carrée vaut n’.

Soit donc à ajouter (k’+1)n’ et l’on obtient :

q(m’) = (n’−1) n’² – (n’−1) n’ (2n’−1)/6 + (k’+1)n’.

Exemple m’ = 65, n’ = 8, k’ = 1

q(65) = 7  8² – 7  8  15/ 6 + 2  8 = 164.

Comme pour c(m), on peut aussi exprimer q(m’) en fonction, non pas de n’ et k’, mais de m’ et n’.

On trouve :

q(m’) = n’m’ – n’ (n’ – 1) (2n’ + 5) /6

Résumons :

c(m) = n (m+1) – [n(n+1)/2]²

q(m’) = n’m’ – n’ (n’ – 1) (2n’ + 5) /6 Nous cherchons m tel que :

m = 5 m’

c(m) = 5 q(m’)

Pour cette seule recherche, ces formules ne sont pas indispensables.

Il est possible, en effet, de chercher au moyen d’un tableur. On remarque qu’il faut à tout le moins que m et c(m) soient divisibles par 5, ce qui permet un dégrossissage.

On constate que, outre m = 5, vu ci-dessus, cette première condition nécessaire est satisfaite pour m = tous les multiples de 5 de 125 à 300 au moins.

La condition complète est satisfaite pour :

m’ = 41 q(m’) = 161 m = 205 c(m) = 805

Q1 (unicité de la solution non triviale)

On rappelle :

1) c(m) = nm + n – [n(n+1)/2]²

2) q(m’) = n’m’ – n’ (n’ – 1) (2n’ + 5) /6 On veut que :

m = 5m’

c(m) = 5q(m’)

soit :

c(m)/m = q(m’)/m’

Dans un graphique avec m et m’ en abscisse et c et q en ordonnée, les points C (représentant les cubes) et Q (représentant les carrés) sont donc alignés sur une droite passant par l’origine.

Or tant c(m) que q(m’) sont des fonctions strictement croissantes et convexes passant par l’origine (en effet, c(0) et q(0), non utilisés, valent 0) et donc une droite passant par l’origine ne les coupe chacune qu’en un point au plus.

Pourquoi convexes ? Parce que tant c(m)/m que q(m’)/m’sont des fonctions non décroissantes.

En effet, comme : n³ ≤ m < (n+1)³

on peut minorer le numérateur c(m) en remplaçant m par n³ et majorer le dénominateur m en remplaçant m par (n+1)³

c(m)/m est alors minoré par :

(n⁴ + n – [n(n+1)/2]²) / (n+1)³ soit encore :

(4n⁴ + 4n – ( n⁴ + 2 n³ + n²))/ 4(n+1)³ = (3n⁴ – 2 n³ − n² + 4n) / 4(n+1)³

Or on montre aisément, en calculant les différences finies − ce qui est formellement équivalent à dériver cette fonction comme si n était une variable continue − que cette fonction de n est non décroissante.

On procède de même avec q(m’).

La donnée de m détermine le point C, donc la droite sécante passant par l’origine, donc le point Q, donc la valeur de m’ donc le rapport m/m’.

Q2

On peut, là encore, dégrossir au moyen d’un tableur en calculant les ratios c(m)/m et q(m’)/m’.

Ce sont des fonctions croissantes à partir du moment où n ou n’ >1. Il en résulte que, si une valeur de ces ratios est « sautée », cette valeur n’est pas possible.

En allant jusqu'à 2000, on constate que :

q(m’)/m’ prend les valeurs 1, 2, 3, 6, 10, 14, 18 c(m) / m prend les valeurs 1, 2, 3, 6, 7, 9

On peut tenter de revenir aux formules explicites ci-dessus :

1) c(m) = n (m+1) – [n(n+1)/2]²

2) q(m’) = n’m’ – n’ (n’ – 1) (2n’ + 5) /6

 cas des cumuls des parties entières des racines carrées Commençons par un cas particulier. Si n’ = 3, (2) s’écrit :

q(m’) = 3m’ – 11

Dire que q(m’) est divisible par m’, c’est dire qu’il existe d tel que : q(m’) = 3m’ – 11 = dm’

c’est-à-dire :

(3 – d) m’ = 11

Or, pour n’ = 3, on a : 9 ≤ m’ ≤ 15, donc m’ = 11 et d = 2 est solution.

Plus généralement, pour que q(m’) soit divisible par m’, il faut et il suffit que n’(n’–1) (2n’+5) le soit et que :

n’² ≤ m’ < (n’+1)²

Le tableur suggère que (outre n’ = 1 ou 5) ce pourrait être le cas pour n’ = tout multiple impair de 3.

Faisons donc n’ = 3(2p+1) dans (2). Il vient :

q(m’) = 3(2p+1) m’ – (2p+1) (3p+1) (12p+11)

Supposons que la solution soit m’ = (3p+1) (12p+11) = 36p² + 45p + 11.

On aurait alors :

q(m’) = 3(2p+1) (3p+1) (12p+11) – (2p+1) (3p+1) (12p+11) = 2(2p+1)m’

donc q(m’) multiple de m’

Comme, par ailleurs :

n’² = 9(2p+1)² = 36p² + 36p + 9 (n’+1)² = (6p + 4)² = 36p² + 48p + 16, on a bien, quel que soit p :

n’² ≤ m’ < (n’+1)²

Ainsi, pour toute valeur de n’ = 3(2p+1), la valeur m’ = (3p+1) (12p+11) donne une valeur entière du rapport q(m’) / m’.

Il existe donc une infinité d’entiers m’ tels que le cumul correspondant q(m’) des parties entières des racines carrées est un multiple de ces entiers.

 cas des cumuls des parties entières des racines cubiques Commençons par un cas particulier. Si n = 4,

1) c(m) = n (m+1) – [n(n+1)/2]² s’écrit :

c(m) = 4 (m+1) – 10² = 4m – 96

Dire que c(m) est divisible par m, c’est dire qu’il existe d tel que :

c(m) = 4m – 96 = dm c’est-à-dire :

(4 – d) m = 96

Or, pour n = 4, on a : 64 ≤ m ≤ 125, donc m = 96 est solution unique et d = 3.

Plus généralement, pour que c(m), qui peut se réécrire : 1) c(m) = nm + n – [n(n+1)/2]²

soit divisible par m, il faut et il suffit que n – [n(n+1)/2]² le soit et que : n³ ≤ m < (n+1)³

Le tableur suggère que ce pourrait être le cas pour n = tout multiple de 4 ou de 5.

Faisons donc n = 4p dans (1). Il vient :

1) c(m) = 4pm + 4p – 4p²(4p+1)² Supposons que la solution soit :

m = 4p (4p+1)² − 4 On aurait :

c(m) = 4pm – pm = 3pm donc c(m) multiple de m.

Or :

m = 4p (4p+1)² − 4 = 4p (16p² + 8p + 1) – 4 = 64p³ + 32p² + 4p – 4

Comme, par ailleurs :

n³ = 64p³

(n+1)³ = (4p + 1)³ = 64p³ + 48p² + 12p +1 on a :

n³ ≤ m < (n+1)³

Ainsi, pour toute valeur de n = 4p, la valeur m = 64p³ + 32p² + 4p – 4 donne une valeur entière du rapport c(m)/m.

Il existe donc une infinité d’entiers m tels que le cumul correspondant c(m) des parties entières des racines cubiques est un multiple de ces entiers.