A407 ‒ Récoltes de racines [**** à la main]
Pendant que Puce écrit sur trois colonnes les entiers naturels consécutifs 1,2,3,.... ,puis les parties entières par défaut des racines carrées de ces entiers et enfin le cumul correspondant de ces parties entières, Zig de son côté fait de même avec les parties entières par défaut des racines cubiques de ces entiers.
Q₁ Au bout de quelques minutes, Puce s'arrête à l'entier m. Zig qui est beaucoup plus rapide a écrit exactement cinq fois plus de lignes et le cumul de ses parties entières est exactement cinq fois plus grand que celui de Puce.Déterminer m.
Q₂ En admettant que Puce et Zig poursuivent leurs calculs "ad vitam aeternam", démontrer que pour chacun d'eux il existe une infinité d'entiers tels que le cumul correspondant des parties entières des racines carrées (Puce) ou des racines cubiques (Zig) est un multiple de ces entiers.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
1. Soit S(N) la somme des parties entières des racines carrées et T(N) la somme des parties entières des racines cubiques de 1 à N (bornes comprises).
Soit r la partie entière de la racine carrée de N donc N peut s’écrire N= r*2 + k avec k>= 0 et k
< (r=1)**2- r**2 soit k<2r+1.
On a S(N)= ∑(i=1 à i=r-1) i.((i+1)*2- i*2) + (k+1).r soit ∑(i=1 à i=r-1) i.(2.i+1) + (k+1).r soit
∑(i=1 à i=r-1) 2.i*2 +i + (k+1).r= r.(r-1).(2r-1)/3 + r.(r-1)/2 + (k+1).r
De même pour T(N) soit c la partie entière de la racine cubique de N, avec N =c*3 + k avec k>=0 et k < (c+1)*3 –c*3 soit k< 3.c*2 +3.c +1
On a donc T(N)= ∑(i=1 à i=c-1) i.((i+1)*3- i*3) + (k+1).c soit ∑(i=1 à i=c-1) 3.i*3 +3.i*2 +i + (k+1).c soit T(N)=3/4.(c.(c-1))*2 + c.(c-1).(2c-1)/2 + c.(c-1)/2 + (k+1).c soit encore
c.(c.(c-1).(3c+1)/4 +(k+1))
On recherche N tel que T(5N)=5.S(N). Faute de solution littérale , en utilisant Excel et avec l’aide des formules ci-dessus, on obtient N=41, S(N)=161 et T(5N)= T(205)=805.
2- On recherche les N tels que S(N) = a.N ou T(N)= a.N avec a entier.
Pour S(N) il faut rechercher les valeurs de r et de k telles que l’on puisse trouver un a entier tel que r.(r-1).(2r-1)/3 + r.(r-1)/2 + (k+1).r = a.( r*2 + k ) avec k <2.r+1 dont la solution
n’apparait pas évidente non plus.
Excel nous vient en aide en permettant de trouver les premiers candidats à savoir
N= 11, 92, 245, 470 … qui correspondent aux couples (r,k) suivants : (3,2), (9,11), (15,20), (21,29),… ce qui semble donner comme solutions possibles : r=3+6p et k= 2+9p.
Il nous faut donc vérifier cela sur l’expression générale de S(N) = r.(r-1).(2r-1)/3 + r.(r-1)/2 + (k+1).r soit (r/6).(4.r*2 -3.r +(6k+5))=( (1+2p)/2).(36.(4.p*2+4p +1)-9.(2p+1)+ 54p+17) soit en développant ))=( (1+3p)/2).(144.p*2 +180p +44)=2.(1+3p).(36p*2 + 45p +11) alors que N vaut r*2 + k soit (6p + 3)*2 +9p +2=36p*2 +45p +11 !
donc pour N de la forme 36p*2 +45p +11 on a S(N)= a. N avec a= 4p+2 ce qui se vérifie pour les valeurs de p suivantes p=0, N=11, a= 2, S(N)=22 ; p=1, N=92, a= 6, S(N)=552 ; p=2, N=245, a= 10, S(N)=2450 ; p=3, N=470, a= 14, S(N)=6580 , ….et donc il y a une infinité de N répondant à la question.
Pour T(N) on procède de la même façon avec Excel, on trouve les valeurs de N correspondant aux couples c, k suivants : 96 (4,32) ; 644 (8,132) ; 2014 (12, 296) ; 4620 (16, 524), …
On voit immédiatement que c=4p par contre la formulation de k est un peu plus élaborée. On a k(2)-k(1)=100, k(3)-k(2)=164, k(4)-k(3)=228, d’où k(i)-k(i-1)= 100+ 64.(i-2), d’où k(p)= 32 +(p- 1).100 + ∑(i=1 à i=p-2) 64.i d’où k(p)=32+ (p-1).100 +(p-2).(p-1).32= 32.p*2+4.p-4.
Il faut maintenant vérifier que pour les N de la forme : 64.p*3 +32. p*2+4.p-4 T(N) est bien divisible par N.
En employant c=4.p et k =32.p*2+4.p-4 à la formule de T(N) donnée plus haut, on obtient : c.(c.(c-1).(3c+1)/4 +(k+1))
4p.( p(4p-1)(12p+1) +32. p*2+4.p-3) soit
4p.(48p*3 -8p*2 –p +32.p*2 +4p -3) soit 4p.(48p*3 +24p*2 +3p -3) soit encore 3p. N ce qui prouve la solution pour l’infinité de nombres de la forme N=64.p*3 +32. p*2+4.p-4
