A407 ‒ Récoltes de racines [**** à la main]
Pendant que Puce écrit sur trois colonnes les entiers naturels consécutifs 1,2,3,.... ,puis les parties entières par défaut des racines carrées de ces entiers et enfin le cumul correspondant de ces parties entières, Zig de son côté fait de même avec les parties entières par défaut des racines cubiques de ces entiers.
Q₁ Au bout de quelques minutes, Puce s'arrête à l'entier m. Zig qui est beaucoup plus rapide a écrit exactement cinq fois plus de lignes et le cumul de ses parties entières est exactement cinq fois plus grand que celui de Puce.Déterminer m.
Q₂ En admettant que Puce et Zig poursuivent leurs calculs "ad vitam aeternam", démontrer que pour chacun d'eux il existe une infinité d'entiers tels que le cumul correspondant des parties entières des racines carrées (Puce) ou des racines cubiques (Zig) est un multiple de ces entiers.
Solution proposée par Bernard Vignes Q1
Puce calcule S₂(n) = [ k]
n k
1 k
où [...] désigne la partie entière par défaut. Par exemple, pour n = 20, il obtient le tableau ci-après:
On pose p = [ k] et s = [ n]. Pour tout p tel que 1 ≤ p ≤ [ n] ‒ 1, il y a (p + 1)² ‒ p² = 2p + 1 termes égaux à p. Ainsi pour p compris entre 1 et [ 20 ]‒ 1, c'est à dire entre 1 et 3, il y a 3 fois 1, 5 fois 2 et 7 fois 3.
Il reste n ‒ [ n]² + 1 = n ‒ s² + 1 termes de la somme qui sont égaux à s = [ n], soit dans notre exemple 20 ‒ 4² + 1 = 5 termes égaux à 4 pour k variant de 16 à 20.
D'où S₂(n) = [ k]
n k
1 k
=
1
s
1 k
1)
k(2k + s(n - (s² ‒ 1)) =
1 s
1 k
2k2+
1 s
1 k
k+ sn ‒ s³ + s =
6
5) 3s 2s
s(6n 2
Quand n est un carré parfait, n = s² et S₂(n) = [ k]
n k
1 k
= 6
5) 3s s(4s2
De son côté Zig calcule S₃(n) =
n k
1 k
3 k]
[ . Par exemple, toujours pour n = 30, il obtient le tableau ci-après :
On pose q = [3 k] et s = [3 n]. Pour tout q tel que 1 ≤ q ≤ [3 n] ‒ 1, il y a (q+ 1)³ ‒ q³ = 3q² + 3q + 1 termes égaux à q. Ainsi pour q compris entre 1 et [3 30 ] ‒ 1, c'est à dire entre 1 et 2, 7 fois 3 et 19 fois 2.
Il reste n ‒ [3 n]³ + 1 termes = n ‒ s³ + 1 termes qui sont égaux à s = [3 n], soit dans notre exemple 30 ‒ 3³ + 1 = 4 termes égaux à 3 qui vont de 27 à 30.
D'où S₃(n) =
n k
1 k
3 k] [ =
n
k
1 k
2 3k 1)
k(3k + s(n ‒ (s³ ‒ 1)) = 3
n k
1 k
k3 +3
n k
1 k
k2+
n k
1 k
k + s(n ‒ (s³ ‒ 1)) =
4
4) s 2s s
s(4n 3 2
Quand n est un cube parfait, S₃(n) =
n k
1 k
3 k]
[ =
4
4) s 2s s 3
s( 3 2
Q₂
1er cas: Puce
Il s'agit de démontrer qu'il existe une infinité d'entiers n tels que S₂(n) = kn ou encore l'équation (E₁) :
6
5) 3s 2s
s(6n 2
= k.n avec k nombre entier.
Pour n très grand, le premier membre est équivalent à s(6n ‒ 2s²)/6 soit encore 2n3/2/3. Si l'on retient k = 2s/3, le second membre est lui aussi équivalent à 2n3/2/3.
k étant entier, s est un multiple de 3. Soit s = 3t. On obtient l'équation t(6n ‒ 18t² ‒ 9t + 5)/2 = 2tn ou encore 2n = 18t² + 9t ‒ 5.
Le premier membre de cette équation est toujours pair. Il en résulte que t est de la forme t = 2u ‒ 1.
D'où n = 36u² - 27u + 2 et s = 6u ‒3 et k = 4u ‒ 2 pour u entier quelconque.
On vérifie qu'avec l'expression de n, s = [ n] vaut bien 6u ‒ 3.
En effet pour tout u, s² = (6u ‒ 3)² = 36u² - 18u + 9 < n = 36u² - 27u + 2 < (6u ‒ 2)² = 36u² ‒ 24u + 4
Il s'agit de trouver l'entier m tel que S₃(5m) = 5S₂(m).
Le logiciel Geogebra permet de représenter graphiquement les fonctions monotones croissantes 5S₂(x) et S₃(5x) avec x réel > 0.
On obtient deux courbes en marches d'escalier dont il convient de retenir pour notre problème les "nez" qui correspondent aux seules abscisses entières.
Les deux courbes du graphique ci-contre représentent S₃(5x) en bleu et 5S₂(x) en rouge.
Ces deux courbes se rencontrent au point A d'abscisse 41 et d'ordonnée 805.
On en déduit que Puce a calculé les parties entières des racines carrées des 41 premiers entiers 1,2,3..,41 de somme égale à 161 tandis que Zig a calculé de son côté les parties entières des racines cubiques des entiers de 1 à 205 de somme égale à 805.
Le point A est unique car la fonction 5S₂(x). est du même ordre de grandeur que Cste*n3/2 tandis que S₃(5x) est du même ordre de grandeur que Cste*n4/3, c'est à dire que pour tout x > 41, S₃(5x) < 5S₂(x). Au delà de l'abscisse 41, la courbe rouge est toujours au dessus de la courbe bleue.
Les premières valeurs de n qui satisfont (E₁) sont 11,92,245,470,767,... auxquelles correspondent s = [ n]= 3,9,15,21,27...
2ème cas: Zig
A partir de l'équation (E₂) :
4
4) s 2s s
s(4n 3 2
= kn, le même raisonnement que précédemment donne k = 3s/4. D'où s multiple de 4. Soit s = 4t et k = 3t qui donnent n = 64t³ + 32 t² + 4t ‒ 4 .
On vérifie que pour tout t : s³ = (4t)³ < n = 64t³ + 32 t² + 4t ‒ 4 < (4t+1)³ = 64t³ + 48t² + 12t + 1
Les premières valeurs de n qui satisfont (E₂) sont 96,644,2024,4620,8816,14996... auxquelles correspondent s = [3 n]= 4,8,12,16,20,24... et k = 3,6,9,12,15,18...