A407 ‒ Récoltes de racines
Pendant que Puce écrit sur trois colonnes les entiers naturels consécutifs 1,2,3,.... , puis les parties entières par défaut des racines carrées de ces entiers et enfin le cumul correspondant de ces parties entières, Zig de son côté fait de même avec les parties entières par défaut des racines cubiques de ces entiers.
Q₁ Au bout de quelques minutes, Puce s’arrête à l’entier m. Zig qui est beaucoup plus rapide a écrit exactement cinq fois plus de lignes et le cumul de ses parties entières est exactement cinq fois plus grand que celui de Puce.
Déterminer m.
Q₂ En admettant que Puce et Zig poursuivent leurs calculs "ad vitam aeternam", démontrer que pour chacun d’eux il existe une infinité d’entiers tels que le cumul correspondant des parties entières des racines carrées (Puce) ou des racines cubiques (Zig) est un multiple de ces entiers.
Solution proposée par Jean Louis Margot
Calcul des sommes.
Soit m un entier, on cherche la somme des parties entières des racines kièmes des entiers inférieurs ou égaux à m.
On a <= m <
Pour chaque i [ , [, la partie entière de est n.
Sur [ , [ , = n*( ) = -
Pour k=2, = )= )
= = = (4
S2(m) = (4 + = (-2 )/6
Pour k=3, = )= )
= = = (3
S3(m) = ((3 + = ( /4
Q1
Il faut 5*S2(m) = S3(5*m)
Utilisation du logiciel libre de calcul symbolique maxima (de façon générale, j’utilise maxima pour m’épargner les calculs fastidieux).
Programme (Xmaxima) : simpsum: true;
define ((u(n,k)), (n-1)*(n^k-(n-1)^k));
define ((sum2(n)), subst(entier(n^(1/2)),n2,(sum(u(i,2),i,1,n2)+n2*(n-n2^2+1))));
define ((sum3(n)), subst(entier(n^(1/3)),n3,(sum(u(i,3),i,1,n3)+n3*(n-n3^3+1))));
for n: 1 step 1 thru 1000 do
( if equal( 5*sum2(n) ,sum3(5*n)) then display(n,5*sum2(n),sum3(5*n)));
Exécution:
…
n = 1
5 1 = 5 sum3(5) = 5 n = 41 5 161 = 805 sum3(205) = 805
Deux solutions sur les 1000 premiers nombres:
m = 1, nombre de lignes 1 m= 161, nombre de lignes = 41
Q2
On cherche m tel que m divise S2(m) .
m = <= m < donc, 0 <= k < 2
S2(m) = (
Divisons le polynôme en n2 S2(m) par le polynôme S2(m) = ((4 – 3)/6)* ((2 k + 5) + 3 k)/6
On veut que le reste ((2 k + 5) + 3 k)/6 soit aussi un multiple de m, soit l’équation
((2 k + 5) + 3 k)/6 – = 0, de solution k = /( 2 - + 3)
On divise le polynôme par ( 2 - + 3) :
= ( 2 - + 3) ( + 18 - - 5 )/2 + (108 - 108 - + 15) Si le reste est nul, k est entier, soit (108 - 108 - + 15) = 0 de solutions :
= - 1/3 ; k = 2 +5 ) = - <=0 , or k>=0, seul cas m=n2=0
= 5/6 ; k = 2 )= or k< 2 , soit n2<2, seul cas n2=1 =1/2 ; k = ( qui vérifie 0 <= k < (2 pour tout ,
On retient =1/2 , m = ( /2 ;
S2(m) = m*(2 /3) : il faut impair et divisible par 3
On pose . Alors :
m = 36* alors S2(m) =
On applique le même raisonnement à S3(n).
m = <= m < donc, 0 <= k < 3
S3(m) = +4*(k+1)
Divisons le polynôme en n3 S(m) par le polynôme S3(m) = ((3 )/4)*
On veut que le reste soit aussi un multiple de m, soit l’équation
– = 0, de solution
k =
On divise le polynôme par
= Q( + 256
Si le reste est nul, k est entier, soit 253 de solutions :
= 3/4 ; k = 3 , or k < 3 , seule possibilité = 0 = 1/2; k = , respecte les inégalités
= )/8 ; ne convient pas car k est réel.
On retient =1/2 , m = ;
S3(m) = m*(3 /4) : il faut divisible par 4 On pose
m = +32 alors S3(m) =
