D1835 - La saga des dichotomies (7

D1835 - La saga des dichotomies (7^ème épisode)

Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Renfer

Deux points P et Q sont sur deux côtés d'un triangle ABC tels que le segment [PQ] partage le triangle en deux parties d'aires égales.

Détreminer le lieu du milieu de M [PQ] lorsque P parcourt les côtés du triangle.

Solution proposé par l'auteur

Comme les applications affines conservent les milieux et les rapports d'aires, on peut par une transformation affine se ramener au cas où le triangle ABC est équilatéral, de côté 1.

1) Positions particulières de M

Soit U, V, W les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB].

Soient I, J, K les milieux respectifs de [AU], [BV], [CW]

Si P occupe les positions A, B, C, alors Q occupe respectivement les positions U, V, W.et le milieu M occupe respectivement les positions I, J, K.

Et si P occupe les positions U, V, W, alors Q occupe respectivement les positions A, B, C et le milieu M occupe respectivement les positions I, J, K.

2) Lieu de M

Lorsque P se déplace de A à W, alors Q se déplace de U à C.

Soient x la distance AP et y la distance CQ.

Les coordonnées barycentriques de P, Q et M dans le repère affine (A, B, C) sont alors :

0 x

x 1 P



y 1 y 0 Q

 1 y

y x

x 1 M



















Si l'on prend l'aire du triangle ABC comme unité d'aire, l'aire du triangle PBQ est égale à :

2 ) 1 y 1 ( ) x 1 ( y 1 0 0

y 1 x

0 0 x 1















Les coordonnées de M vérifient :



















 1 2

2 c'est-à-dire : 8()²

C'est l'équation d'une conique 

Si l'on choisit 1, alors (,) sont les coordonnées cartésiennes de M dans le repère d'origine B, de vecteurs de base 

 



^{ }

BA , BC

L'équation de  dans ce repère s'écrit : 81

Il s'agit donc d'une hyperbole d'asymptotes (BC) et (BA).

Lorsque le point P se déplace de A à W, le point M décrit l'arc d'hyperbole



IK sur .

On raisonne de façon analogue pour les autre segments décrits par P et l'on obtient des hyperboles ' et " de centres A et C respectivement.

Lorsque le point P se déplace sur tout le prérimètre du triangle ABC, le point M décrit deux fois les arcs successifs



IK,



KJ,



JI sur les hyperboles , ' , ".

Les équations homogènes des trois hyperboles dans le repère affine (A, B, C) sont :

 : 8()²

' : 8()²

"

 : 8()²

On examine les points d'intersection de  et ' par exemple : La différence des deux équations donne : ()0

Si 0, on obtient le point double à l'infini de coordonnées (1, -1, 0) sur l'asymptote commune.

Si , on obtient : 8(2)², c'est-à-dire : (2)² 0. Il s'agit du point double K.

Les hyperboles  et ' sont tangentes en K.