log

Universit´e Lyon 1. Pr´eparation au C.A.P.E.S, ´epreuve d’Analyse

Logarithmes et exponentielles

Cet exercice pr´esente une d´efinition tr`es ´el´ementaire du logarithme comme limite d’une suite. On ne suppose connues que les propri´et´es de base des suites r´eelles, le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire, et la d´efinition d’une d´eriv´ee, mais pas la notion d’int´egrale. Pour tout entier n ≥ 1, x 7→ xⁿ est une bijection croissante de [0, +∞[ sur lui-mˆeme. On note

√n

ou encore x 7→ x^1/n la bijection r´eciproque. Pour tout a > 0, et tous entiers, p, q, q > 0, la notation a^p/q repr´esente le nombre √^q

a^p.

1 Le logarithme

Pour x > 0 et n entier, n ≥ 1, on note u_n(x) = n(√ⁿ x − 1).

1. Soit a la racine n(n + 1)^`eme de x. En exprimant u_n(x) et u_n+1(x) au moyen de a, montrer que la suite (un(x))n≥1est d´ecroissante, et qu’elle est convergente si x ≥ 1.

2. Montrer que, pour tout x, y > 0, un(xy) = un(x) + un(y) +un(x)un(y)

n .

3. En d´eduire que la suite (un(x))n≥1 est convegente pour tout x > 0. Soit f (x) sa limite.

4. D´emontrer que, ∀x, y > 0 f (xy) = f (x) + f (y).

5. D´emontrer que, pour tout x > 0, x − 1

x ≤ f (x) ≤ x − 1.

6. D´emontrer que la fonction f est d´erivable en 1 avec f⁰(1) = 1, puis partout d´erivable avec f⁰(x) = 1/x.

7. D´emontrer que limx→+∞f (x) = +∞, et que limx→+∞ f (x)

x = limx→0xf (x) = 0.

2 La fonction exponentielle

On note dor´enavant log la fonction f construite au paragraphe 1.

1. D´emontrer que log est une application bijective de ]0, +∞[ sur R. On note exp la bijection r´eciproque exp : R 7→]0, +∞[.

2. Montrer que pour tous x, y ∈ R, exp(x + y) = exp(x) × exp(y).

3. Montrer que exp est d´erivable, et que exp⁰ = exp.

3 L’exponentielle de base a

Soit a > 0 r´eel. On d´efinit la fonction exp_a par exp_a(x) = exp(x log a).

1. Montrer que exp_a est strictement croissante si a > 1, strictement d´ecroissante si 0 < a < 1.

2. Montrer que pour tout rationnel p/q (q > 0), exp_a(p/q) = a

p

q. Pour tout a > 0, et tout r´eel x, on emploiera dor´enavant la notation a^x pour repr´esenter exp_a(x).

3. Soit e = exp(1). Montrer que exp(x) = e^x.