Table des mati` eres
1 Notion de continuit´ e 2
2 Valeurs interm´ ediaires 3
2.1 Exemples . . . . 3 2.2 Th´ eor` eme de la valeur interm´ ediaire . . . . 3 2.3 Exemple et encadrement de la solution . . . . 4
3 D´ eriv´ ee seconde d’une fonction 5
4 Convexit´ e 5
4.1 D´ efinition et th´ eor` eme . . . . 5
5 Point d’inflexion 7
1 Notion de continuit´ e
f est une fonction continue sur un intervalle I si sa courbe repr´ esentative est un trait continu (on peut effectuer le trac´ e sans lever le crayon).
On donne ci-dessous les courbes repr´ esentatives C 1 , C 2 et C 3 des fonctions f 1 , f 2 et f 3 sur [−3; 5].
La fonction f 1 est continue sur [−3; 5].
La fonction f 2 est continue sur [−3; 5] mais n’est pas d´ erivable en x = 1.
Rappel : Graphiquement, si f est d´ erivable sur I et a ∈ I, f 0 (a) est le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d’abscisse a.
La fonction f 3 est n’est pas continue sur [−3; 5].
f 3 est n’est pas continue en x = 1.
r Exemple 1 : Exemples de fonctions continues et discontinues 1. Citer une fonction continue sur R
2. Citer une fonction qui n’est pas continue sur R
* Solution:
1. La fonction f d´ efinie sur R par f(x) = x 2 est continue sur R
2. La fonction g d´ efinie par g(x) = x − 1 pour x < 0 et g(x) = x + 2 pour x ≥ 0 n’est pas continue en x = 0
On admettra que les fonction polynˆ ome et rationnelles (quotient de deux polynˆ omes) sont continues sur leur ensemble de d´ efinition.
Th´ eor` eme : d´ erivabilit´ e et continuit´ e (admis)
Toute fonction d´ erivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
2 Valeurs interm´ ediaires
2.1 Exemples
r Exemple 2 : Conditions pour l’unicit´ e de la solution de f (x) = k
On a repr´ esent´ e ci-dessous la courbe repr´ esentative de chacune des fonctions f , g, h et i d´ efinies sur I = [−2; 4] :
Quel est le nombre de solutions de l’´ equation f (x) = 1 ? g(x) = 1 ? h(x) = 1 ? i(x) = 1 ? Pourquoi ? En d´ eduire les trois conditions suffisantes pour l’existence et l’unicit´ e de la solution d’une ´ equation de la forme f (x) = 1 (avec f d´ efinie sur I intervalle de R )
* Solution:
– f (x) = 1 n’admet aucune solution sur I.
f n’est pas continue sur I, il y a donc un
saut
en x = 1 et donc la courbe C f et la droite d’´ equation y = 1 n’ont aucun point d’intersection.
– g(x) = 1 admet une solution unique sur I . g est continue sur I
g(−2) = −3 et g(4) = 3 soit g(−2) < 1 < g(4) De plus g est strictement croissante sur I – h(x) = 1 n’admet aucune solution sur I.
h est continue et strictement croissante sur I mais h(x) ≤ 0 sur I soit h(x) < 1.
– i(x) = 1 admet deux solutions sur I.
i est continue sur I
−3 ≤ i(x) ≤ 2 sur I
i n’est pas strictement monotone sur I donc il y a plusieurs solutions possibles ` a l’´ equation i(x) = 1
2.2 Th´ eor` eme de la valeur interm´ ediaire Th´ eor` eme de la valeur interm´ ediaire
f est une fonction d´ efinie sur un intervalle I = [a; b] (a < b) de R
Si f est continue et strictement monotone sur I alors f prend une seule fois toute valeur comprise
entre f(a) et f (b)
Nombre de solutions de l’´ equation f (x) = 0 dans le cas d’une fonction strictement croissante sur un intervalle I :
– f est continue sur I
– f est strictement croissante sur I
– f (a) < 0 et f (b) > 0 (avec a ∈ I et b ∈ I et a < b)
– donc d’apr` es le th´ eor` eme de la valeur interm´ ediaire, l’´ equation f (x) = 0 admet une solution unique α sur I avec a < α < b
2.3 Exemple et encadrement de la solution
r Exemple 3 : solution de l’´ equation f (x) = 0 Soit f (x) = x 3 − 2x 2 + 12x − 5 d´ efinie sur R .
Montrer que l’´ equation x 3 − 2x 2 + 12x − 5 = 0 admet une solution unique α sur R et donner la valeur arrondie de α aux dixi` emes.
M´ ethode :
– V´ erifier que f est continue et strictement monotone (croissante ou d´ ecroissante) sur R – Trouver (avec la calculatrice ´ eventuellement) deux r´ eels a et b de I tels que f (a) < 0 < f (b)
* Solution:
– Etude des variations de f f 0 (x) = 3x 2 − 4x + 12 – Racines de 3x 2 − 4x + 12
∆ = −118 donc il n’y a aucune racine et f 0 (x) est donc du signe de a = 3 (coefficient de x 2 ) donc f 0 (x) > 0 et f strictement croissante sur R
– f est une fonction polynˆ ome donc est continue sur R et strictement croissante sur R – f (0) = −5 et f (1) = 6 soit f (0) < 0 et f (1) > 0
– donc d’apr` es le th´ eor` eme de la valeur interm´ ediaire, l’´ equation f (x) = 0 admet une solution unique α sur R avec 0 < α < 1
Encadrement de la solution ` a la calculatrice
Pour arrondir aux dixi` emes, il faut d´ eterminer un encadrement d’amplitude un centi` eme.
Encadrement aux dixi` emes :
On utilise le menu TABLE de la calculatrice.
Entrer la fonction f dans Y1 puis param´ etrer le tableau de valeur (touche ST ou RANG) en prenant Xstart=0 ; Xend=1 ; Pitch=0, 1 (tableau de valeurs avec x variant de 0 ` a 1 par pas de 0, 1)
Revenir ` a l’´ ecran pr´ ec´ edent (Quit ou Exit) puis selectionner Tabl
Trouver deux valeurs de Y encadrant 0 et noter les valeurs de x correspondantes.
Pour x = 0, 4 on a Y = −0, 456 et pour x = 0, 5 on a Y = 0, 625 on a donc 0, 4 < α < 0, 5 Encadrement aux centi` emes :
On recommence en choisissant : Xstart=0,4 ; Xend=0,5 ; Pitch=0, 01
On obtient f (0, 44) ≈ −0, 02 et f(0, 45) ≈ 0, 086 donc 0, 44 < α < 0, 45
* Solution:
R´ edaction finale :
D’apr` es la calculatrice f (0, 44) ≈ −0, 02 et f(0, 45) ≈ 0, 086 donc 0, 44 < α < 0, 45 et α ≈ 0, 4
Remarque
Pour arrondir la solution aux dixi` emes, il faut encadrer aux centi` emes.
Pour arrondir aux centi` emes, il faut encadrer aux milli` emes...
3 D´ eriv´ ee seconde d’une fonction
D´ efinition :D´ eriv´ ee seconde
Soit f d´ efinie et d´ erivable sur un intervalle I.
Si f 0 est d´ erivable sur I, la fonction d´ eriv´ ee de f 0 not´ ee f ” est d´ efinie pour tout x de I par f ”(x) = (f 0 (x)) 0
r Exemple 4 : D´ eriv´ ee seconde d’une fonction polynˆ ome Soit f d´ efinie sur R par f (x) = x 2 − 3x + 1.
Calculer f 0 (x) puis f ”(x).
* Solution:
f est d´ erivable sur R et f 0 (x) = 2x − 3 f 0 est d´ erivable sur R et f ”(x) = (f 0 (x)) 0 = 2 Remarque
2x − 3 > 0 ⇐⇒ x > 2 3 donc sur
2 3 ; +∞
, f 0 (x) > 0 donc f est croissante f ”(x) > 0 donc la fonction f 0 est croissante sur I.
4 Convexit´ e
4.1 D´ efinition et th´ eor` eme D´ efinition : fonction convexe
Soit f une fonction d´ erivable sur un intervalle I et C f sa courbe repr´ esentative.
f est convexe sur I si la courbe C f est au-dessus de ses tangentes.
Dans le cas contraire(C f en-dessous de ses tangentes), f est concave.
r Exemple 5 : Avec la fonction carr´ e
Soit f d´ efinie sur R par f (x) = x 2 et C f sa courbe repr´ esentative.
Calculer f 0 (x).
Calculer f 0 (−3) et tracer la tangente T −3 ` a C f au point d’abscisse −3
Calculer f 0 (−2) et tracer la tangente T −2 ` a C f au point d’abscisse −2
Mˆ eme consigne pour x = −1, x = 0, x = 1, x = 2 et x = 3
* Solution:
f 0 (x) = 2x
f 0 (−3) = 2 × (−3) = −6 est le coefficient directeur de la tangente ` a la courbe C f au point d’abscisse
−3 (et donc d’ordonn´ ee (−3) 2 = 9)
f 0 (−2) = 2 × (−2) = −4 (coefficient directeur de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse −2) f 0 (−1) = −2, f 0 (0) = 0, f 0 (1) = 2, f 0 (3) = 6
f est convexe et la courbe C f est au-dessus de ses tangentes.
f ”(x) = 2 et f ”(x) > 0 donc la fonction f 0 est croissante
Graphiquement, les coefficients directeurs des tangentes au point d’abscisse x (x ∈ R) sont croissants.
Th´ eor` eme : convexit´ e (admis)
Soit f d´ efinie et d´ erivable sur un intervalle I de R f est convexe si et seulement si f 0 est croissante sur I f est concave si et seulement si f 0 est d´ ecroissante sur I
Cons´ equence : Si f 0 est d´ erivable sur I , il faut ´ etudier le signe de f”(x) sur I pour d´ eterminer le sens de variation de f 0 .
r Exemple 6 : Etude de la convexit´ e d’une fonction polynˆ ome Soit f d´ efinie sur R par f (x) = x 3 − 6x 2 + x + 8
Etudier la convexit´ e de f
– Calculer f 0 (x) puis f ”(x) – Etudier le signe de f ”(x)
– En d´ eduire les variations de f 0 et conclure
* Solution:
– f 0 (x) = 3x 2 − 12x + 1 – f ”(x) = 6x − 12
– Etude du signe de f ”(x)
6x − 12 > 0 ⇐⇒ x > 2 donc f 0 (x) > 0 sur ]2; +∞[
x 1
2
+1
f"(x)=12x 6
0 +
f 0
(x)
f 0
(0)=1
