DS n°05

(1)

Exercice 1 : [5 points]

1. A quel intervalle 𝑥 appartient-il ? 2. Montrer que : 𝓐(𝒙) = −^𝒙^𝟐

𝟐 + 𝟔𝒙

3. Dresser le tableau de variations de la fonction 𝒜.

4. Résoudre l’équation : 𝒜(𝑥) = 9.

5. Pour quelles valeurs de x , l’aire du triangle CMM’ est-elle supérieure ou égale au quart de celle du carré ?

Exercice 2 : [7.5 points]

On considère un triangle ABC et les points R, N et P tels que :

 𝑨𝑹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +^𝟑

𝟐𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗

 𝑩𝑵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝟐𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗

 𝑩𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −^𝟑

𝟐𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗

1. Compléter la figure.

2. Montrer que NCRP est un parallélogramme.

3. On se place dans le repère (𝐴; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗⃗ ).

a) Déterminer les coordonnées des points A, B, C et R dans ce repère.

b) Démontrer que N a pour coordonnées (2; −2) et P a pour coordonnées (3; −³

2).

c) Déterminer les équations des droites (BC) et (NP).

d) En déduire les coordonnées du point d’intersection des droites (BC) et (NP).

e) Montrer que les droites (AN) et (BC) sont parallèles.

DS n°05 – BILAN – 1èreS

^{Nom :}

Exercice : N°1 N°2 N°3 N°4 N°5 NOTE :

Barème :

/5 /7.5 /5 /5.5 /4 /27

Appréciation :

ABCD est un carré de coté 6 cm . Le point M appartient à [AB]. Le point M’

de [AD] est tel que : 𝐴𝑀 = 𝐴𝑀′.

On note 𝑥 la longueur AM exprimée en cm et 𝒜(𝑥) l’aire du triangle CMM’

exprimée en cm².

(2)

Soient 𝑓 et g les fonctions définies par : 𝒇(𝒙) = ^𝟏

𝟑𝒙−𝟐 𝒆𝒕 𝒈(𝒙) = 𝟐 − 𝒙.

1.

a) Déterminer l’ensemble de définition 𝐷𝑓 de 𝑓, puis étudier les variations de 𝑓 sur 𝐷𝑓. b) Etudier les variations de 𝑔 sur ℝ.

2. On donne la représentation graphique 𝐶_𝑓 de la fonction 𝑓 dans le repère orthonormé (𝑂; 𝑖 ; 𝑗 ) ci-dessous :

a) Représenter graphiquement la fonction 𝑔 dans le repère ci-dessus. On note cette courbe 𝐶_𝑔. b) Déterminer algébriquement la position relative de 𝐶_𝑓 et 𝐶_𝑔.

(Vous pourrez vérifier la cohérence de vos résultats avec le graphique)

***Les questions de cet exercice sont indépendantes ***

1. Avec les renseignements portés sur la figure ci-dessous, démontrez que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

2. En utilisant la figure, déterminez la mesure pricipale de l’angle orienté (𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )

3. Résoudre : a) cos(𝑥) =^√3

2 sur [0; 2𝜋[

b) 2 sin(𝑥) + √2 > 0 sur ] − 𝜋; 𝜋]

Représenter l’ensemble des solutions (b) sur le cercle trigonométrique ci-contre.

4. On donne cos(𝑥) =³

4 𝑒𝑡 𝑥 ∈ [−^𝜋

2 ; 0 ].

a) Quelle est la valeur exacte de sin (𝑥) ? b) En déduire les valeurs de : cos (^𝜋

2− 𝑥) ; sin(𝜋 + 𝑥) ; cos(𝑥 + 2𝜋)

(3)

Partie B :

1. Déterminer, en utilisant votre calculatrice, les valeurs de 𝑀𝑒 , 𝑄₁𝑒𝑡 𝑄₃. 2. VRAI ou FAUX (justifier)

a) Au moins 50% des distributeurs ont un nombre de pannes égal à 6.

b) Au plus 75% des distributeurs ont un nombre de pannes supérieur ou égal à 5.

Une société de service a en charge l’entretien d’un parc de distributeurs automatiques.

Elle a observé durant une année le nombre d’interventions (réglages, révisions…) réalisées sur chacun des distributeurs. On a obtenu les résultats ci-contre.

Partie A :

1. Calculer le nombre moyen d’interventions 𝑥 ainsi que l’écart-type 𝜎.

2. La responsable de la société considère qu’il faut changer les distributeurs si l’intervalle [𝑥 − 2 𝜎 ; 𝑥 + 2𝜎] contient moins de 95% des valeurs de la série.

Quelle va être sa décision ?

(4)

Correction DS Bilan n°05 – 1^èreS Exercice 1 :

1. Le point M varie sur le segment [AB] et AB= 6cm. Donc 𝑥 ∈ [0; 6]

2. 𝒜(𝑥) = 𝒜_{𝐴𝐵𝐶𝐷}− 𝒜_𝐴𝑀𝑀^′− 𝒜_𝐷𝐶𝑀^′− 𝒜_𝑀𝐵𝐶 𝒜(𝑥) = 6² −^𝑥²

2 −^{6×(6−𝑥)}

2 𝒜(𝑥) = 36 −^𝑥²

2 − 6(6 − 𝑥) 𝒜(𝑥) = 36 −^𝑥²

2 − 36 + 6𝑥 𝒜(𝑥) = −^𝑥²

2 + 6𝑥

1. Etude des variations de 𝒜 : 𝛼 =^−𝑏

2𝑎 = ⁻⁶

2×(−¹

2)= 6 𝛽 = 𝒜 (𝛼) = 𝒜(6) = −¹

2× 6²+ 6 × 6 = 18 𝑎 = −¹

2< 0 donc la parabole est « tournée vers le bas » 2. 𝒜(𝑥) = 9

 −^𝑥²

2 + 6𝑥 = 9

 −^𝑥²

2 + 6𝑥 − 9 = 0

Δ = 6²− 4 × (−¹₂) × (−9) = 18 > 0 L’équation a deux solutions : 𝑥₁=^−6−√18

2×(−¹

2) =^−6−3√2

−1 = 6 + 3√2 et 𝑥₂=^−6+√18

2×(−¹

2) =^−6+3√2

−1 = 6 − 3√2 Or 𝑥₁ = 6 + 3√2 ≈ 10.2 𝑒𝑡 𝑥 ∈ [0; 6] donc 𝑥₁ est exclue.

Conclusion : 𝑆 = { 6 − 3√2}

3. 𝒜(𝑥) ≥^𝟏

𝟒× 𝟔^𝟐

 𝒜(𝑥) ≥ 9

−^𝑥²

2 + 6𝑥 ≥ 9

−^𝑥²

2 + 6𝑥 − 9 ≥ 0

Or d’après la question 3) l’équation −^𝑥²

2 + 6𝑥 − 9 = 0 admet une solution dans [0; 6] : 𝑥₂ = 6 − 3√2 𝑥 0 6 − 3√2 6

Signe de −^𝑥²

2 + 6𝑥 − 9 − +

Conclusion : L’aire du triangle CMM’ est supérieure ou égale au quart de celle du carré si et seulement si 𝑥 ∈ [6 − 3√2; 6].

Exercice 2 :

1. La figure est complétée ci-dessus.

2. 𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ d’après la relation de Chasles 𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +³

2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +¹

2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ d’après la relation de Chasles 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −³

2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +¹

2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

Conclusion : 𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ donc NCRP est un parallélogramme.

𝑥 0 6

𝒜 18

0

(5)

3.

a) 𝐴(0; 0) ; 𝐵(1; 0); 𝐶(0; 1) 𝑒𝑡 𝑅 (1;³

2) 𝑐𝑎𝑟 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +³

2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

b) 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝟐𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝟐𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑁(2; −2) 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝟐𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −^𝟑

𝟐𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟑𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −^𝟑

𝟐𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ donc P(3; −³

2).

c) Equation de (BC) :Vecteur directeur de (BC) : 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ : (−1 1 ) Soit M un point de coordonnées (𝑥; 𝑦)

𝑀 ∈ (𝐵𝐶)⇔ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires avec 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ (𝑥 − 1 𝑦 ) 𝑀 ∈ (𝐵𝐶)⇔ −1 × 𝑦 − 1(𝑥 − 1) = 0

𝑀 ∈ (𝐵𝐶)⇔ −𝒙 − 𝒚 + 𝟏 = 𝟎

Equation de (NP) :Vecteur directeur de (NP) : 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : ( 3 − 2

−³

2− (−2)) : ( 11 2

) Soit M un point de coordonnées (𝑥; 𝑦)

𝑀 ∈ (𝑁𝑃)⇔ 𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires avec 𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ (𝑥 − 2 𝑦 + 2) 𝑀 ∈ (𝑁𝑃)⇔ 1(𝑦 + 2) −¹

2(𝑥 − 2) = 0 𝑀 ∈ (𝑁𝑃)⇔ 𝑦 + 2 −¹

2𝑥 + 1 = 0 𝑀 ∈ (𝑁𝑃)⇔ −^𝟏

𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 d) {−𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

−¹

2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0⇔ { 𝑦 = 1 − 𝑥

−¹

2𝑥 + 1 − 𝑥 + 3 = 0⇔ {𝑦 = 1 − 𝑥

−³

2𝑥 = −4⇔ { 𝑦 = 1 −⁸

3= −⁵

3 𝑥 = −4 × (−²

3) =⁸

3

Donc les coordonnées du point d’intersection des droites (BC) et (NP) sont : (⁸

3 ; −⁵

3) e) Un vecteur directeur de la droite (AN) est : 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : ( 2

−2) et Un vecteur directeur de (BC) est : 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (−1 1 ).

On remarque que : 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ Ainsi les vecteurs 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

Donc les droites (BC) et (AN) sont parallèles.

1.

a) 3𝑥 − 2 = 0  3𝑥 = 2  𝑥 =²

3 Donc 𝐷_𝑓 = ℝ \ {²

3}

𝑥 −∞ 2

3 + ∞ JUSTIFICATION

Variations de 𝑢: 𝑥 → 3𝑥 − 2 Car u est une fonction affine

avec 𝑎 = 3 > 0

Variations de 𝑓 Car 𝑢 et ¹

𝑢 ont des variations contraires sur les intervalles où 𝑢 est de signe constant.

b) La fonction 𝑔 est une fonction affine avec 𝑎 = −1 < 0 donc 𝑔 est décroissante sur ℝ.

2.

a) Graphique ci-contre.

b) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = ¹

3𝑥−2− (2 − 𝑥) =1−(2−𝑥)(3𝑥−2)

3𝑥−2 =^{1−6𝑥+4+3𝑥}²^−2𝑥

3𝑥−2 =^{3𝑥²−8𝑥+5}

3𝑥−2

3𝑥²− 8𝑥 + 5 = 0

Δ = (−8)²− 4 × 3 × 5 = 4 > 0 𝑥₁= ^8−√4

2×3 =⁶

6= 1 et 𝑥₂= ^8+√4

2×3 =¹⁰

6 =⁵

3

(6)

𝑥 −∞ 2

3 1 5

3 + ∞

Signe de 3𝑥² − 8𝑥 + 5 + + − +

Signe de 3𝑥 − 2 − + + +

Signe de ^{3𝑥²−8𝑥+5}_3𝑥−2 − + − +

Conclusion : ∀𝑥 ∈ ] − ∞;²

3[ ∪]1;⁵

3[∶ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) < 0

 ∀𝑥 ∈ ] − ∞;²

3[ ∪]1;⁵

3[∶ 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)

𝐶_𝑓 est en-dessous de 𝐶_𝑔 sur ] − ∞;²

3[ 𝑒𝑡 𝑠𝑢𝑟 ]1;⁵

3[

∀𝑥 ∈ ]2/3 ; 1[ ∪]5/3 ; +∞[ ∶ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) > 0

 ∀𝑥 ∈ ]2/3 ; 1[ ∪]5/3 ; +∞[: 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)

𝐶_𝑓 est au-dessus de 𝐶_𝑔 sur ]2/3 ; 1[ 𝑒𝑡 𝑠𝑢𝑟 ]5/3 ; +∞[

1. (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ )[2 𝜋] (relation de Chasles) (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) +𝜋+ (𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) +𝜋+ (𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 𝜋[2𝜋]

(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −^5𝜋

6 −^𝜋

2+^𝜋

3+ 𝜋[2𝜋]

(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−5𝜋−3𝜋+2𝜋+6𝜋

6 [2𝜋]

(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0[2𝜋]

Ainsi les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et donc les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

2. Le triangle ACD est équilatéral donc : (𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^𝜋

3

Le triangle ABC est isocèle rectangle en B donc : (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^𝜋

4 (𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )[2𝜋]

(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −^𝜋

3+ (𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 𝜋[2𝜋]

(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −^𝜋

3+^𝜋

4+ 𝜋[2𝜋]

(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^{−4𝜋+3𝜋+12𝜋}

12 [2𝜋]

(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^11𝜋

12 [2𝜋]

3.

a) cos(𝑥) =^√3

2 sur [0; 2𝜋[

Alors 𝑥 =^𝜋

6 𝑜𝑢 𝑥 =^11𝜋

6

Donc 𝑆 = {^𝜋

6;^11𝜋

6 }

b) 2 sin(𝑥) + √2 > 0 (sur ] − 𝜋; 𝜋])

 sin(𝑥) > −^√2

2 Donc 𝑆 =] − 𝜋; −^3𝜋

4 [ ∪] −^𝜋

4; 𝜋]

4.

a) On sait que cos(𝑥) =³

4

Or pour tout réel 𝑥 : cos(𝑥)²+ sin(𝑥)² = 1 Donc sin(𝑥)²= 1 − cos(𝑥)²= 1 − (³

4)²= 1 − ⁹

16= ⁷

16

Ainsi : sin(𝑥) = √⁷

16 𝑜𝑢 sin(𝑥) = −√⁷

16

Or 𝑥 ∈ [−^𝜋

2 ; 0 ] donc sin(𝑥) ≤ 0 Donc sin(𝑥) = −√⁷

16

cos(𝑥 + 2𝜋) = cos(𝑥) =3 4 b) cos (^𝜋

2− 𝑥) = sin(𝑥) = −√⁷

16

sin(𝜋 + 𝑥) = − sin(𝑥) = √⁷

16

(7)

Partie A :

1. 𝑥 =1×10+2×12+⋯+10×16

10+12+⋯+16 ≈ 6.087 𝑉 = ¹

439(1²× 10 + 2²× 12 + ⋯ + 10²× 16) − 6.087² = ¹

439× 17968 − 6.087² ≈ 3.878 𝜎 = √𝑉 ≈ 1.97

2. [𝑥 − 2 𝜎 ; 𝑥 + 2𝜎] = [6.087 − 2 × 1.97; 6.087 + 2 × 1.97] = [2.147; 10.027]

On comptabilise le nombre de machines ayant entre 3 et 10 interventions.

17 + 44 + 78 + ⋯ + 16 = 417

417

439× 100 = 94.99 < 95

Conclusion : l’intervalle [𝑥 − 2 𝜎 ; 𝑥 + 2𝜎] contient moins de 95% des valeurs de la série.

Il faudra donc changer les distributeurs.

Partie B :

1. 𝑀𝑒 = 6 ; 𝑄₁= 5 𝑒𝑡 𝑄₃= 7 [calculatrice]

2.

a) FAUX : 94 machines ont exactement 6 pannes.

94

439× 100 = 21.4

Ainsi 21.4% des distributeurs ont un nombre de pannes égal à 6.

b) VRAI : 𝑄₁= 5 donc au moins 25% des distributeurs ont un nombre de pannes inférieur ou égal à 5.

Donc par conséquent au plus 75% des distributeurs ont un nombre de pannes supérieur ou égal à 5.