Devoir 2

Universit´e Pierrre et Marie Curie M1 - MM025 Ann´ee 2011-2012 Calcul des variations: outils et m´ethodes

Devoir No. 2

A. Principe variationnel d’Ekeland

Soit (X, d) un espace m´etrique complet et f :x → IR une fonction s.c.i. minor´ee. Pourx ∈X on d´efinit :

S(x) ={y∈X;f(y)≤f(x)−d(x, y)}.

1.1 Soit x∈X. Montrer queS(x) est un ferm´e non vide et quey∈S(x) implique S(y)⊂S(x).

1.2 On d´efinit par r´ecurrence K0 = X, puis Kn+1 = S(xn+1) o`u xn+1 est un point de X qui satisfait

x_n+1∈K_n, f(x_n+1)≤ inf

y∈K_nf(y) + 1 2ⁿ⁺¹. Montrer qu’il existe x^∗ ∈X tel que∩_nK_n={x^∗}.

1.3 V´erifier que x6=x^∗ implique

f(x)> f(x^∗)−d(x, x^∗).

1.4 Soitε >0 et xε∈X v´erifiant :

f(x_ε)≤ inf

y∈Xf(y) +ε.

Soit k >0. Montrer qu’il existe y_ε∈X tel que

i) f(y_ε)≤f(x_ε) ii) d(xε, yε)≤ 1 k

iii) f(x)> f(yε)−kεd(x, yε), ∀x6=yε. B. Th´eor`eme de l’application ouverte

Soient E un espace norm´e, F un espace de Banach etT une application lin´eaire de E dans F. On suppose queT estsurjective.

a) Montrer qu’il existe c >0 avec

(1) B_F(0, c)⊂T(B_E(0,1)).

b) On suppose de plus queT une application lin´eairecontinue de E dansF (T ∈ L(E, F)) et queE est unespace de Banach.

Soit c= 2r ety∈F avec kyk_F < r. Montrer l’existence dex1∈E avec kx₁k_E < 1

2 ky−T x₁k_F < r 2 1

Partant dey−T x₁ montrer de mˆeme l’existence dex₂∈E avec kx₂k_E < 1

4 ky−T x₁−T x₂k_F < r 4 En d´eduire l’existence dex∈E avec y=T xetkxk_E <1 soit

(2) B_F(0, r)⊂T(B_E(0,1)).

c) Montrer que l’image par T d’un ouvert deE est un ouvert de F.

d) On suppose de plusT bijectif. Etablir queT⁻¹ est continu, i.e.T⁻¹ ∈ L(F, E).

e) Soit E un espace vectoriel qui est un espace de Banach pour deux normes k.k₁ et k.k₂. On suppose quek.k₂ ≤ k.k₁. En d´eduire que les 2 normes sont ´equivalentes.

f) (Th´eor`eme du graphe ferm´e)

SoientE,k.k_E etF,k.k_F deux espaces de Banach etT une application lin´eaire deE dansF. On suppose que le graphe de T,GT ={(x, y)∈E×F;y =T x} est ferm´e dansE×F.

On d´efinit sur E une nouvelle norme par

kxk_w =kxk_E +kT xk_F. V´erifier que E,k.k_w est un espace de Banach.

En d´eduire queT est continu i.e.T ∈ L(E, F). (On pourra utiliser e)).

R´eciproque ?

C. Convexit´e forte et convergence

Soit H un espace de Hilbert et C un ensemble convexe ferm´e non vide inclus dansH.

Une fonctionF deC dansIR estα-convexe, pourα >0 ssi F(u) +F(v)

2 ≥F(u+v 2 ) +α

2ku−vk²

a) Soit F convexe et s.c.i. sur C. Montrer queF est minor´e par une fonction affine continue : F(v)≥ hx₀, vi+t

o`u x₀ ∈H ett∈IR.(On pourra s´eparerepiF et (u, s) avec u∈C etF(u)> s.)

b) On suppose maintenant de plusF α-convexe. Montrer qu’ il existe β >0 etγ deux r´eels tels que

F(v)≥βkvk²+γ, ∀v∈C.

c) Etablir queF a un minimum surK et qu’il est unique. Notons leu.

d) Montrer toute suite minimisante dansF converge fortement dans F et que u v´erifie F(v)−F(u)≥αkv−uk².

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