Sujet 2014E_08

(1)

Epreuve sur Dossier CAPES Mathématiques

G. Julia, 2014 1

ESD 2014E –08 : Suites

1. Le sujet

A. L’exercice proposé au candidat On considère la suite définie par : v₀ =1 et

n

n v

v ₊ = − 6

9

1 pour tout entier naturel n.

1. Écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang n.

2. Quelles conjectures peut-on émettre concernant le sens de variation et la convergence de la suite

( )

vn n_∈N ?

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, v est bien défini et _n 0<v_n <3

4. Étudier le sens de variation de la suite

( )

vn n_∈N. Que peut-on en conclure ?

5. Après avoir justifié que la suite définie pour tout entier naturel n par

3 1

= −

n

n v

w est arithmétique, déterminer la limite de la suite

( )

vn n_∈N.

B. Les réponses de deux élèves de terminale S à la question 1

C. Le travail à exposer devant le jury

1. Analysez la réponse des deux élèves. Vous mettrez en évidence leurs compétences dans le domaine de l’algorithmique et proposerez le cas échéant les modifications nécessaires.

2. Proposez une correction des questions 3 et 5 telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale scientifique.

3. Présentez deux ou trois exercices sur le thème des suites, dont l’un au moins comprendra la mise en oeuvre d’un algorithme.

(2)

G. Julia, 2014 2

2. Eléments de correction

1. L’exercice a pour objectif de tester quelques méthodes d’étude des suites numériques. Il s’agit de voir comment, dans certains cas, l’utilisation d’une suite auxiliaire peut aider à l’étude de la suite principale.

Par leur polyvalence (on peut passer d’une relation de récurrence à une formule explicite), les suites arithmétiques et les suites géométriques sont d’excellentes candidates au rôle de suite auxiliaire.

En l’occurrence, l’exercice a été conçu pour exercer l’outil des suites arithmétiques, beaucoup moins fréquent en pratique que ne l’est celui des suites géométriques.

Dans cet exemple, nous rencontrons un cas particulier de suites définies par récurrence un₊₁ = f

( )

un : la fonction f définie ici par :

( )

x x

f gj = −

6 9

2014 ne possède qu’un point fixe double vers lequel la suite étudiée dans l’exercice converge lentement (à la vitesse de

n

1). On pourra vérifier que la droite ∆ d’équation x

y= est tangente à la courbe représentative de la fonction f en son point d’abscisse 3.

Analyse des travaux d’élèves

Les deux élèves ont la capacité de concevoir la structure générale d’un algorithme répondant à la question, l’un à l’aide d’une boucle « tant que … », l’autre à l’aide d’une boucle « pour … ».

Ils identifient correctement la donnée d’entrée et les variables utiles.

Dans les deux cas, le résultat de sortie est identifié mais n’est pas affiché au bon endroit (seul le dernier terme calculé figure en sortie et non tous les termes jusqu’au dernier).

Ci-dessous les programmes modifiés ont été rédigés avec Algobox.

Elève 1.

Cet élève sait construire un itérateur puisque la variable v se rappelle elle-même.

Cependant, il ne maîtrise pas les procédures relatives à une boucle du type « tant que … fin tant que ».

L’algorithme que cet élève propose est sans fin.

Modifications nécessaires :

• L’initialisation de la variable i doit être zéro, puisque le premier terme de la suite a cette indexation.

• La variable i doit être incrémentée d’une unité à chaque exécution de la boucle.

• Le résultat de sortie v doit être affiché au sein de la boucle « tant que … » et non à l’extérieur.

(3)

G. Julia, 2014 3

Elève 2.

La boucle « pour … » est fonctionnelle, mais cet élève initialise à chaque exécution de la boucle la variable v. L’élève ne construit pas un itérateur.

Son algorithme renvoie un résultat, toujours le même quelle que soit la valeur de n saisie, qui est v1.

Modifications nécessaires :

• Il n’est pas nécessaire d’affecter une valeur initiale à i. Cette valeur initiale doit être zéro et prend effet dans la condition imposée

« allant de 0 à n ».

• La variable v doit se rappeler elle-même.

• Le résultat de sortie v doit être affiché au sein de la boucle « pour … » et non à l’extérieur.

Quant à la « compétence » proprement dite relevant du domaine de l’algorithmique, à savoir « Mettre en œuvre des algorithmes simples », bien malin qui pourrait sans une certaine dose de langue de bois l’accorder ou non à ces élèves au seul vu du maigre document dont on dispose.

Les réponses des élèves correspondent probablement à des rédactions de programme avant que les élèves n’aient testé leur projet (sinon, l’élève 1 se serait aperçu que son programme ne s’arrêtait pas). Il faudrait que ces élèves aient la possibilité de tester leur programme et de vérifier sa validité, puis de le corriger. Il faudrait au minimum que les candidats disposent non seulement du document que nous avons mais aussi du programme modifié par les mêmes élèves après test.

La compétence « Mettre en œuvre des algorithmes simples » peut être considérée comme acquise lorsque les rédactions de programme avant test sont, à des erreurs d’inattention près que les élèves sont capables de corriger eux-mêmes, des rédactions valides définitives. Nous ne sommes pas en mesure d’en décider.

3. La question 3 est laissée au lecteur. Dans la question 5, il s’agit de déterminer une relation entre les termes de rangs n et n+1de la suite auxiliaire. Cette relation s’obtient en trois étapes :

• 3

1

1= −

+ + n

n v

w (relation entre les termes de rangs n+1 des deux suites)

• ₃ ³

(

⁶ ³

)

6 9

1

2014

1 −

= −

− −

+ =

n n gj

n

n v

v v

w (passage au rang n)

• Si

3 1

= −

n

n v

w , inversement : = 1 +3

n

n w

v . Ainsi :

3 1 3

3 1

1 = −

−

+ == n

n n

n w

w

w w (relation inverse entre

les termes de rang n des deux suites)

La suite auxiliaire

( )

wn n_∈N est une suite arithmétique de raison 3

−1. Son premier terme étant :

2 1 3 1

0

0 =−

= −

w v , la formule explicite donnant wn en fonction de n est : 6

3 2 3 2

1 − =− +

−

= n n

w_n .

(4)

G. Julia, 2014 4

Cette formule explicite permet de déterminer une formule explicite donnant vn en fonction de n : 3 2014

2 3 3 6

3 2

6

n gj

n v_n n

+

= + + +

−

= .

À ce propos, on peut noter que l’énoncé restreint les conjectures des élèves aux seules conjectures portant sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite à étudier. On attend que les élèves remarquent que la suite semble être croissante et avoir pour limite 3. Et surtout, qu’ils s’en tiennent là ! Les élèves sont bien cadrés, défense de sortir des clous !

Or, par construction,

( )

vn n_∈N est une suite de nombre rationnels.

Il est intéressant de faire afficher une liste de premiers termes de la suite en mode exact.

En examinant les résultats affichés, il est possible que l’expression de vn en fonction de n puisse être conjecturée directement, sans passer par la suite auxiliaire de l’énoncé. « Il semblerait bien que

( )

3 2

1 2 3

+

= + n

v_n n », conjecture à confirmer par un raisonnement par récurrence.

Cette expression de vn en fonction de n est correcte au rang zéro, et si elle l’est à un rang n :

( ) ( ) ( ( ) )

(

¹

)

³

2

1 1 2 3 15 6

3 2 9 3 2

1 2 6 3

9

1 2014

+ +

+

= + +

− +

+ =

n n n

n n

v n

n gj ; elle l’est encore au rang suivant. Elle est donc

correcte pour tout entier naturel n.

Dans le même ordre d’idées, l’affichage des écarts 3−v_n entre la limite conjecturée et les premiers termes de la suite pourrait amener à l’idée : « il semblerait que

3 2 3 6

= +

−v_n n ».

Evidemment, le professeur qui a posé cet exercice dans le cadre bien léché de sa leçon sur les suites arithmétiques ne voulait pas de tels coups de poker …

3. Voir REDCM pages 127 à 136.