Logique du premier ordre Deuxième partie : Interprétation d une formule

(1)

Logique du premier ordre Deuxi `eme partie : Interpr ´etation d’une formule

Benjamin Wack

Universit ´e Grenoble Alpes

Mars 2021

(2)

Quelques exemples

Traduire en logique du premier ordre : I Il y a des gens qui s’aiment.

∃

x

∃

y

(

a

(

x

,

y

) ∧

a

(

y

,

x

))

I Si deux personnes s’aiment l’une l’autre, alors elles sont conjointes.

∀

x

∀

y

(

a

(

x

,

y

) ∧

a

(

y

,

x

) ⇒

c

(

x

) =

y

∧

c

(

y

) =

x

)

I On ne peut pas aimer deux personnes `a la fois.

∀

x

∀

y

(

a

(

x

,

y

) ⇒ ∀

z

(

a

(

x

,

z

) ⇒

y

=

z

))

∀

x

∀

y

∀

z

(

a

(

x

,

y

) ∧

a

(

x

,

z

) ⇒

y

=

z

)

(3)

Sens des formules

Interpr ´etation et substitution

Interpr ´etation finie : compl ´ements

Equivalences remarquables

Conclusion

(4)

Plan

Sens des formules

Interpr étation et substitution Interpr étation finie : compl éments Equivalences remarquables Conclusion

(5)

I Pour une formuleavec des variables libres, nous avons besoin d’une assignation

(

I

,

e

)

dont l’ état est pr écis é.

I Pour une formulesans variable libre, il suffit de donner une interpr ´etationIdes symboles de la formule.

En effet

(

I

,

e

)

et

(

I

,

e⁰

)

donneront la m ˆeme valeur `a toutes les formules :

on assimile donc

(

I

,

e

)

etI.

(6)

Termes

D ´efinition 4.3.25Evaluation´ D ´efinition inductive :

1. sitest une variable, alorsJ^tK(I,e)

=

e

(

t

)

2. sitest une constante alorsJ^tK(I,e)

=

t_I^f0

3. sit

=

s

(

t1

, . . . ,

tn

)

avecsun symbole de fonction, alorsJ^tK(I,e)

=

s^fn_I

(

J^t1K(I,e)

, . . . ,

J^tnK(I,e)

)

(7)

Soit la signaturea^f⁰

,

f^f²

,

g^f2.

SoitIl’interpr étation de domaineNdans laquelle : I aest interpr ét é par l’entier 1 ;

I f est interpr ét ée comme le produit ; I gest interpr ét ée comme la somme.

Soitel’ ´etat tel quee

(

x

) =

2 ande

(

y

) =

3.

CalculonsJ^f

(

x

,

g

(

y

,

a

))

K(I,e).

J^f

(

x

,

g

(

y

,

a

))

K(I,e)

=

J^xK(I,e)

∗

J^g

(

y

,

a

)

K(I,e)

=

J^xK(I,e)

∗ (

J^yK(I,e)

+

J^aK(I,e)

)

=

e

(

x

) ∗ (

e

(

y

) +

1

)

=

2

∗ (

3

+

1

) =

8

(8)

Formules

D ´efinition 4.3.27Sens des formules atomiques

Une formule atomique est de l’une des trois formes suivantes : 1. Une constante propositionnelle :

[>]

₍_I_,_e₎

=

1 et

[⊥]

₍_I_,_e₎

=

0 2. Une variable propositionnelle :

[

s

]

₍_I_,_e₎

=

s_I^r0

3. Un termeA

=

s

(

t1

, . . . ,

tn

)

avecsun symbole de relation : I si(J^t¹K⁽I,e), . . . ,J^tⁿK⁽I,e))∈s^rn_I alors [A](I,e)=1

I sinon[A]₍_I_,_e₎=0

(9)

Soit l’interpr ´etationIde domaineD={1,2,3}donn ´ee par ami_I^r2={(1,2),(1,3),(2,3)}

Comment interpr ´eter la formuleami

(

1

,

2

) ∧

ami

(

2

,

3

) ⇒

ami

(

1

,

3

)

dansI?

On sait interpr ´eter les formules atomiques : I

[

ami

(

1

,

2

)]

I

=

vrai

I

[

ami

(

2

,

3

)]

I

=

vrai I

[

ami

(

1

,

3

)]

I

=

vrai

On peut alors proc ´eder comme d’habitude avec les connecteurs, d’o `u

[

ami

(

1

,

2

) ∧

ami

(

2

,

3

) ⇒

ami

(

1

,

3

)]

I

=

vrai:

Cette formule est vraiedans l’interpr ´etationI.

(10)

Exemple 4.3.19

On consid `ere la signature suivante :

I Anne^f0,Bernard^f0etClaude^f⁰: constantes

I a^r2: relation `a deux arguments (a

(

x

,

y

)

signifiex aimey) I c^f¹: fonction `a un argument (c

(

x

)

d énote le conjoint dex) Une interpr étation possible sur cette signature est l’interpr étationIde domaineD

= {

0

,

1

,

2

}

o `u :

I Anne^f0_I

=

0,Bernard_I^f0

=

1, etClaude_I^f0

=

2 I a^r2_I

= {(

0

,

1

),(

1

,

0

), (

2

,

0

)}

I c^f_I¹est une fonction deDdansDqu’on d ´efinit par

x 0 1 2

c_I^f1

(

x

)

1 0 2

(11)

Nous obtenons :

I

[

a

(

Anne

,

Bernard

)]

I

=

vraicar

(

J^AnneKI

,

J^BernardKI

) = (

0

,

1

) ∈

a^r2_I . I

[

a

(

Anne

,

Claude

)]

_I

=

faux car

(

J^AnneK^I

,

J^ClaudeK^I

) = (

0

,

2

) 6∈

a^r2_I .

(12)

Exemple 4.3.29

Soitel’ ´etatx

=

0

,

y

=

2. Nous avons : I

[

a

(

x

,

c

(

x

))]

₍_I_,_e₎

=

vraicar

(

J^xK(I,e)

,

J^c

(

x

)

K(I,e)

) = (

0

,

c^f_I¹

(

0

)) = (

0

,

1

) ∈

a^r2_I . I

[

a

(

y

,

c

(

y

))]

₍_I_,_e₎

=

faux car

(

J^yK(I,e)

,

J^c

(

y

)

K(I,e)

) = (

2

,

c_I^f1

(

2

)) = (

2

,

2

) 6∈

a^r2_I . Ici on a utilis évraietfaux au lieu des valeurs de v érit é 0

,

1 pour les distinguer des ´el ´ements 0

,

1 du domaine (attention suivant le contexte).

(13)

Nous avons :

I

[(

Anne

=

Bernard

)]

I

=

faux, car

(

J^AnneK^I

,

J^BernardK^I

) = (

0

,

1

)

et

(

0

,

1

) 6∈=

^r2_I . I

[(

c

(

Anne

) =

Anne

)]

I

=

faux, car

(

J^c

(

Anne

)

K^I

,

J^AnneK^I

) = (

c_I^f1

(

0

),

0

) = (

1

,

0

)

. I

[(

c

(

c

(

Anne

)) =

Anne

)]

I

=

vrai, car

(

J^c

(

c

(

Anne

))

K^I

,

J^AnneK^I

) = (

c_I^f¹

(

c_I^f1

(

0

)),

0

) = (

0

,

0

)

et

(

0

,

0

) ∈=

^r2_I .

(14)

Sens des formules non atomiques 4.3.30

1. Les connecteurs propositionnels ont le m ˆeme sens qu’en logique propositionnelle.

2. Notonse[x=d]l’ état identique à l’ étate, sauf pourx.

[∀xB](I,e)=min_d_∈_D[B](I,e[x=d])=

∏

d∈D

[B](I,e[x=d]),

vrai si[B]₍_I_,_f₎=1pour tout´etatfidentique `ae, sauf pourx.

3.

[∃xB]₍_I_,_e₎=max_d∈D[B]₍_I_,_e_[_x₌_d_])=

∑

d∈D

[B]₍_I_,_e_[_x₌_d_]), vrai s’il y aun ´etatf identique `ae, sauf pourx, tel que[B]₍_I_,_f₎=1.

(15)

Utilisons l’interpr ´etationIdonn ´ee dans l’exemple 4.3.19.

(RappelD

= {

0

,

1

,

2

}

) I

[∃

x a

(

x

,

x

)]

I

= max{[

a

(

0

,

0

)]

I

,[

a

(

1

,

1

)]

I

,[

a

(

2

,

2

)]

I

} =

faux

= [

a

(

0

,

0

)]

I

+ [

a

(

1

,

1

)]

I

+ [

a

(

2

,

2

)]

I

=

faux

+

faux

+

faux

=

faux. I

[∀

x

∃

y a

(

x

,

y

)]

I

= min{max{[

a

(

0

,

0

)]

I

, [

a

(

0

,

1

)]

I

, [

a

(

0

,

2

)]

I

}, max{[

a

(

1

,

0

)]

_I

, [

a

(

1

,

1

)]

_I

, [

a

(

1

,

2

)]

_I

}, max{[

a

(

2

,

0

)]

I

, [

a

(

2

,

1

)]

I

, [

a

(

2

,

2

)]

I

}}

= min{max{

faux

,

vrai

,

faux

}, max{

vrai

,

faux

,

faux

}, max{

vrai

,

faux

,

faux

}}

= min{

vrai

,

vrai

,

vrai

} =

vrai.

(16)

Exemple 4.3.32

I [∃y∀x a(x,y)]_I

= [a(0,0)]_I.[a(1,0)]_I.[a(2,0)]_I+ [a(0,1)]_I.[a(1,1)]_I.[a(2,1)]_I +[a(0,2)]I.[a(1,2)]I.[a(2,2)]I

=faux.vrai.vrai+vrai.faux.faux+faux.faux.faux

=faux+faux+faux=faux.

Remarque 4.3.33

Les formules∀x∃y a(x,y)et∃y∀x a(x,y)n’ont pas la m ˆeme valeur.

En intervertissant un∃et un∀, on ne pr ´eservepasle sens des formules.

(17)

Ces notions sont d ´efiniescomme en logique propositionnellemais...

Pour donner une valeur `a une formule

I En logique propositionnelle: assignationV

→ {

0

,

1

}

I En logique du premier ordre:

(

I

,

e

)

o `u

I Iest une interpr ´etation des symboles I eun ´etat des variables.

... on utilise une interpr ´etation au lieu d’une assignation.

La valeur d’une formule ne d épend que : I de l’ état de ses variables libres I et de l’interpr étation de ses symboles.

(18)

Plan

Sens des formules

Interpr ´etation finie : compl ´ements Equivalences remarquables Conclusion

(19)

Substituer une variablepropositionnelledans une formule valide donne une formule valide.

Exemple :

Soitσ(p

) = ∀

x q

(

x

)

.

p

∨ ¬

pest valide, il en est de m ˆeme de la formule σ(p

∨ ¬

p

) = ∀

x q

(

x

) ∨ ¬∀

x q

(

x

)

Le principe deremplacementest encore valable aussi car : Pour toutes formulesAetBet toute variablex :

I

(

A

⇔

B

) | = (∀

xA

⇔ ∀

xB

)

I

(

A

⇔

B

) | = (∃

xA

⇔ ∃

xB

)

(20)

Instanciation d’une variable dans un terme

D ´efinition 4.3.34

A

<

x

:=

t

>

est la formule obtenue en remplac¸ant dansAtoute occurrencelibredex part.

Exemple 4.3.35

SoitAla formule(∀xP(x)∨Q(x)), la formuleA

<

x

:=

b

>

vaut (∀xP(x)∨Q(b))car seule l’occurrence en gras dex est libre.

Mais on ne peut pas substituer n’importe quoi : Exemple 4.3.37

SoitAla formule

∃

yp

(

x

,

y

)

.

I A

<

x

:=

y

>= ∃

yp

(

y

,

y

)

(ph ´enom `ene de capture)

(21)

Exemple 4.3.37

Soitpune relation binaire interpr ´et ´ee sur

{

0

,

1

}

parpI

= {(

0

,

1

)}

Soiteun ´etat o `uy

=

0.

I

[

A

<

x

:=

y

>]

₍_I_,_e₎

=

[∃

yp

(

y

,

y

)]

₍_I_,_e₎

= [

p

(

0

,

0

)]

₍_I_,_e₎

+ [

p

(

1

,

1

)]

₍_I_,_e₎

=

faux

+

faux

=

faux. I Soitd

=

0.

Dans l’assignation

(

I

,

e

[

x

=

d

])

, nous avonsx

=

0.

Donc

[

A

]

₍_I_,_e_[_x₌_d_])

=

[∃

yp

(

x

,

y

)]

₍_I_,_e_[_x₌_d_])

= [

p

(

0

,

0

)]

₍_I_,_e₎

+ [

p

(

0

,

1

)]

₍_I_,_e₎

=

faux

+

vrai

=

vrai.

Ainsi,[A<x :=y >]₍_I_,_e₎6= [A]₍_I_,_e_[_x₌_d_]), pourd

=

J^yK(I,e).

(22)

Instanciation d’une variable dans un terme : pr ´ecautions

Solution : notion de termetlibre pour une variable D ´efinition 4.3.34

2. t estlibre pourx dansAsi les variables det ne sont pas li ´ees dans les occurrences libres dex.

Exemple 4.3.35

I Le termef(z)est libre pourx dans la formule∃yp(x,y). I Par contre le termey n’est pas libre pourx dans cette formule.

I Par d ´efinition, le termex est libre pourxdans toute formule.

(23)

Th ´eor `eme 4.3.36

SoientAune formule ett un terme libre pour la variablexdansA.

Pour toute assignation

(

I

,

e

)

nous avons

[

A

<

x

:=

t

>]

₍I,e)

= [

A

]

₍I,e[x=d]) o `ud

=

J^tK(I,e). Corollaire 4.3.38

SoientAune formule ett un terme libre pourx dansA.

Les formules

∀

xA

⇒

A

<

x

:=

t

>

etA

<

x

:=

t

>⇒ ∃

xAsont valides.

(24)

Plan

Sens des formules

Interpr ´etation finie : compl ´ements

Equivalences remarquables Conclusion

(25)

Recherche de mod èles àn él émentspar r éduction au cas propositionnel

Cas simple :formule n’ayantni symbole de fonction ni constante, sauf des repr ésentations d’entiers inf érieurs àn.

Construction du mod èle àn él éments

1. suppression des quantificateurs parexpansionsur un domaine à n él éments,

2. remplacement des ´egalit ´espar leur valeur

3. recherche d’uneassignation propositionnelle des formules atomiquesqui soit mod `ele de la formule.

(26)

Propri ´et ´e de la n-expansion

SoitAune formule ne comportant que des entiers

<

n.

SoitBlan-expansion deA.

Toute interpr ´etation de domaine

{

0

, . . . ,

n

−

1

}

attribue la m ˆeme valeur

`aAet `aB.

Preuve : par r ´ecurrence sur la taille des formules.

(27)

SoitAune formule : I ferm ´ee

I sans quantificateur,

I sans ´egalit ´e ni symbole de fonction,

I sans constante sauf des repr ésentations d’entiers inf érieurs àn.

SoitPl’ensemble des formules atomiques deA(sauf

>

et

⊥

).

Pour toute assignation propositionnellev

:

P

→ {

faux

,

vrai

}

il existe une interpr ´etationI deAtelle que

[

A

]

I

= [

A

]

v.

(28)

Exemple 4.3.43

Soitv l’assignation d ´efinie par

[

p

(

0

)]

_v

=

vraiet

[

p

(

1

)]

_v

=

faux.

vdonne la valeurfaux `a la formule

(

p

(

0

) +

p

(

1

)) ⇒ (

p

(

0

).

p

(

1

))

. L’interpr ´etationId ´efinie parpI

= {

0

}

donne les m ˆemes valeurs aux m ˆemes formules.

vetIsont deux façons analogues de pr ésenter une interpr étation.

(29)

SoitAune formule ferm ée, sans quantificateur, sans égalit é, sans symbole de fonction, sans constante sauf des entiers

<

n.

SoitPl’ensemble des formules atomiques deA.

Pour toute interpr ´etationIil existe une assignation v

:

P

→ {

faux

,

vrai

}

tq

[

A

]

_I

= [

A

]

_v

.

(30)

Correction de la m ´ethode

n-expansion simplifications

A

−→

B

−→

C

−→

C

(1er ordre) ≡_n (sans∀∃) ≡ (sans const.) u ^(propos.)

I

[

A

]

I

= [

B

]

Ipour touteIsur un domaine de taillen I B

≡

Cpar construction (donc

[

B

]

I

= [

C

]

Ipour touteI) I I A toute^` vcorrespond uneItelle que[C]_I= [C]_v.

I A toute^` Icorrespond unevtelle que[C]_I= [C]_v.

Aa donc un mod `eleIsur un domaine de taillen si et seulement si

Ca un mod èlev (etv permet de retrouverIle cas éch éant).

(31)

symbole de fonction

SoitAune formule ferm ée pouvant comporter des repr ésentations d’entiers de valeur inf érieure àn.

Proc ´edure

I RemplacerApar san-expansion.

I Enum ´erer les choix des valeurs des symboles, en propageant le plus possible chacun des choix effectu ´es.

Similaire `al’algorithme deDPLL.

(32)

Exemple 4.3.46 : A = ∃ yP ( y ) ⇒ P ( a )

On cherche un contre-mod èle à 2 él éments.

2-expansion deA

P

(

0

) +

P

(

1

) ⇒

P

(

a

)

Il reste `a trouver les valeurs deP

(

0

)

,P

(

1

)

eta.

On choisit (arbitrairement)a

=

0 :

P

(

0

) +

P

(

1

) ⇒

P

(

0

)

P

(

0

) =

faux

,

P

(

1

) =

vraiest un contre-mod èle propositionnel, on en d éduit une interpr étationItelle quePI

= {

1

}

.

Un contre-mod `ele estIde domaine

{

0

,

1

}

telle quePI

= {

1

}

etaI

=

0.

(33)

1. 2-expansion :

F

= {

P

(

a

), (

P

(

0

) ⇒

P

(

f

(

0

))).(

P

(

1

) ⇒

P

(

f

(

1

))),¬

P

(

f

(

b

))}

. 2. On cherche des valeurs deP

(

0

)

,P

(

1

)

,a,b,f

(

0

)

etf

(

1

)

mod `ele

deF.

3. Choisissonsa

=

0

I DeP(a) =vraieta=0, on d ´eduit :P(0) =vrai

I DeP(0) =vraiet de(P(0)⇒P(f(0))) =vrai, on d ´eduit : P(f(0)) =vrai

I DeP(f(b)) =fauxet deP(f(0)) =vrai, on d ´eduitf(0)6=f(b) donc queb6=0, donc :b=1 etP(f(1)) =faux

I DeP(f(1)) =fauxetP(0) =vrai, on d ´eduitf(1)6=0 donc : f(1) =1 etP(1) =faux

I DeP(f(0)) =vraietP(1) =faux, on d ´eduit :f(0) =0 Mod `ele:a

=

0

,

b

=

1

,

P

= {

0

},

f

(

0

) =

0

,

f

(

1

) =

1

(34)

Logiciel pour construire un mod `ele fini

MACE

I traductiondes formules du premier ordre en formules propositionnelles

I algorithmes performants pour trouver la satisfaisabilit ´ed’une formule propositionnelle (par exempleDPLL)

http://www.cs.unm.edu/˜mccune/mace4 Un exemple concret :

http://www.cs.unm.edu/˜mccune/mace4/examples/2009-11A/

mace4-misc/

(35)

Sens des formules

Interpr étation et substitution Interpr étation finie : compl éments Equivalences remarquables

Conclusion

(36)

Relations entre ∀ et ∃

Lemme 4.4.1

SoientAune formule etx une variable :

¬∀

xA

≡ ∃

x

¬

A

∀

xA

≡ ¬∃

x

¬

A

¬∃

xA

≡ ∀

x

¬

A

∃

xA

≡ ¬∀

x

¬

A

On prouve les deux premi `eres identit ´es.

(37)

[¬∀

xA

]

₍_I_,_e₎

=

1

− [∀

xA

]

₍_I_,_e₎

=

1

− min

d∈D

[

A

]

₍_I_,_e_[_x₌_d_])

= max

d∈D 1

− [

A

]

₍_I_,_e_[_x₌_d_])

= max

d∈D

[¬

A

]

₍I,e[x=d])

= [∃

x

¬

A

]

₍_I_,_e₎

Preuve de

∀

xA

≡ ¬∃

x

¬

A: Transformons

∀

xA

≡ ¬¬∀

xA

≡ ¬∃

x

¬

A (ci-dessus)

(38)

D ´eplacement des quantificateurs

Soientx,y deux variables etA,Bdeux formules.

1.

∀

x

∀

yA

≡ ∀

y

∀

xA 2.

∃

x

∃

yA

≡ ∃

y

∃

xA

3.

∀

x

(

A

∧

B

) ≡ (∀

xA

∧ ∀

xB

)

4.

∃

x

(

A

∨

B

) ≡ (∃

xA

∨ ∃

xB

)

5. SoientQun quantificateur et

◦

un des connecteurs

∧, ∨

Six n’est pas une variable libre deAalors :

5.1 Qx A≡A,

5.2 Qx(A◦B)≡A◦Qx B

(39)

Nous ´eliminons de ces deux formules les quantificateurs inutiles : I

∀

x

∃

xP

(

x

) ≡

∃xP(x)

I

∀

x

(∃

xP

(

x

) ∨

Q

(

x

)) ≡

∃xP(x)∨ ∀xQ(x)

(40)

Changement de variables li ´ees (1/3)

Th ´eor `eme 4.4.3

SoitQun quantificateur.

Siy ne figure pasdansQx Aalors : Qx A

≡

Qy A

<

x

:=

y

>

Exemple 4.4.4

I

∀

x p

(

x

,

z

) ≡ ∀

y p

(

y

,

z

)

I

∀

x p

(

x

,

z

) 6≡ ∀

z p

(

z

,

z

)

(41)

Sens des formules

Interpr étation et substitution Interpr étation finie : compl éments Equivalences remarquables Conclusion

(42)

Aujourd’hui

I Evaluer^´ une formule = choisir uneinterpr ´etationpour ses symboleset un ´etatpour sesvariables

I Adaptation de la m ´ethode desexpansionsaux formulesavec symboles de fonction

I Equivalences remarquables^´ `a propos des quantificateurs (attention,pas de notion de forme normaleutilisable)

(43)

I Skol ´emisation

I Semi-algorithme pour montrer qu’une formule est insatisfaisable.

A chercher`

Tous les hommes sont mortels.

Socrate est un homme.

Donc Socrate est mortel.

I Rechercher un contre-mod `ele par 1-expansion puis par 2-expansion.

I Que peut-on en conclure ?