1.2 L’interpr´ etation graphique

CHAPITRE 9 :LE CALCUL INT´EGRAL

Table des mati` eres

1 G´en´eralit´es 2

1.1 D´efinition . . . 2

1.2 L’interpr´etation graphique . . . 2

1.3 Exemples de calculs et d’interpr´etation . . . 2

1.4 Calcul d’aire entre deux courbes . . . 3

2 Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle 3 3 Propri´et´es de l’int´egrale 4 3.1 Lin´earit´e de l’int´egrale . . . 4

3.2 Positivit´e et ordre . . . 4

3.3 Relation de Chasles . . . 4

4 Exercices tir´es du BAC 5 4.1 Polyn´esie juin 2003 . . . 5

4.2 France -Septembre 2001 . . . 5

4.3 Nouvelle-Cal´edonie novembre 2005 . . . 6

1 G´ en´ eralit´ es

1.1 D´ efinition

Dans toute la suitef d´esigne une fonction continue sur un intervalle ouvertI contenant deux r´eelsaetb.

Dans le chapitre o`u l’on traite des primitives nous avons vu le r´esultat suivant : Th´eor`eme

SiF etGsont deux primitives def surI alorsF(b)−F(a) =G(b)−G(a) On peut donc remarquer que la quantit´eF(b)−F(a) ne d´epend pas du choix de la primitiveF.

Par commodit´e on notera souventF(b)−F(a) = [F(x)]^b_a , qu’on peut lireF(x) pris entreaetb.

D´efinition

Soitf une fonction continue sur un intervalle ouvertI,F une des primitives def et a, bdeux r´eels appartenant `aI.

On appelleint´egrale def entre a etble nombre F(b)−F(a).

• Ce nombre est not´e : Z b

a

f(x)dx.

• il se lit«somme dea `a b de f(x)dx»ou«int´egrale de a`a b de f(x)dx».

1.2 L’interpr´ etation graphique

1 2 3 4 5 6

−1 1 2 3 4

−1 C^f

D

Rb a f(x)dx

= l’aire du domaineD en u.a.

x=a x=b

x y

1 u.a.

Propri´et´e essentielle pour les calculs d’aires.

Soientaetbdeux r´eels tels que a≤b, on noteCf sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthogonal (O;~i,~j).

Sia≤b et si f(x)≥0 pour toutxde [a;b] ,alors Z b

a

f(x)dx est l’aire du domaineD,en unit´es d’aires.

Le domaineD est d´elimit´e par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx=aetx=b.

1.3 Exemples de calculs et d’interpr´ etation

∗ Illustrons la m´ethode de calcul avecJ = Z ⁵

1

f(x)dx o`u f(x) = 2x+ 3.

Pour calculer cette int´egrale def, on proc`ede en g´en´e- ral de la mani`ere suivante :

• on cherche une primitiveF def :

Icif(x) = 2x+3 , il suffit donc de prendreF(x) =x²+3x.

•on ´ecritJ = Z ⁵

1

f(x)dx= [F(x)]⁵1=F(5)−F(1)

•on r´ealise enfin le calcul : J =

Z ⁵

1

f(x)dx = Z ⁵

1

(2x+ 3)dx

=

x²+ 3x⁵

1

= (5²+ 3×5)−(1²+ 3×1)

= 40−4 = 36

∗ Illustrons l’interpr´etation lorsque cela est possible : Remarquons que 1<5 et quef(x) = 2x+ 3>0 pour tout x∈[1; 5].

Par cons´equent Z ⁵

1

2x+ 3dx= 36 repr´esente en u.a. l’aire du domaineDd´efinie par

16x65 06y6f(x)

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

−1

−2

C^f

D

x= 1 x= 5

x y

1 u.a.

Ainsi l’aireA= 36 u.a or ici 1u.a.= 0,8 cm×0,5 cm = 0.4 cm²donc l’aire vautA= 36×0,4 = 14,4 cm².

Calculer les int´egrales suivantes et donner une interpr´etation graphique lorsque cela est possible : 1. J =

Z ¹⁰

3

f(x)dx o`u f(x) = 4 2. J =

Z ²

0

f(x)dx o`u f(x) = 6x 3. J =

Z −7 9

f(x)dxo`uf(x) = 3x² 4. K=

Z ⁹

1

f(x)dx o`u f(x) =_x¹

5. L= Z ^{ln 8}

ln 5

f(x)dx o`u f(x) =e^x 6. M =

Z ²

4

5−2x dx 7. I=

Z ⁹

1

4 x²dx . 8. A=

Z ⁹

1

(x²+ 6x+2 x)dx

1.4 Calcul d’aire entre deux courbes

Soient a et b deux r´eels tels que a 6 b, on note respectivement Cf et Cg les courbes repr´esentatives de deux fonctionsf et gdans un rep`ere orthogonal .

Si a6b et si f(x)>g(x) pour tout xde [a;b],alors Z b

a

(f(x)−g(x))dx est l’aire du domaine D,en u.a.

Le domaineDest d´elimit´e par la courbe Cf, la courbeCg et les droites d’´equationsx=aetx=b.

EXEMPLE :

1 2 3 4 5

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

C^f C^g D

x= 1 x= 5

x y

1 u.a.

On consid`eref etg d´efinies surRpar : f(x) =−0,5x²+ 3x+ 5,5 etg(x) = 0,5x+ 4.

On veut d´eterminer l’aireAen u.a. du domaine D: 16x65

g(x)6y6f(x)

D est d´elimit´e par les 2 courbesCf etCg et les droites d’´equationsx= 1 etx= 5.

On remarque quef(x)>g(x) pour toutx∈[1; 5].

En effet il suffit d’´etudier le signe

de f(x)−g(x) =−0,5x²+ 2,5x+ 1,5sur[1; 5].

A = Z ⁵

1

(f(x)−g(x))dx

= Z ⁵

1 −0,5x²+ 2,5x+ 1,5 dx

=h

−0,5^x3³ + 1,25x²+ 1,5xi⁵

1

= ⁴⁶3 u.a.

Pour des applications voir dans le livre les exercices 51-52-53 page 221

2 Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

D´efinition

f est une fonction continue sur un intervalle [a;b] (aveca < b).

La valeur moyenne def sur [a;b] est le r´eel m : m= 1

b−a Z ^b

a

f(x)dx Un exemple:

Une ´etude statistique a permis de mod´eliser par une fonctionfdonn´ee ci-dessous l’´evolution du nombre de personnes ˆ

ag´ees de plus de 85 ans, en France m´etropolitaine, de 1950 `a 2000. On notera T l’ann´ee. Par commodit´e on pose x=T−1950.

f(x) d´esigne, en milliers, le nombre de personnes ˆag´ees de 85 ans ou plus, au 1^er janvier de l’ann´eeT.

On admet que la fonctionf d´efinie sur l’intervalle [0 ; 70] par :f(x) = 200e^0,037x mod´elise de fa¸con satisfaisante l’´evolution de cette population.

Calculer la valeur d´ecimale approch´ee arrondie au milli`eme de 50¹

Z ⁵⁰

0

f(x)dx.

Que repr´esente ce r´esultat pour la population ´etudi´ee ?

Pour des applications voir dans le livre les exercices 54- 60-61 page 223

3 Propri´ et´ es de l’int´ egrale

3.1 Lin´ earit´ e de l’int´ egrale

Pour tous r´eelsaetb d’un intervalleI et tout r´eelk,on a les 3 propri´et´es suivantes:

Z b

a

(f(x) +g(x))dx = Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x)dx (1) Z b

a

(kf(x))dx = k Z b

a

f(x)dx (2)

Z a

b

f(x)dx = − Z b

a

f(x)dx (3)

En pratique cela signifie que pour calculer une int´egraleon peut se ramener `a plusieurs calculs ´el´ementaires, comme par exemple :

Z ⁹

1

(x²+ 6x+ 2 x)dx=

Z ⁹

1

x²dx+ 6 Z ⁹

1

x dx+ 2 Z ⁹

1

1 xdx=

x³ 3

⁹

1

+ 6 x²

2 ⁹

1

+ 2[lnx]⁹1= 1448

3 −2 ln 9≈487,06

3.2 Positivit´ e et ordre

Propri´et´e :

• Sia6b et si pour toutxde [a;b],f(x)>0, alors Z ^b

a

f(x)dx>0.

En cons´equence :

• Sia6b et si pour toutxde [a;b],f(x)6g(x) , alors Z b

a

f(x)dx6 Z b

a

g(x)dx.

Pour des applications voir dans le livre les exercices 58-59 page 222 Exemple d’utilisation :

La courbe repr´esentative de la fonctionx7→lnxest situ´ee en dessous de la tangente au point d’abscisse 1 d’´equation y=x−1 donc pour toutx∈]0; +∞[, lnx6x−1 .

Comme 1<2 ,on a alors Z ²

1

ln(x)dx6 Z ²

1

x−1 dx.

Or une primitive de la fonctionx7→x−1 est d´efinie parF(x) =^x2² −xd’o`u Z ²

1

x−1 dx=F(2)−F(1) = 1 2. On obtient donc :

Z ²

1

x−1 dx6 1 2.

3.3 Relation de Chasles

•

Pour tous r´eelsa, betc deI : Z b

a

f(x)dx+ Z c

b

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx.

• Sia6cet si pour toutxde [a;c],f(x)>0, cela signifie graphiquement que :

l’aire du domaine D = l’aire du domaine D¹ +l’aire du domaineD².

•Pour des applications voir dans le livre les exercices 55-56 page 222

1 2 3 4 5 6

−1 1 2 3 4

−1 C^f

D1 D2

D

x=a x=b x=c

x y

1 u.a.

4 Exercices tir´ es du BAC

4.1 Polyn´ esie juin 2003

Chaque question comporte trois affirmations rep´er´ees par les lettres a, b, c.

Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse sans justification.

Les r´eponses seront transcrites dans le tableau figurant en annexe.

Soitf une fonction impaire d´efinie et d´erivable sur [−5 ; 5] ; on d´esigne parF une primitive def sur cet intervalle.

Sur les graphiques ci-dessous, le rep`ere (O;~i,~j) est un rep`ere orthogonal.

La courbeC est la repr´esentation graphique de la fonctionf.

Le point A a pour coordonn´ees (−2 ; 8), le point B a pour coordonn´ees −2√ 3 ; 0

et le point C a pour coordonn´ees 2√

3 ; 0 .

La droite (OA) est la tangente en O `a C.

1. a.C est la courbe repr´esentative deF^′. b.f^′(0) =−2.

c.f est n´egative ou nulle sur [−1 ; 1].

2. a. Soit S l’aire , exprim´ee en unit´es d’aire, de la portion de plan d´elimit´ee pu C, l’axe (O ; ~ı) et la droite d’´equationx=−2.

On a : 06S62.

b.

Z ²

−2

f(x) dx= 0.

c.F(2)−F(0)<0.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-22-21 -20-19 -18-17 -16-15 -14-13 -12-11 -1010111213141516171819202122-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

O ~ı

~

A

B C

C

3. Parmi les courbesC¹ etC² l’une repr´esentef^′ et l’autre repr´esenteF. a.Une ´equation deC¹est y=x²−2.

b.C²est la courbe repr´esentative de f^′. c.

Z ^2√3

0

f(x) dx=−10.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5-4

-3-2 -10123456789 1011 1213 1415 1617 1819 2021 22

O ~ı

~

C¹

C²est la repr´esentation graphique d’une fonction d´e- rivable.

Le point D a pour abscisse−2√ 3.

Le point E a pour abscisse 2√ 3.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-13-12 -11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123

O ~ı

~

C²

E D

4.2 France -Septembre 2001

Sur une portion de 6 kilom`etres de boulevard p´eriph´erique, le trafic peut ˆetre perturb´e entre 7 h et 11 h du matin.

Au d´ebut de cette portion, un panneau indique, `a chaque instant, le temps de parcours d’un v´ehicule sur ces 6 kilom`etres.

On mod´elise l’´evolution du trafic `a l’aide de la fonctionf d´efinie sur [1 ; 5] par f(t) = 8elnt

t + 4 o`u e est ´egal `a exp(1).

Le nombref(t) est alors le temps de parcours indiqu´e sur le panneau et exprim´e en minute, `a un instanttexprim´e en heure. Il est 7 h du matin `a l’instantt= 1.

Le panneau indique« trafic fluide» s’il faut moins de 6 minutes pour parcourir les 6 kilom`etres, Il indique« trafic perturb´e»s’il faut plus de 11 minutes.

1. (a) ´Etudier les variations def sur [1 ; 5] et dresser son tableau de variations.

(b) En d´eduire que le trafic n’est pas fluide `a 7 h 10 min et qu’il ne l’est plus jusqu’`a 11 h.

2. Soitg la fonction d´efinie sur [1 ; 5] par

g(t) = (lnt)². (a) Calculerg^′(t) et en d´eduire une primitive def sur [1 ; 5].

(b) D´eterminer, `a une minute pr`es, la valeur moyenne du temps n´ecessaire pour Parcourir les 6 kilom`etres, entre 7 h et 11 h du matin.

4.3 Nouvelle-Cal´ edonie novembre 2005

On consid`ere la fonction f d´efinie sur l’inter- valle [0 ; 6] par :

f(x) = 3

4x²−3x+ 6

La courbe (C^f) ci-contre est repr´esentative de la fonctionf dans un rep`ere orthonormal du plan d’origine O.

La partie hachur´ee ci-contre est limit´ee par la courbe (C^f), l’axe des abscisses, l’axe des or- donn ´ees et la droite d’ ´equationx= 6.

1 2 3 4 5 6

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−1 O 1. Calculer, en unit´es d’aire, l’aireS de la partie hachur´ee.

2. On consid`ere un pointM appartenant `a la courbe (C^f) d’abscissexavecx∈[0 ; 6].

La parall`e le `a l’axe des ordonn ´ees passant parM coupe l’axe des abscisses en un pointH. La parall`e le `a l’axe des abscisses passant parM coupe l’axe des ordonn ´ees en un pointK.

On appelleR(x) l’aire, en unit ´es d’aire, du rectangle OHM K.

Prouver que, pour toutxappartenant `a l’intervalle [0 ; 6], R(x) = 0,75x³−3x²+ 6x.

3. On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de x de l’intervalle [0 ; 6] telles que l’aire R(x) du rectangle OHM Ksoit ´egale `a l’aire hachur ´eeS.

(a) Montrer que le probl`eme pr ´ec ´edent revient `a r´esoudre l’ ´equationg(x) = 0 o`ugest la fonction d´efinie sur l’intervalle [0 ; 6] par :

g(x) = 0,75x³−3x²+ 6x−36.

(b) ´Etudier les variations de g sur l’intervalle [0 ; 6] et dresser le tableau de variation de g. En d´eduire que l’´equationg(x) = 0 admet sur l’intervalle [0 ; 6] une solution uniqueα.

Donner une valeur approch´ee deαau centi`eme.