R´eduction des endomorphismes en dimension finie

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R´eduction des endomorphismes en dimension finie

Vincent Pilaud 2007

1 G´ en´ eralit´ es

Dans tout le texte, k désigne un corps (commutatif),n un entier strictement positif, E unk-espace vectoriel de dimensionn. On noteL(E) l’algèbre des endomorphismes deE etGL(E) le groupe des inversibles deL(E). On note Mn(k) l’algèbre des matrices carrées de taillenà coefficients dansket GLn(k) le groupe des inversibles deMn(k).

1.1 El´ ´ ements propres

Définition 1. On dit queλ ∈k est une valeur proprede u∈ L(E) s’il existex∈ Er{0} tel que u(x) =λx. On dit alors que xest un vecteur propreassocié àλ. On appelle spectrede ul’ensemble Sp(u)des valeurs propres deu.

Pour tout λ∈Sp(u), on appelle sous-espace propreassoci´e `aλle sous-espace vectoriel E_λ= ker(u−λI).

Théorème 1. Soientλ1, . . . , λℓdes valeurs propres distinctes deu. Alors les sous-espaces propres associésEλ1, . . . , Eλ_ℓ

sont en somme directe.

Définition 2. SoitA∈Mn(k). On appelle polynôme caractéristiquedeAle polynôme défini parχA(X) = det(A−XI).

C’est clairement un invariant de la classe de similitude de A. On appelle polynôme caractéristiquede u∈ L(E) le polynôme caractéristiqueχu de toute matrice deu.

Exemple.Le polynˆome caract´eristique d’un endomorphisme nilpotent deE(ie. tel qu’il existep∈Ntel queu^p= 0) est (−1)ⁿXⁿ.

Proposition 1. Pour toutu∈ L(E), on aSp(u) ={λ∈k|χu(λ) = 0}.

1.2 Diagonalisation, trigonalisation

Théorème 2. On dit queu∈ L(E) est diagonalisablesi les propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées : 1. il existe une base de E formée de vecteurs propres deu(dans cette base, la matrice deuest diagonale), 2. il existeλ1, . . . , λℓ∈Sp(u) tels quePℓ

i=1dim(Eλi) =n,

3. χu est scind´e et la multiplicit´e de toute racineλde χu vaut dim(Eλ).

Théorème 3. On dit queu∈ L(E) est trigonalisablesi les propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées :

1. il existe un drapeau deE stable paru(la matrice deudans une base compatible avec ce drapeau est triangulaire sup´erieure),

2. χu est scind´e.

1.3 Polynˆ ome minimal

Soitu∈ L(E). L’application

k[X] −→ L(E)

P =Pd

i=0aiXⁱ 7−→ P(u) =Pd i=0aiuⁱ

est un morphisme dek-algèbre, dont l’image k[u] est la sous-algèbre deL(E) engendrée paruet dont le noyauIuest l’idéal annulateur deu.

Définition 3. On appelle polynôme minimal deule générateur unitaire πu de l’idéal Iu.

(2)

1.4 Matrice compagnon

D´efinition 4. On appelle matrice compagnond’un polynˆome unitaireP =Xⁿ+Pn−1

i=0 aiXⁱ la matrice

CP =







0 . . . 0 −an−1

1 . .. ... ... . .. 0 ...

0 1 −a0







Lemme 1. Pour tout polynˆomeP ∈k[X], on aP =πCP = (−1)ⁿχCP.

L’égalitéP =χCP est claire. L’autre se fait par calcul (dans les matrices suivantes, les espaces vides sont à remplacer par des 0) :

χCP =







−X −an−1

1 . .. ...

. .. −X ... 1 −X−a0







= 1

Xⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾²







−X −an−1

−X² −Xan−2−an−1

. .. ...

−P(X)







= (−1)ⁿP(X).

1.5 Sous-espaces stables, sous-espaces monog` enes

D´efinition 5. On dit qu’un sous-espace vectoriel F de E est stable par usi u(F)⊂F. L’endomorphismeu d´efinit alors par restriction un endomorphisme uF de F.

Proposition 2. 1. SiF est un sous-espace vectoriel deE stable par u, alors χuF|χu etπuF|πu.

2. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E suppl´ementaires et stables par u, alors χu = χuFχuG et πu= ppcm(πuF, πuG).

Définition 6. Soit u∈ L(E)etx∈E. On appelle sous-espaceu-monogène engendré par xle sous-espace vectoriel hxiû=k[u](x) ={P(u)(x)|P ∈k[X]}.

On note πu,x=πuhxiu etχu,x=χuhxiu

Proposition 3. 1. Le sous-espacehxi^u a pour dimension le degr´ed de πu,x et admet(x, u(x), . . . , u^d⁻¹(x)) pour base.

2. La matrice deudans cette base est la matrice compagnon deπu,x.

Th´eor`eme 4 (Cayley-Hamilton). Pour toutu∈ L(E), on a πu|χu. Autrement dit χu(u) = 0.

En effet, pour toutx∈E, on sait queχu,x = (−1)^dπu,x. On a doncχu,x(u)(x) = 0. Maisχu,x|χu, doncχu(u)(x) = 0. Ceci ´etant vrai pour tout x∈E, on a doncχu= 0.

Lemme 2. Soientu∈ L(E)etx, y∈E tels que πu,x etπu,y sont premiers entre eux. Alors πu,x+y=πu,xπu,y. On a clairement (πu,xπu,y)(u)(x) = (πu,xπu,y)(u)(y) = 0, donc par linéarité, (πu,xπu,y)(u)(x+y) = 0. On en déduit que πu,x+y|πu,xπu,y. Par ailleurs, πu,−y(u)(y) = −πu,−y(u)(−y) = 0, donc par symétrie, πu,y = πu,−y. Or πu,x=πu,x+y−y|πu,x+yπu,−y=πu,x+yπu,y. Commeπu,xetπu,y sont premiers entre eux, on en déduit queπu,x|πu,x+y. On obtient de même queπu,y|πu,x+y. En utilisant encore une fois queπu,x et πu,ysont premiers entre eux, on obtient πu,xπu,y|πu,x+y, d’où l’égalité.

Proposition 4. Pour toutu∈ L(E), il existex∈E tel queπu,x=πu.

Le lemme précédent assure qu’il suffit de le montrer pour un endomorphisme dont le polynôme caractéristique est la puissance d’un irréductible :πu=P^α. Dans ce cas, on sait que

{0}= ker I(kerP(u)(kerP²(u)(. . .(P^α⁻¹(u)(kerP^α(u) =E.

Soitx∈ErkerP^α⁻¹(u). AlorsP^α(u)(x) = 0, doncπu,x|P^α, mais P^α⁻¹(u)(x)6= 0, doncπu,x ∤P^α⁻¹. CommeP est irr´eductible,πu,x=P^α.

(3)

2 R´ eductions et applications

2.1 R´ eduction de Dunford et applications

Lemme 3. Soientq1, . . . , qℓ∈ L(E)tels quePℓ

i=1qi= Ietqiqj = 0pour tout1≤i6=j≤ℓ. Alorsq1, . . . , qℓ sont des projecteurs, E= imq1⊕. . .⊕imqℓ et pour tout1≤i≤ℓ,kerqi=L

j6=iimqj. Notons d´ej`a que pour tout 1≤i≤ℓon aqi=Pℓ

j=1qjqi=q_i², doncq1, . . . , qℓ sont des projecteurs.

Par ailleurs, pour tout x ∈ E, on a x = I(x) = Pℓ

i=1qi(x) ∈ Pℓ

i=1imqi, donc E = Pℓ

i=1imqi. De plus, si (x1, . . . , xℓ) ∈ Qℓ

i=1imqi v´erifiePℓ

i=1xi = 0, alors pour tout 1 ≤ j ≤ ℓ, on a 0 = qj

Pℓ i=1xi

= Pℓ

i=1qj(xi) = qj(xj) =xj. On a donc bienE= imq1⊕. . .⊕imqℓ.

Enfin, commeqiqj= 0 pour tout 1≤i6=j≤ℓ, il est clair queL

j6=iimqj⊂kerqi. R´eciproquement, soitx∈kerqi. Soient (x1, . . . , xℓ)∈Qℓ

i=1imqitels quex=Pℓ

i=1xi. Alors 0 =qi(x) =qi

Pℓ

j=1qj(x)

=Pℓ

j=1qi(xj) =qi(xi) =xi, doncx∈L

j6=iimqj.

Théorème 5 (Lemme des noyaux). Soientu∈ L(E),P1, . . . , Pℓ∈k[X]premiers entre eux deux à deux. Alors ker(P1. . . Pℓ)(u) = kerP1(u)⊕. . .⊕kerPℓ(u),

et les projecteurs associés à cette décomposition sont des polynômes enu.

Pour tout 1≤i≤ℓ, on poseQi=Q

j6=iPj. Les polynômesQ1, . . . , Qℓ sont premiers entre eux dans leur ensemble, donc le théorème de Bezout assure l’existence de polynômesA1, . . . , Aℓ tels quePℓ

i=1AiQi = 1. Notons de plus que pour tout 1≤i6=j ≤ℓ, (AiQi)(AjQj)|P1. . . Pℓ.

Par conséquent, en se restreignant au sous-espace ker(P1. . . Pℓ)(u) (ce qui est légitime puisque pour tout 1≤i≤ℓ, on a kerPi(u)⊂ker(P1. . . Pℓ)(u)), et en posantqi=AiQi(u) pour tout 1≤i≤ℓ, on se retrouve dans la situation du lemme précédent.

Il reste donc uniquement `a montrer que pour tout 1 ≤ i ≤ ℓ, on a kerPi(u) = imqi. Soit y ∈ imqi, et x ∈ ker(P1. . . Pℓ)(u) tel que y =qi(x) = (AiQi)(u)(x). Alors Pi(u)(y) = (PiAiQi)(u)(x) = Ai(u)(P1. . . Pℓ)(u)(x) = 0, doncy∈kerPi(u). R´eciproquement, siy∈kerPi(u), on a

y=

ℓ

X

i=1

qi(x) =qi(x) +



 X

j6=i

(Aj

Y

k /∈{i,j}

Pk)(u)



(Pi(u)(x)) =qi(x).

Théorème 6(Décomposition de Dunford). Soitu∈ L(E)tel queχuest scindé surk. Alors il existe un unique couple (d, n)∈ L(E)² avec

(i)ddiagonalisable, (ii) nnilpotent, (iii) dn=nd, (iv)u=d+n.

De plus,detn sont des polynˆomes enu.

Soient λ1, . . . , λℓ les racines de χu, de multiplicit´es respectives α1, . . . , αℓ, de sorte que l’on peut ´ecrire χu = Qℓ

i=1(X −λi)^αⁱ. Pour tout 1 ≤ i ≤ ℓ, on pose Pi(X) = (X −λi)^αⁱ. Soientq1, . . . , qℓ les projecteurs associés à la décompositionE= kerP1(u)⊕. . .⊕kerPℓ(u). On pose alors

d=

ℓ

X

i=1

λiqi et n=u−d=

ℓ

X

i=1

(u−λiI)qi. Alors

(i) dse diagonalise dans une base adaptée à la décompositionE= kerP1(u)⊕. . .⊕kerPℓ(u).

(ii) pour touts ∈N, on an^s=Pℓ

i=1(u−λiI)^sqi (car pour tout 1≤i≤ℓ, qiu=uqi et pour tout 1≤i 6=j ≤ℓ, qiqj= 0). En particulier, sis≥max1≤i≤ℓαi, alorsn^s= 0, doncnest nilpotent.

(iii) det nsont des polynˆomes enu, donc ils commutent.

(iv) par d´efinition, u=d+n.

(4)

Supposons maintenant qu’il existe un autre couple (d^′, n^′) v´erifiant (i), (ii) (iii) et (iv). On a alors ud^′= (d^′+n^′)d^′ =d^′²+n^′d^′=d^′²+d^′n^′=d^′(d^′+n^′) =d^′u.

Comme d est un polynˆome en u, d et d^′ commute aussi. Ainsi d et d^′ sont codiagonalisables, et donc d−d^′ est diagonalisable. On montre de la mˆeme fa¸con quenetn^′commutent, et quen^′−nest nilpotent. Ord+n=u=d^′+n^′, doncd−d^′=n^′−nest diagonalisable et nilpotent, donc nul. On a ainsid=d^′ et n=n^′.

Remarque.

1. Une telle décomposition (vérifiant (i), (ii), (iii) et (iv)) n’existe pas toujours mais lorsqu’elle existe, elle est toujours unique (pour le voir, il suffit de passer dans une extension de décomposition de χu et d’appliquer le théorème précédent). Cette décomposition, lorsqu’elle existe, est appeléedécomposition de Dunford deu.

2. On note

(i’)dest diagonalisable dans une extension dek.

Montrons que l’on peut toujours obtenir une décomposition deuvérifiant (i’), (ii), (iii) et (iv). SoitA∈ Mn(k) la matrice de udans la base canonique. SoitKune extension de décomposition deχu. DansK,χu est scindé, doncA admet une décomposition de Dunford (D, N). A priori,D et N sont des matrices deMn(K) et D est diagonalisable dansK. Soit maintenantσun automorphisme deKlaissant invariantk(ie. un élément du groupe de Galois de l’extension k ⊂ K). On note encore σ l’application de Mn(K) dans lui même qui à M = [mi,j] associeσ(M) = [σ(mi,j)]. On a alorsA=σ(A) =σ(D) +σ(N) avecσ(D) diagonalisable dansK,σ(N) nilpotent et σ(D)σ(N) =σ(N)σ(D). Par unicité, on a donc D = σ(D) et N = σ(N). Les matrices D et N sont donc stables par tout automorphisme deK laissant invariantk, donc D et N sont dans Mn(k). On obtient bien la décomposition annoncée.

Exemple.Soitu∈ L(E) un endomorphisme admettant une décomposition de Dunfordu=d+n. Alors exp(u) admet une décomposition de Dunford exp(u) = ˜d+ ñavec

d˜= exp(d) et n˜ = exp(d)

ℓ−1

X

i=1

nⁱ i!, o`uℓd´esigne l’indice de nilpotence de n.

En particulier, si exp(u) est diagonalisable, alors ˜n = 0, ce qui implique que Pℓ−1 i=1

nⁱ

i! = 0. On obtient donc X^ℓ|Pℓ−1

i=1 Xⁱ

i! , donc ℓ = 1, et donc u est diagonalisable. Par cons´equent, lorsque u admet une d´ecomposition de Dunford, uest diagonalisable si et seulement si exp(u) est diagonalisable.

Exemple.Siu∈ L(E), on note

φu: L(E) −→ L(E) v 7−→ uv−vu

On va montrer que siuadmet une d´ecomposition de Dunford (d, n), alorsφu admet pour d´ecomposition de Dunford (φd, φn).

Supposons d’abord queuest diagonalisable. Soientλ1, . . . , λn ses valeurs propres (avec multiplicit´e), etx1, . . . , xn

une base de vecteurs propres associ´es. Pour tout 1≤i, j≤n, on notevij l’application d´efinie parvij(xk) =δjkxipour tout 1≤k≤n. Les endomorphismes (vij)1≤i,j≤n forment une base deL(E) et pour tout 1≤i, j≤n,

φu(vij) =

n

X

k=1

λkvkk

!

vij−vij n

X

k=1

λkvkk

!

= (λi−λj)vij. Ainsi,φu est diagonalisable et ses valeurs propres sont les (λi−λj)1≤i,j≤n.

Montrons maintenant par r´ecurrence que pour tout endomorphismeu∈ L(E) et tout entierk, φ^k_u=φu◦. . .◦φu:v7−→

k

X

i=0

(−1)ⁱ k

i

u^k⁻ⁱvuⁱ.

(5)

Le r´esultat est vrai pourk= 0. Maintenant, si on le suppose vrai pourk, alors φ^k+1_u (v) = uφ^k_u(v)−φ^k_u(v) =u

k

X

i=0

(−1)ⁱ k

i

u^k⁻ⁱvuⁱ

!

−

k

X

i=0

(−1)ⁱ k

i

u^k⁻ⁱvuⁱ

! u

=

k

X

i=0

(−1)ⁱ k

i

(u^k+1⁻ⁱvuⁱ−u^k⁻ⁱvuⁱ⁺¹)

=

k

X

i=0

(−1)ⁱ k

i

+ k

i−1

u^k+1⁻ⁱvuⁱ+ (−1)^k+1vu^k+1

=

k+1

X

i=0

(−1)ⁱ k+ 1

i

u^k+1⁻ⁱvuⁱ. En particulier, sinest nilpotent, alorsφn est nilpotent.

Enfin, siuet v commutent, alorsφu et φv commutent puisque

φuφv(w) =u(vw−wv)−(vw−wv)u=uvw−uwv−vwu+wvu=vuw−vwu−uwv+wuv=φvφu(w).

On en d´eduit le r´esultat.

On obtient en plus queuest diagonalisable si et seulement siφuest diagonalisable. En effet, siφuest diagonalisable, alorsφn = 0, ce qui signifie quen commute avecL(E). Par cons´equent, nest une homoth´etie nilpotente, doncnest nul, etu=dest diagonalisable.

2.2 Invariants de similitude

Théorème 7. Soit u∈ L(E). Il existe un unique entier ℓ et un unique ℓ-uplet de polynômes unitaires (Q1, . . . , Qℓ) soumis à la condition Qℓ|Qℓ−1|. . .|Q1 et tels queuadmette dans une base la matrice





 CQ1

. ..

CQ_ℓ







On appelle invariants de similitude ces polynˆomesQ1, . . . , Qℓ.

Commen¸cons par montrer l’existence. Il est clair que s’il existe, le premier invariant de similitudeQ1deuest son polynôme minimal. On a déjà montré avec la proposition 4 qu’il existe un sous-espace monogèneF =hxiupour lequel πu,x =πu. En particulier, la matrice de urestreinte à F est la matrice compagnon deπu. Ainsi, si le degré ddeπu

vaut n, alorsF =E et on a déjà terminé. Dans le cas contraire, on va trouver un sous-espace supplémentaire deF stable paru, et le résultat s’en déduira par récurrence.

Les vecteurs (x, u(x), . . . , u^d(x)) formant une famille libre deE, on peut trouver une forme lin´eaire λ∈E^∗ telle queλ(uⁱ(x)) =δ_id pour tout 0≤i≤d. On pose alors

G=\

i∈N

ker(λuⁱ).

C’est un sous-espace vectoriel de E qui est clairement stable paru. Montrons que c’est un suppl´ementaire deF : (i) soity ∈ F∩G. Par d´efinition de F, il existeα0, . . . , αd ∈k tels quey =Pd

i=0αiuⁱ(x). Siα0, . . . , αd sont non tout nuls, notonsj = max{i|αi6= 0}. Mais puisquey est dansG, on a

0 =λu^d⁻^j(y) =

j

X

i=0

αiλu^d⁻^j+i(x)=αj, ce qui est absurde. On obtient donc queF ∩G={0}.

(ii) raisonnons maintenant sur la dimension, en passant par le dual : dim(G) = dim \

i∈N

(λuⁱ)^⊥

!

= dim vect(λuⁱ|i∈N}^⊥

= codim (vect(λuⁱ|i∈N}) = codimhλiu^t = codimF.

(6)

Montrons à présent l’unicité. Supposons qu’il existe deux suites de polynômesP1, . . . , PℓetQ1, . . . , Qmsoumis aux conditionsPℓ|Pℓ−1|. . .|P1 etQm|Qm−1|. . .|Q1et tels queuadmette pour matrices





 CP1

. ..

CPℓ





 et





 CQ1

. ..

CQm







NotonsE=F1⊕. . .⊕Fℓ=G1⊕. . .⊕Gmdes d´ecompositions deE sur lesquellesus’exprime par ces deux matrices.

On sait d´ej`a que P1 =Q1 =πu et que n =Pℓ

i=1d(Pi) = Pm

i=1d(Qi). Supposons que les deux suites P1, . . . , Pℓ et Q1, . . . , Qmdiff`erent et notonsj le plus petit indice tel quePj 6=Pj. On a alors

Pj(u)(E) = Pj(u)(F1)⊕. . .⊕Pj(u)(Fj−1)

= Pj(u)(G1)⊕. . .⊕Pj(u)(Gj−1)⊕. . .⊕Pj(u)(Gm).

Or par définition de j, pour tout 1 ≤ i < j, on sait que Pi = Qi, donc que dim(Pj(u)(Fi)) = d(Pi) = d(Qi) = dim(Pj(u)(Gi)). Par conséquent, Pj(u)(Gj)⊕. . .⊕Pj(u)(Gm) = {0} ce qui implique que Qj|Pj. Par symétrie, on obtientPj=Qj, ce qui contredit notre hypothèse.

Remarque.

1. Insistons encore une fois sur le fait que si Q1, . . . , Qℓ sont les invariants de similitude de u, alors le polynôme minimal deuest πu =Q1 et le polynôme caractéristique de uestχu=Q1. . . Qℓ. Comme Qℓ|Qℓ−1|. . .|Q1, on obtient en particulier queπu|χu|χ^ℓ_u. Ainsi, la connaissance du polynôme minimal et du polynôme caractéristique suffit parfois à retrouver tout les invariants de similitude. C’est le cas lorsqueπu =Qk

i=1Pi, oùP1, . . . , Pk sont des polynômes irréductibles et premiers entre eux. En effet, il existe alors des entiersα1, . . . , αk supérieurs ou

´egaux `a 1 tels que χu=Qk

i=1P_i^αⁱ. Les invariants de similitude deusont alors donn´es par Qj = Y

i∈1...k j≤αi

Pi.

2. Outre le théorème de Jordan que nous présentons dans le paragraphe suivant, on obtient directement un certain nombre de corollaires :

(i) deux endomorphismes sont semblables si et seulement si ils ont les mˆemes invariants de similitude.

(ii) le polynˆome minimal ne d´epend pas du corps de base.

(iii) Soit Kun sur-corps de k etA, B ∈Mn(k). SiA etB sont semblables dans K, alors elles sont semblables dansk.

Exemple.On noteS_nle groupe des permutations de{1, . . . , n}. On appellematrice de permutation associée àσ∈S_n la matrice Pσ = (δ_jσ(i))1≤i,j≤n. On vérifie d’abord aisément queσ7→ Pσ est un morphisme de groupes de S_n dans GLn(R) et que le déterminant dePσ est donné par la signature deσ.

Par ailleurs, siτ∈S_n est un cycle de longueurℓ, alorsPτ est la matrice compagnon deX^ℓ−1, doncχPτ =πPτ = X^ℓ−1. On en d´eduit que pour toute permutationσ∈S_n,

χPσ =Y

ℓ∈N

(X^ℓ−1)^γⁱ^(σ) et πPσ = Y

d∈N

∃i∈N, d|ietγi(σ)6=0

φd,

où γi(σ) désigne le nombre de cycles de longueur i dans la décomposition deσ en cycles à supports disjoints, et φd

désigne led-ième polynôme cyclotomique.

Les polynômes cyclotomiques étant irréductibles et premiers entre eux, on en déduit que les invariants de similitude dePσ sont donnés par

Qk = Y

d∈N k≤P

d|iγi(σ)

φd.

(7)

2.3 R´ eduite de Jordan

Th´eor`eme 8. (Jordan nilpotent) Soitu∈ L(E)nilpotent (ie. tel qu’il existep∈Ntel queu^p= 0). Il existe un unique entier ℓet une unique suite d’entiersn1≥n2≥. . .≥nℓ tels queuadmette pour matrice





 Nn1

. ..

Nnℓ





,

o`uNa = (δi,i+1)₁_≤_i_≤_a ∈Ma(k).

Théorème 9. (Jordan) Soit u ∈ L(E) dont le polynôme caractéristique est scindé : χu = (−1)ⁿQp

i=1(X −λi)^αⁱ. Alors pour tout 1≤i≤p, il existe un unique entier ℓi et une unique suite d’entiers nⁱ₁≥nⁱ₂ ≥. . .≥nⁱ_ℓ_i tels que u admette pour matrice





 A1

. ..

Ap





 o`u Ai=λiIαi+





 N_nⁱ

1 . ..

N_ni ℓi







3 Espaces euclidiens

Dans toute la suite, le corps de base estRet E est un espace euclidien, dont on noteh.|.ile produit scalaire.

3.1 G´ en´ eralit´ es

D´efinition 7.On appelleadjointd’un endomorphismeu∈ L(E)l’unique endomorphismeu^∗∈ L(E)tel quehux|yi= hx|u^∗yipour toutx, y∈E.

On note (E) = {u∈ L(E) | u= u^∗} l’ensemble des endomorphismes sym´etriques de E. On note Sn⁺(E) (resp.

Sn⁺⁺(E)) l’ensemble des endomorphismes symétriques positifs (resp. symétriques définis positifs) de E.

On note O(E) = {u ∈ L(E) | uu^∗ = u^∗u = I} l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E. On note O⁺(E) ={o∈ O(E)| det(o) = 1}.

Remarque.

1. Siu∈ L(E) a pour matriceM dans une base orthonorm´ee deE, alorsu^∗ a pour matriceM^tdans cette base.

2. Pour toutu, v∈ L(E), on au^∗∗=u, (uv)^∗=v^∗u^∗, et siuest inversible, (u⁻¹)^∗ = (u^∗)⁻¹. 3. S(E) est unR-espace vectoriel de dimension ⁿ⁽ⁿ₂⁻¹⁾.

4. SiF est un sous-espace vectoriel deEstable paru, alorsF^⊥est stable paru^∗. En particulier, siuest sym´etrique, alors tout espace stable paruadmet un suppl´ementaire stable (son orthogonal).

5. Pour toutu∈ L(E), l’endomorphismeu^∗uest sym´etrique positif (et d´efini si et seulementuest inversible).

Proposition 5. Tout endomorphisme sym´etrique est diagonalisable dans une base orthonorm´ee.

Remarque.Pour prouver cette proposition, il faut essentiellement trouver une premi`ere valeur propreλdeu(ensuite, on raisonne par r´ecurrence vu queEλ(u)^⊥ est stable paru). Pour cela, on peut :

(i) passer dans C, et montrer que toute valeur propre complexe deuest en fait r´eelle.

(ii) utiliser le théorème des extrema liés : soientu∈ Sn(E), etφ:E→E et ψ:E→Eles applications définies par φ(x) =hux|xiet ψ(x) =hx|xi. La sphère unité étant compacte, φy admet un maximum. Le théorème des extrema liés affirme alors que sixest un vecteur de la sphère unité pour lequelφ(x) est maximal, les différentielles de φet ψ en x sont liées. On obtient donc 2hux | ti = dφx(t) = λdψx(t) = 2λhx| ti, pour tout t ∈ E, donc ux=λx.

Proposition 6. Soit u un endomorphisme symétrique de E dont on note λ₁ ≤ . . . ≤ λ_n les valeurs propres. On appelle quotient de Rayleigh de ul’application Ru :Er{0} →R définie parRu(x) = ^h_hûx_x_|^|_x^x_iⁱ. Pour tout1≤m≤n, on note Vm l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E de dimensionm. Alors

(i) pour tout1≤m≤n,

λm= min

F∈Vm

maxx∈FRu(x) = max

F∈V^m−1 max

x∈F^⊥Ru(x).

(ii) Ru(Er{0}= [λ1, λn].

(8)

Cette dernière proposition s’interprète très bien géométriquement lorsque u est un endomorphisme symétrique défini positif. L’application (., .) :E×E→Rdéfinie par (x, y) =hux|xiest alors un produit scalaire surE. Sa boule unitéB={x∈E|(x, x)≤1}est un ellipso¨ıde deE dont les longueur des axes (pour le produit scalaireh.|.i) sont les inverses des racines des valeurs propres de u(fig. 1). On retrouve donc la plus grande valeur propreλk en cherchant le plus petit axe, etc.

W

Fig. 1 – Le quotient de Rayleigh sur un ellipso¨ıde

Proposition 7. Soit u∈ L(E) un endomorphisme normal, ie. tel que uet u^∗ commutent. Alors il existe une base orthonorm´ee dans laquelle la matrice deuest de la forme





 λ1

. ..

λr

τ1

. ..

τs





 ,

o`ur, s∈N,λi∈Retτi=

ai −bi

bi ai

∈O2(R).

Corollaire 1. O⁺(E)est connexe (par arcs).

3.2 Autour de la d´ ecomposition polaire

Lemme 4 (de la racine carr´ee). Pour toutu∈ S⁺⁺(E), il existe un uniquev∈ S⁺⁺(E) tel queu=v².

En effet,uest diagonalisable dans une base orthogonalebet ses valeurs propresλ1, . . . , λnsont strictement positives.

L’endomorphismev dont la matrice dans la baseb est donn´ee par







√λ1

. .. √ λn





convient.

Par ailleurs, siw∈ S⁺⁺(E) v´erifieu=w², alors pour tout 1≤i≤n, on a Eλi(u) = ker(u−λiI) = ker(w²−λiI) = ker(w−p

λiI)⊕ker(w+p

λiI) = ker(w−p

λiI) =E^√_λ_i(w), doncwetv co¨ıncident sur chaque sous-espace propre deu, donc surE.

Proposition 8(D´ecomposition polaire). L’applicationΦ : O(E)× S⁺⁺(E) −→ GL(E)

(o, s) 7−→ os est un hom´eomorphisme.

L’application est bien d´efinie et clairement continue.

Soit u ∈ GL(E). Soit s ∈ S⁺⁺(E) telle que u^∗u = s², et o = us⁻¹. Alors o est orthogonale (car o^∗o = (s⁻¹)^∗u^∗us⁻¹ = I) et u = Φ(o, s). Par ailleurs, si u = Φ(o, s) = Φ(o^′, s^′), alors u^∗u = s²s^′², donc l’unicit´e de la racine carr´e implique ques=s^′ et donc queo=o^′. L’application est donc bijective.

Il reste `a montrer que l’inverse est continue. Soit (un)n∈N∈(GL(E))^Netu∈ GL(E) tels que limn→∞un=u. Pour tout n∈N, soit (on, sn) = Φ⁻¹(u), et soit (o, u) = Φ⁻¹(u). On veut montrer que limn→∞on =o et limn→∞sn =s.

Pour cela, il suffit de remarquer que

– O(e) est compact (car fermé et borné en dimension finie), donc (on)n∈Nadmet une valeur d’adhérence.

(9)

– sio^′ est une valeur d’adh´erence de (on)n∈N, alorso=o^′. En effet, siψ :N→Nest une extraction telle queo^′ soit la limite de (oψ(n))n∈Net sis^′ =o^′−¹u, alorss^′=o^′−¹u= limn→∞u⁻_ψ(n)¹ uψ(n)sψ(n)= limn→∞sψ(n). Comme S⁺(E) est ferm´e et comme s^′ est inversible,s^′ ∈ S⁺⁺(E). On a doncu= Φ(o^′, s^′) = Φ(o, s) donco^′=o.

Proposition 9. L’application Ψ : S(E) −→ S⁺⁺(E) s 7−→ exp(s) =P

i∈N sⁱ

i!

est un hom´eomorphisme.

Remarque.

1. La preuve est essentiellement la même que la précédente, hormis deux petites différences :

(i) pour montrer que le logarithme est unique, on doit montrer que si exp(v) = exp(v^′), alorsvetv^′commutent (pour pouvoir diagonaliser dans une base commune). Orv commute avec exp(v) = exp(v^′), donc avec v^′ qui est un polynˆome en exp(v^′). En effet, siλ^′₁, . . . , λ^′_n d´esignent les valeurs propres de v^′, et si

Q(X) =

n

X

i=1

λi

Y

j6=i

X−e^λ^j e^λⁱ−e^λ^j, alorsv^′ =Q(exp(v^′)).

(ii) l’espaceS⁺(E) n’´etant pas compact, il faut montrer que si (exp(sn))n∈Nconverge, alors (sn)n∈Nest born´e.

Pour cela, on peut montrer que pour toutu∈ L(E), on akuk²=p

ρ(u^∗u), o`uρ(u) = max(Sp(u)) d´esigne le rayon spectral.

2. On peut montrer très facilement (ie. sans calculer la différentielle de l’exponentielle) que Ψ est unC¹-difféomorphisme : – Ψ est de classeC¹comme limite d’applications de classeC¹ dont les différentielles convergent uniformément.

– la différentielle de Ψ est facile à calculer en 0 : exp(h) = I +h+o(khk) = exp(0) +h+o(khk). Ainsi,dΨ0= I est inversible. Par inversion locale, on en déduit l’existence d’un voisinageU de 0 dansS(E) sur lequel Ψ est unC¹-difféomorphisme. Il reste alors à faire grossir ce voisinage par le diagramme suivant

U ^Ψ //

x7→2x

exp(U)

x7→x²

2U ^Ψ//exp(2U) Corollaire 2. GLn(R)est hom´eomorphe `aOn(R)×Rⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾² .

Corollaire 3. GLn(R)a deux composantes connexes.

En effet, le d´eterminant s´epare clairement les deux composantesGL⁺_n(R) = det⁻¹(R⁺) etGL⁻_n(R) = det⁻¹(R⁻).

R´eciproquement,O⁺_n(R),O⁻_n(R) etRⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾² sont connexes (par arcs), doncGL⁺_n(R) est connexe (par arcs).

Il est bon de noter qu’il est possible aussi de montrer queGL⁺_n(R) est connexe (par arcs) en utilisant la d´ecomposition de Gauss.

3.3 Matrice d’adjacence d’un graphe

D´efinition 8. Soit G= (S, A) un graphe fini (|S|=n) simple et sans boucle. On appelle matrice d’adjacencede G la matrice A= ar,s

r,s∈S ∈Mn(R), o`u

ar,s=

1 si{r, s} ∈A 0 sinon

Cette matrice est sym´etrique, donc diagonalisable, et on note µ1 ≥ µ2 ≥ . . . ≥ µn son spectre, appell´e spectre d’adjacence de G.

Proposition 10. SoitGun graphe k-r´egulier (ie. tel que le degr´e de tout sommet deGvaille k). Alors (i) µ1=k

(ii) |µi| ≤k, pour tout1≤i≤n

(iii) la multiplicit´e dekvaut le nombre de composantes connexes de G.

(10)

Notons d’abord que tout vecteur constant est un vecteur propre associé à la valeur proprek, puisqueGestk-régulier.

Soit (bs)s∈S est un vecteur propre associé à la valeur propre µ. Soit r ∈ S tel que |br| = maxs∈S|bs|. Quitte à remplacerb par−b, on peut supposer quebr>0. On a alors

|µ|br=|µbr|=

X

s∈S

ar,sbs

≤X

s∈S

ar,s|bs| ≤kbr, (1)

donc|µ| ≤k. On obtient ainsi (i) et (ii).

SoientS=R1⊔. . .⊔Rℓ la partition deSen composantes connexes deG. Dans une base adaptée à cette partition, la matrice d’adjacence deGest diagonale par blocs. Pour montrer le point (iii), il suffit donc de montrer que siGest connexe, alors la valeur proprek est de multiplicité 1. On sait déjà que les vecteurs constants sont vecteurs propres associés à la valeur propreket on va montrer réciproquement que tout vecteur propre associé à la valeur proprekest constant. Soit (bs)s∈S un vecteur propre associé à la valeur proprek. Soitr∈S tel que br= maxs∈Sbs. Alors

kbr=X

s∈S

ar,sbs≤X

s∈S

ar,sbr=kbr,

et l’égalité impose que bs = br pour touts tel que ar,s = 1, ie. pour tout voisins der. CommeG est connexe, on obtient queb est constant, ce qui termine la preuve de la proposition précédente.

Proposition 11. SoitGun graphe connexe, k-régulier. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Gest bipartite(ie. il existe une partitionS=S1⊔S2 de S qui sépare toute arête de G), (ii) le spectre d’adjacence de Gest symétrique par rapport à0,

(iii) µn=−k

SoitG bipartite, etS =S1⊔S2 une partition de S qui sépare toute arête de G. Soit (bs)s∈S un vecteur propre associé à la valeur propreµ. On définit le vecteur (b^′_s)s∈S parb^′_s=

bs sis∈S1

−bs sis∈S2 . Alors pour toutr∈S1, on a (Ab^′)r=X

s∈S

ar,sb^′_s= X

s∈S2

ar,s(−bs) =−(Ab)r=−µbr=−µb^′_r, et de mˆeme sir∈S2. On a donc bien l’implication (i)⇒(ii).

L’implication (ii)⇒(iii) est ´evidente.

Supposons maintenant queµn=−ket soit (bs)s∈S un vecteur propre associé. En reprenant la preuve du (ii) de la proposition précédente, l’égalité que l’on obtient dans l’équation 1 implique que pour tout voisinsder, on a|bs|=br, et donc bs =−br. Par connexité, on obtient quebs=±br, pour touts∈S. On pose alorsS1={s∈S |bs=br}et S2={s∈S|bs=−br}. C’est une partition deS qui sépare les arêtes deG, doncGest bipartite.

D´efinition 9. Soit G= (S, A)un graphe. On appelle

1. nombre chromatiquedeGl’entierχGminimal tel qu’il existe une partition deS enχGparts qui sépare les arêtes de A(ie. telle que deux éléments d’une même part ne soient pas reliées par une arête),

2. nombre d’indépendance le cardinal ιG maximal d’un sous-ensemble indépendant de S (ie. dont deux éléments quelconques ne sont pas adjacents).

Lemme 5. Pour tout grapheG= (S, A), on acard(S)≤χGιG.

Proposition 12. Pour tout graphe connexek-r´egulier,χG ≥max(|µ^k2|,|µ_n|).

SoitF un sous-ensemble ind´ependant maximal deS. On d´efinit le vecteurb= (bs)s∈S par bs=

|SrF|=p−ιGsis∈F

−|F|=−ιGsinon On a alors

– kbk²2=P

s∈Sb²_s=|F||SrF|²+|SrF||F|²=ιGn(n−ιG)≤ι(G)n², – pour toutr∈F, (Ab)r=P

s∈Sar,sbs=P

s /∈Far,sbs=−kι(G), d’o`u l’on d´eduit quekAbk²2=P

s∈S|(Ab)s|²≥ P

s∈F|(Ab)s|²=k²ι(G)³, – ha | 1i = P

s∈Sbs = |F||SrF| − |SrF|||F|, donc b est orthogonal aux sous-espace vectoriel des vecteurs constants, c’est-`a-dire `a Ek, donckAbk2≤max(|µ2|,|µn|)kbk2.

(11)

On obtient donck²ι(G)³≤max(|µ2|,|µn|)²ι(G)n², d’où le résultat par le lemme précédent.

Exemple.

1. On noteKn legraphe complet `a nsommets. Sa matrice d’adjacence est

AKn=Jn−In=







0 1 . . . 1 1 . .. ... ...

... . .. ... 1 1 . . . 1 0





 .

Cette matrice est circulante. Si on noteω=e^2iπⁿ , ses valeurs propres sont donc donn´ees par λp=

n−1

X

ℓ=1

w^pℓ=

n−1 sip=n

−1 sinon .

Son spectre d’adjacence est doncn−1,−1, . . . ,−1, et son nombre chromatique v´erifie bienχKn=n≥n−1.

2. On noteCn legraphe cyclique `ansommets. Sa matrice d’adjacence est

ACn=







0 1 0 1

1 . .. ... 0 0 . .. ... 1

1 0 1 0





 .

Encore une fois, elle est circulante, donc ses valeurs propres sont donn´ees parλp =ω^p+ω^p(n⁻¹⁾= 2 cos ^2pπ_n , ce qui est coh´erent avec le fait que

– sinest pair,Cn est bipartite et son nombre chromatique est 2,

– sinest impair,Cn n’est pas bipartite et son nombre chromatique est 3.

4 Questions et remarques

4.1 Questions

On pourra traiter les probl`emes suivants : 1. quelques exemples de diagonalisation :

(a) soitA∈Mn(k) etB =

A A

0 A

. Montrer queB est diagonalisable si et seulement siA= 0.

(b) soienta1, . . . , an∈C. On consid`ere la matrice circulante

A=







a1 a2 . . . an

an a1 . . . an−1

... ... . .. ... a2 a3 . . . a1





 .

Montrer queAest diagonalisable, avec pour valeurs propresP(1), P(ω), . . . , P(ωⁿ⁻¹), o`uP =Pn

ℓ=1aℓX^ℓ⁻¹ etω=e^2iπⁿ .

(c) soit k = Fq le corps fini à q éléments, et u ∈ L(E). Montrer que uest diagonalisable si et seulement si u^q−u= 0.

2. quelques généralités :

(a) montrer que siχuest scind´e sur k, alors det(expu) = exp(tru).

(b) soient u, v ∈ L(E). Montrer que χuv = χvu (on le montrera d’abord pour les matrices inversibles, puis lorsqueA=

Ir 0 0 0

, et on utilisera ces deux cas pour résoudre le cas général).

(c) soientA, B∈Mn(R) semblables dansMn(R). Montrer (sans utiliser les invariants de similitude) que Aet B sont semblables surR. Pour quelles extensionsk⊂Kcette démonstration se généralise-t-elle ?

(12)

(d) soitP =Qd

i=1(X−λi)^αⁱ. Quelle est la forme de Jordan de la matrice compagnon deP. 3. sur les endomorphismes nilpotents :

on suppose quek est de caract´eristique non nulle.

(a) montrer quen∈ L(E) est nilpotent si et seulement si tr(n^p) = 0 pour toutp∈N.

(b) montrer que toute matrice de trace nulle est semblable `a une matrice de diagonale nulle.

(c) soientu, v∈ L(E) et λ∈k^∗ tels que [u, v] =uv−vu=λu. Calculer [u^p, v] pourp∈Net montrer queu est nilpotent.

(d) montrer que l’ensemble des classes de similitude d’endomorphismes nilpotents d’un espace vectoriel de dimensionnest en bijection avec l’ensemble des partitions den.

4. sur les matrices d’adjacence :

soitG= (S, A) un graphe, etA sa matrice d’adjacence. Soientr, s∈S

(a) montrer que ler-`eme coefficient diagonal deA²vaut le degr´e der. Montrer que ¹₆tr(A³) compte le nombre de triangles dansG.

(b) on appellechemin der`as(delongueur ℓ) toute suiter=a0, . . . , aℓ=sdeStels que pour tout 1≤i≤ℓ, [ai−1, ai]∈A. Montrer que le coefficient (r, s) deA^ℓ compte le nombre de chemins de longueurℓentreret s.

(c) montrer que siGest bipartite, alors quitte `a permuter l’ordre de la base, sa matrice d’adjacenceAse met sous la forme

A=

0 B B^t 0

. 5. sur les chemins dans un carr´e :

on se propose de compter le nombre de chemins de longueur ℓ entre deux sommets r et s (´eventuellement confondus) d’un cubeC.

(a) premi`ere m´ethode :

– en num´erotant les sommets deCcomme sur la figure 2 (a), v´erifier que la matrice d’adjacence de Cest A=

0 B B 0

avecB =J4−I4. – Montrer queAⁿ=

0 Bⁿ Bⁿ 0

pour toutnimpair etAⁿ=

Bⁿ 0 0 Bⁿ

pour toutnpair.

– CalculerBⁿ et conclure.

1

7 6

4

8

2 3

5

X

Y Y

Z

Y

Z Z

T

Fig. 2 – (a) num´erotation du cube et (b) quatre types de sommets (b) seconde m´ethode :

– soientX, Y, ZetT les ensembles des sommets deC`a distance 0,1,2 et 3 derrespectivement (fig. 2 (b)).

On note x(ℓ), y(ℓ), z(ℓ) et t(ℓ) le nombre de chemin de longueurℓ entreret un sommet deX, Y, Z et T respectivement (par symétrie, ce nombre ne dépend que de l’ensembleX, Y, Z oùT dans lequel se trouve le sommet d’arrivée). Montrer que







x(ℓ+ 1) y(ℓ+ 1) z(ℓ+ 1) t(ℓ+ 1)







=A





 x(ℓ) y(ℓ) z(ℓ) t(ℓ)





 ,

o`uA∈M4(R).

– CalculerAⁿ et conclure.

(c) appliquer ces m´ethodes aux squelettes des autres solides de Platon.

(13)

6. sur la topologie des endomorphismes diagonalisables :

(a) montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables dans Mn(C) est dense dansMn(C). En déduire une autre preuve du théorème de Cayley-Hamilton.

(b) montrer que l’adh´erence de l’ensemble des matrices diagonalisables dansMn(R) est l’ensemble des matrices trigonalisables.

(c) soitA∈Mn(C). Montrer queA est diagonalisable si et seulement si sa classe de similitude est ferm´ee.

4.2 Remarques et r´ ef´ erences

Pour tout ce qui est classique, il suffit de consulter le tome d’algèbre desMaths en têtede x. Gourdon. Pour ce qui est de la décomposition polaire, et de tout ce qui tourne autour, il faut ouvrir l’Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques der. Mneimé & f. Testard. Enfin, pour la partie sur les matrices d’adjacence, on peut regarder Elementary number theory, group theory and Ramanujan graphs de g. Davidoff, p. Sarnak & a. Valette (qui peut d’ailleurs apporter de nombreux autres exemples d’applications du programme de l’agrégation).

Il va sans dire que tout ou partie de ce texte peut être présenté dans les le¸cons d’agrégation portant sur la réduction.

Pourtant, il me semble important dans ces le¸cons de bien réfléchir aux différences de point de vue que leur titre suggère.

Il faudra donc rester prudent dans l’utilisation de ce texte.